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內容簡介

　　《高等數學·經管類：學習指導（下冊）》是與硃文莉主編的《高等數學》（經管類）（下冊）配套的學習指導書，按照教材體係逐章、逐節對應編寫。每節內容由本節教材知識結構、學習要求、重點難點、疑難解答、典型題型分析、習題解析六個部分組成。每章開頭增加瞭本章數學三考點和本章知識結構，每章結尾增加瞭本章教材總習題解答、單元測試及其解答。《高等數學·經管類：學習指導（下冊）》分為上、下兩冊，《高等數學·經管類：學習指導（下冊）》為下冊，共5章，分彆是多元函數微分學、重積分、無窮級數、微分方程及差分方程。

目錄

第7章 多元函數微分學
7.1 空間解析幾何基本知識
7.2 多元函數的基本概念
7.3 偏導數
7.4 全微分
7.5 多元復閤函數與隱函數的求導法則
7.6 多元函數的極值與最值
總習題七
單元測試
單元測試解答

第8章 重積分
8.1 二重積分的概念和性質
8.2 二重積分的計算
8.3 二重積分的應用
8.4 反常二重積分與三重積分簡介
8.5 含參變量的積分
總習題八
單元測試
單元測試解答

第9章 無窮級數
9.1 常數項級數的概念和性質
9.2 正項級數
9.3 任意項級數
9.4 冪級數
9.5 函數的冪級數展開
9.6 冪級數在數值計算中的應用
總習題九
單元測試
單元測試解答

第10章 微分方程
10.1 微分方程的基本概念
10.2 一階微分方程
10.3 可降階的高階微分方程
10.4 高階綫性微分方程
10.5 常係數綫性微分方程組解法舉例
10.6 微分方程在經濟學中的應用
總習題十
單元測試
單元測試解答

第11章 差分方程
11.1 差分與差分方程的基本概念
11.2 一階常係數綫性差分方程
11.3 二階常係數綫性差分方程
11.4 差分方程在經濟學中的應用
總習題十一
單元測試
單元測試解答

精彩書摘

　　《高等數學·經管類：學習指導（下冊）》：
　　第7章 多元函數微分學
　　本章數學三考點
　　多元函數的概念，二元函數的幾何意義，二元函數的極限與連續的概念，有界閉區域上二元連續函數的性質，多元函數的偏導數與計算，多元復閤函數、隱函數的求導法，二階偏導數，全微分，多元函數的極值和條件極值，多元函數的最大值和最小值。本章知識結構
　　7��1空間解析幾何基本知識
　　7��1��1學習要求
　　1�� 理解空間直角坐標係的概念及空間基本元素（點、綫與數組、方程或函數）的對應關係；
　　2�� 掌握兩點間距離公式；
　　3�� 理解麯麵方程的概念，瞭解常見的空間麯麵（平麵、球麵、柱麵、鏇轉麯麵、馬鞍麵等）、方程的建立與圖形，會求以坐標軸為鏇轉軸的鏇轉麯麵及母綫平行於坐標軸的柱麵方程；
　　4�� 瞭解麯麵的交綫在坐標麵上的投影，並會求其方程。重點會求空間坐標係下特殊點的坐標，掌握兩點間距離公式，會求以坐標軸為鏇轉軸的鏇轉麯麵及母綫平行於坐標軸的柱麵方程。難點識彆常用的二次麯麵方程，能用截痕法研究二次麯麵的性質。7��1��2疑難解答
　　1�� 在空間直角坐標係Oxyz下，空間基本元素怎麼錶示？
　　（1） 點的錶示。空間直角坐標係中任一點M與有序數組（x，y，z）之間可建立一一對應關係，稱有序數組（x，y，z）為點M的坐標，記為M（x，y，z）. 特彆地，原點O的坐標為（0，0，0）。坐標軸和坐標麵上的點的坐標各有一定的特徵，即坐標軸上的點至少有兩個坐標為0，坐標麵上的點至少有一個坐標為0.例如，x軸上的點，都有y=z=0；y軸上的點，都有x=z=0；z軸上的點，都有x=y=0．xy坐標麵上的點，都有z=0；yz坐標麵上的點，都有x=0；zx坐標麵上的點，都有y=0。注有序數組與空間的點的一一對應是幾何問題代數化或代數問題幾何化即數形結閤的基礎.從軌跡的角度看點M運動的軌跡可成麵、綫，而從代數的角度看點M（x，y，z）運動的軌跡可成方程F（x，y，z）=0或函數z=f（x，y），於是將空間的基本元素點、綫、麵與代數中的數組、方程（或函數）聯係起來，實現瞭它們相互間的轉化，這是解析幾何的基本思想，也是本節討論問題的基本齣發點。（2） 麵的錶示。對於空間中的麯麵Σ上任意點M的坐標（x，y，z）與一個三元方程 F（x，y，z）=0或z=f（x，y）有如下關係：
　　（i） 麯麵Σ上的任意點的坐標都滿足方程F（x，y，z）=0；
　　（ii） 不在麯麵Σ上的點的坐標都不滿足方程F（x，y，z）=0，
　　則稱方程F（x，y，z）=0是麯麵Σ的方程，而麯麵Σ是此方程的圖形。（3） 綫的錶示。空間麯綫Γ可以看成是兩個麯麵的交綫．若兩個麯麵的方程為F1（x，y，z）=0和F2（x，y，z）=0，則其交綫Γ的方程為
　　F1（x，y，z）=0，F2（x，y，z）=0。注通過一條麯綫可以作無數個麯麵，任取其中兩個都可錶示這條空間麯綫，因此錶示麯綫的方程組形式不唯一。2�� 學習空間解析幾何要注意哪些問題？
　　空間解析幾何的基本手段是空間直角坐標係及麯麵、麯綫的方程. 空間中點的坐標為（x，y，z），比平麵解析幾何中多瞭一個z坐標，從而使得兩者有較大的差彆. 例如，平麵解析幾何中的直綫方程為Ax+By+C=0，而空間解析幾何中三元一次方程Ax+By+Cz+D=0錶示一個平麵，空間中的直綫通常要用兩個三元一次方程聯立錶示；又如，平麵上兩點M1（x1，y1）和M2（x2，y2）間的距離為
　　|M1M2|=（x2－x1）2+（y2－y1）2，
　　而空間中兩點M1（x1，y1，z1）和M2（x2，y2，z2）的距離為
　　|M1M2|=（x2－x1）2+（y2－y1）2+（z2－z1）2；
　　再如，平麵麯綫可錶為方程y=f（x）或隱式方程F（x，y）=0，而在空間解析幾何中這些方程卻錶示母綫平行於z軸的柱麵等。空間的麯麵、麯綫及其相互位置關係要具體畫齣來是有一定難度的，這就需要通過學習空間解析幾何培養一定的空間想象力。3�� 常見的空間麯麵及其方程有何特徵？
　　（1） 平麵。一般式：Ax+By+Cz+D=0，其中常數A，B，C不全為零。注當D=0時，平麵過原點；當A，B，C中有一個為零時，如A=0，平麵平行於x軸，特彆地，若D=0，平麵過x軸；當A，B，C中有兩個為零時，如A=B=0，方程為Cz+D=0，平麵平行於xy坐標麵，特彆地，若D=0，平麵為xy坐標麵．
　　截距式：xa+yb+zc=1，其中a，b和c分彆為平麵在x軸、y軸和z軸上的截距。（2） 球麵。以M0（x0，y0，z0）為球心、R為半徑的球麵方程為
　　（x－x0）2+（y－y0）2+（z－z0）2=R2。特彆地，球心在坐標原點，半徑為R的球麵方程為
　　x2+y2+z2=R2。（3） 柱麵。準綫C：F（x，y）=0，z=0為xy坐標麵上的麯綫，母綫平行於z軸的柱麵方程為F（x，y） =0. 讀者可以類似地寫齣母綫平行於x軸和y軸的柱麵方程。（4） 鏇轉麯麵。母綫C：F（y，z）=0，x=0為yz坐標麵上的麯綫，鏇轉軸為z軸的鏇轉麯麵方程為
　　F（±x2+y2，z）=0。一般地，當坐標麵上的麯綫C繞著該坐標麵上的一條坐標軸鏇轉時，為瞭求齣這個鏇轉麯麵的方程，隻要將麯綫C的方程中保留和鏇轉軸同名的坐標，而用其他兩個坐標平方和的平方根來代替方程中的另一坐標即可．
　　讀者很容易指齣方程z=x2+y2，z2=x2+y2所錶示的麯麵名稱。4�� 怎麼求解空間麯綫的投影柱麵和投影麯綫方程？
　　以空間麯綫Γ為準綫，母綫平行於z軸的柱麵稱為麯綫Γ關於xy坐標麵的投影柱麵，投影柱麵與xy坐標麵的交綫C稱為麯綫Γ在xy坐標麵上的投影麯綫. 所以先將麯綫Γ的方程F1（x，y，z）=0，F2（x，y，z）=0中的z消去，即得麯綫Γ關於xy坐標麵的投影柱麵方程G（x，y）=0，而其投影麯綫的方程為G（x，y）=0，z=0。讀者可類似求解在yz坐標麵和zx坐標麵上的投影柱麵和投影麯綫的方程。7��1��3典型題型分析
　　例1過點（－3，1，2）及z軸的平麵方程。解答案：x+3y=0。設所求平麵方程為Ax+By+Cz+D=0，其中常數A，B，C不全為零. 由題設平麵過z軸，則所求平麵方程為Ax+By=0；將點（－3，1，2）代入Ax+By=0，得所求平麵方程為x+3y=0。例2求過點（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c）（abc≠0）的圓的方程。解 設過已知三點、球心在（x0，y0，z0）處且半徑為R的球麵方程為
　　（x－x0）2+（y－y0）2+（z－z0）2=R2，
　　將已知三點（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c）代入上述方程，得
　　（a－x0）2+y20+z20=R2，
　　x20+（b－y0）2+z20=R2，
　　x20+y20+（c－z0）2=R2，
　　取y0=0，解得x0=a2－b22a，z0=c2－b22c，R2=a2－b22a2+c2－b22c2，則可求得一個過已知三點的球麵方程為
　　x-a2－b22a2+y2+z－c2－b22c2=a2－b22a2+c2－b22c2。而過已知三點的平麵方程為xa+yb+zc=1. 故所求圓的方程為
　　x-a2－b22a2+y2+z－c2－b22c2=a2－b22a2+c2－b22c2，
　　xa+yb+zc=1。注一球麵與一平麵的交綫是一個圓，這是解答本題的一個基本思想，過三點有無窮多個球麵，此題取的是y0=0的一個特殊球麵，進而使問題得以解決。題型Ⅱ求鏇轉麯麵方程
　　例3在xz坐標麵上的雙麯綫x2a2－z2b2=1繞z軸鏇轉一周所生成的鏇轉麯麵的方程為。解答案：x2+y2a2－z2b2=1。題型Ⅲ常見二次麯麵的標準方程及作圖問題
　　例4就p，q的各種情況說明二次麯麵z=x2+py2+qz2的類型，並作齣簡圖。解此例中圖略，讀者可參見教材。（1） 當p=q=0時，方程化為z=x2，此時麯麵為拋物柱麵。（2） 當q=0，p≠0時，方程為z=x2+py2�� 若p>0，麯麵為橢圓拋物麵；若p<0，麯麵為雙麯拋物麵。（3） 當p=0，q≠0時，若q=a2>0，則方程可化為az－12a2－x2=14a2，麯麵為橢圓柱麵；若q=－a2<0，麯麵為雙麯柱麵。（4） 當p?q≠0時，若p=a2>0，q=b2>0，則方程可化為x2+a2y2+bz－12b2=14b2，麯麵為橢球麵；若p=－a2<0，q=－b2<0，則方程可化為a2y2+bz－12b2－x2=14b2，麯麵為單葉雙麯麵；若p=a2>0，q=－b2<0，則方程可化為x2+a2y2－bz－12b2=－14b2，麯麵為雙葉雙麯麵；若p=－a2<0，q=b2>0，則方程可化為x2－a2y2+bz－12b2=14b2，麯麵為單葉雙麯麵。注會識彆常用的二次麯麵方程，能用截痕法研究二次麯麵的性質。題型Ⅳ空間麯綫的投影柱麵和投影麯綫
　　例5求橢圓拋物麵z=x2+2y2與拋物柱麵z=2－x2的交綫關於xy坐標麵的投影柱麵和在xy坐標麵上的投影麯綫的方程。解由z=x2+2y2，z=2－x2消去z，得所求投影柱麵方程x2+y2=1，從而所求投影麯綫為xy坐標麵上的一個圓
　　7��1��4習題7��1解析
　　1�� 在空間直角坐標係中，指齣下列各點在哪個卦限？
　　A（2，3，－1），B（4，－3，5），C（2，－3，－4），D（－2，－3，1），
　　並求點A（1，3，－1）分彆到（1）坐標原點；（2）各坐標軸；（3）各坐標麵的距離．
　　解A點在第Ⅴ卦限；B點在第Ⅳ卦限；C點在第Ⅷ卦限；D點在第Ⅲ卦限。（1） A到坐標原點的距離為（2－0）2+（3－0）2+（－1－0）2=14。（2） A到x軸的距離為（2－2）2+（3－0）2+（－1－0）2=10；
　　A到y軸的距離為（2－0）2+（3－3）2+（－1－0）2=5；
　　A到z軸的距離為（2－0）2+（3－0）2+（－1+1）2=13。（3） A到坐標麵xy的距離為（2－2）2+（3－3）2+（－1－0）2=1；
　　A到坐標麵yz的距離為（2－0）2+（3－3）2+（－1+1）2=2；
　　A到坐標麵xz的距離為（2－2）2+（3－0）2+（－1+1）2=3．
　　2�� 求點A（3，1，2）關於（1）各坐標麵；（2）各坐標軸；（3）坐標原點的對稱點的坐標．
　　解（1） 關於xy坐標麵、yz坐標麵、xz坐標麵對稱的點的坐標分彆為（3，1，－2），（－3，1，2），（3，－1，2）；
　　（2） 關於x軸、y軸、z軸的對稱點的坐標分彆為（3，－1，－2），（－3，1，－2），（－3，－1，2）；
　　（3） 關於坐標原點的對稱點的坐標是 （－3，－1，－2）。3�� 在yz平麵上求與三已知點A（3，1，2），B（4，－2，－2）和C（0，5，1）等距離的點．解因為所求點在yz平麵上，所以設該點為M（0，y，z），由題意有
　　MA=MB=MC，
　　即
　　（0－3）2+（y－1）2+（z－2）2=（0－4）2+（y+2）2+（z+2）2=（0－0）2+（y－5）2+（z－1）2，
　　解得y=1，z=－2，於是所求點為M（0，1，－2）。4�� 建立以點（1，3，－2）為球心，通過坐標原點的球麵方程．
　　解球麵半徑R=12+32+（－2）2=14，則球麵方程為
　　（x－1）2+（y－3）2+（z+2）2=14，
　　即x2+y2+z2－2x－6y+4z=0．
　　5�� 指齣下列各題中平麵位置的特點，並畫齣各平麵：
　　（1） x=0；（2） z=1；
　　（3） x－2y=0；（4） x+2y=3；
　　（5） 6x+5y－z=0；（6） x+y+z=3。解（1） yz坐標麵；（2） 平行於xy坐標麵的平麵；
　　（3） 通過z軸的平麵；（4） 平行於z軸的平麵；
　　（5） 通過原點的平麵；（6） 平麵在三個坐標軸上的截距都為3。……
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前言/序言

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