本書主要介紹圖的標號理論，從常見的一些標號圖，到不常見的一些標號圖，較為係統、全麵地進行瞭分類介紹,綜述近些年來關於圖的標號問題的研究動態與研究成果。其主要內容包括優美圖及其變形、和諧圖、算術圖、和圖與整和圖、素標號、親切標號、魔術標號、L（2,1）�脖旰擰�Fractional�脖旰擰⒖刂票旰龐牖�分等。本書內容豐富、新穎，信息量大；結構層次分明、編排閤理、係統性強；所包含的許多未解決的問題和猜想，趣味性強，可供讀者探討和研究。本書可供圖論、運籌學、組閤數學、離散數學、計算機應用等專業的研究生和教師使用。尤其是對從事圖的標號問題研究的科技人員，本書具有較大的理論價值。

第1章圖的基本知識(1)
1.1圖的基本概念(1)
1.2樹(8)
1.3圖的連通度(10)
1.4Euler圖與Hamilton圖(11)
1.5匹配與因子分解(13)
1.6平麵圖(16)
1.7染色(18)
1.8Ramsey數(25)
1.9有嚮圖(30)
1.10控製及其相關參數(34)
第2章優美圖(39)
2.1優美圖的概念(39)
2.2優美樹(42)
2.3幾類特殊圖的優美性(47)
2.4非連通圖的優美性(63)
2.5幾類特殊的非優美圖(67)
第3章優美圖的變形(71)
3.1圖的k�燦琶佬�(71)
3.2幾類特殊優美標號(75)
3.3全優美圖與上全優美圖(84)
3.4邊優美圖與綫優美圖(86)
3.5集優美圖(92)
3.6有嚮優美圖(93)
第4章和諧圖與算術圖(97)
4.1和諧圖的概念與性質(97)
4.2幾類特殊和諧圖(99)
4.3算術圖(110)
4.4加性（k,d）�殘蛄型�(117)
第5章和圖與整和圖(123)
5.1和圖(123)
5.2整和圖(127)
5.3模和圖(135)
5.4廣義(模)和圖(140)
第6章幾類特殊標號(147)
6.1素標號(147)
6.2親切標號(156)
6.3k�簿�衡標號(168)
6.4因子標號與倍數標號(175)
第7章魔術標號(178)
7.1魔術標號(178)
7.2邊魔術(全)標號(181)
7.3點魔術標號(190)
7.4反魔術標號(195)
第8章幾類標號及其相關參數(205)
8.1L(2,1)�脖旰�(205)
8.2Fractional�財膠獗旰�(211)
8.3Fractional�部刂剖�(219)
8.4F�睟ondage數(226)
8.5控製集劃分數(228)
參考文獻(235)

前言/序言

圖論是一個既古老又年輕的數學分支。自從1736年Euler解決哥尼斯堡七橋問題以來，至今已有兩百八十年的曆史，這也使得Euler成為圖論學科的主要創始人之一。同時，圖論又是一門新興學科，這主要是由於其包含的內容越來越豐富，不斷地滲透到其他數學分支中，且應用越來越廣泛。尤其是近二十多年來，隨著計算機技術的飛速發展，信息化和數字化技術的不斷進步，許多實際問題的數學模型促使人們關注離散型結構上的數字化技術，圖論作為離散數學中的一個重要組成部分，自然得到瞭高速發展，這也許使得圖的標號理論(包括圖的標號和染色等)成為圖論中發展最快的分支之一。近十多年來，在計算機的幫助下，圖的標號方法和技術都有瞭很大的改進和創新，圖論中一些以數字化為特徵的內容(如圖的標號、染色、控製等)得到瞭更快的發展。這也使得其內容正在不斷豐富，或許正在形成一種理論，暫且稱之為圖的標號理論、染色理論和控製理論。為瞭豐富和完善圖的控製、染色理論的內容，筆者已先後於2008年、2013年齣版過《圖的控製理論》和《圖的控製與染色理論》兩本書，其內容主要是將圖的點控製概念轉嚮圖上的邊控製問題，從而産生瞭許多新概念和新內容。近幾年來，隨著圖的控製與染色中的一些新概念和結果不斷産生，一些新的問題和猜想不斷提齣，許多圖論學者對圖的標號産生瞭極大的興趣。可以預見，在不遠的將來，圖的標號會更加受到人們的關注和重視，産生更加豐富的研究成果。本書主要介紹圖的標號及其相關的參數問題的研究。全書共分為8章。為瞭保證全書在內容上的完整性和可讀性，第1章介紹圖的一些基本概念和基本理論，這一章的內容在一般圖論教材中都有錶述，熟悉圖論的讀者無須閱讀，但要注意本書使用的符號和術語。第2章介紹優美圖的概念和性質，綜述瞭優美圖的研究概況，列齣近些年關於優美圖的研究成果。第3章介紹優美圖的一些變化，主要包括K�燦琶勞肌⑷�優美圖、集優美圖、有嚮優美圖以及一些特殊的優美標號。第4章介紹和諧圖和算術圖的概念和性質，綜述有關和諧圖和算術圖的相關結果。第5章著重介紹和圖、整和圖、模和圖以及關於和圖的幾種變化形式，並討論瞭其對應的相關參數。第6章主要是選擇幾種具有代錶性的圖標號概念及相關結論進行簡單介紹，具體包含素標號、親切標號、k�簿�衡標號和因數(倍數)標號。第7章主要介紹魔術標號、邊魔術標號、點魔術標號和反魔術標號的概念及相關結果。第8章介紹圖的L(2,1)�脖旰藕虵ractionl�脖旰牛�並介紹瞭Fractional�部刂剖�和控製集劃分數。該書在內容的編排上力求閤理，並注意到各章內容和信息量相對獨立和均衡，盡可能由易到難。書中有許多未給予證明的結論，均列齣瞭對應的參考文獻，這樣既可滿足讀者的不同要求，又不影響可讀性。書中還列齣瞭一些未解決的問題和猜想，供讀者思考，意在引起讀者的興趣，當然其中也有不少是著名難題。對於圖論專業的研究生，或者從事圖的標號與染色方麵的科研人員來說，該書或許是一本好的參考資料，至少可以為其提供一些內容信息和結論來源。尤其在目前國內關於圖的標號方麵的專著很少的情況下，該書具有較好的參考價值。本書的齣版是在多項基金項目的共同資助下完成的，具體包括國傢自然科學基金項(11361024，11261018，11261019，61263032)、江西省自然科學基金(20151BAB201002)、江西省高校科技落地計劃項目(KJLD12067)。在寫作過程中，得到瞭李春華、範自柱、王廣富、左黎明、劉二根、湯鵬誌、硃旭生、葉曉峰、吳躍生等多位老師的支持和幫助，也得到瞭在讀研究生鄒妍、趙麗鑫、張婷婷和魏旭穎等的大力幫助，此外，徐彤同誌認真、仔細校對瞭全稿，在此一並深錶謝意。由於作者水平有限，書中不足之處在所難免，敬請讀者批評指正。
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