內容簡介

目錄

第1章集閤與集閤的運算結構

1.1集閤及其運算

1.1.1集閤

1.1.2集閤的運算

1.1.3集閤之間的映射

1.2集閤的運算結構

1.2.1群、環、域、綫性空間

1.2.2群論初步、幾種重要的群

1.2.3子群、積群、商群

習題1

第2章綫性空間與綫性變換

2.1綫性空間

2.1.1綫性空間的實例

2.1.2綫性空間的基

2.1.3綫性空間的子空間、積空間、直和空間、商空間

2.1.4內積空間

2.1.5對偶空間

2.1.6綫性空間的結構

2.2綫性變換

2.2.1綫性算子空間

2.2.2綫性算子的共軛算子

2.2.3多重綫性代數

習題2

第3章點集拓撲的基本知識

3.1度量空間、賦範綫性空間

3.1.1度量空間

3.1.2賦範綫性空間

3.2拓撲空間

3.2.1拓撲空間中的一些定義

3.2.2拓撲空間的初步分類

3.3拓撲空間上的連續映射

3.3.1拓撲空間之間的映射、映射的連續性

3.3.2拓撲空間的子空間、積空間、商空間

3.4拓撲空間的重要性質

3.4.1拓撲空間的分離性

3.4.2拓撲空間的連通性

3.4.3拓撲空間的緊性

3.4.4拓撲綫性空間

習題3

第4章泛函分析基礎

4.1度量空間理論

4.1.1度量空間的完備化

4.1.2度量空間中的緊性

4.1.3Banach空間的基

4.1.4Hilbert空間的直交係與直交展開

4.2算子理論

4.2.1Banach空間上的綫性算子

4.2.2有界綫性算子的譜理論

4.3綫性泛函理論

4.3.1賦範綫性空間上的綫性泛函

4.3.2Hilbert 空間上的綫性泛函

習題4

第5章分布理論

5.1Schwartz空間、Schwartz分布空間

5.1.1Schwartz空間

5.1.2Schwartz分布空間

5.1.3空間E(Rn)、D(Rn)及其分布空間

5.2Lp(R)(1≤p≤2)上的Fourier變換

5.2.1L1(R)上的Fourier變換

5.2.2L2(R)上的Fourier變換

5.2.3Lp(R)(1

5.3Schwartz分布的Fourier變換

5.3.1Schwartz函數的Fourier變換

5.3.2Schwartz分布的Fourier變換

5.3.3具緊緻支集的Schwartz分布

5.3.4Schwartz分布的捲積與Fourier變換

5.4小波分析

5.4.1小波變換的引入

5.4.2連續小波變換

5.4.3離散小波變換

5.4.4小波變換應用概述

習題5

第6章流形上的微積分

6.1基本概念

6.1.1微分流形結構

6.1.2餘切空間、切空間

6.1.3子流形

6.2外代數

6.2.1(r,s)型張量、(r,s)型張量空間

6.2.2張量代數

6.2.3Grassmann代數

6.3外微分

6.3.1張量叢、矢量叢

6.3.2外微分式的外微分

6.4外微分式的積分

6.4.1光滑流形的定嚮

6.4.2外微分式在定嚮光滑流形上的積分

6.4.3Stokes 公式

6.5Riemann 流形、數學科學與現代物理

6.5.1Riemann 流形

6.5.2連絡

6.5.3Lie群與活動標架法

6.5.4數學科學與現代物理學

習題6

第7章補充知識

7.1變分方法

7.1.1變分與變分問題

7.1.2變分原理

7.1.3更一般的變分問題

7.2Banach空間中的幾個重要定理

7.2.1Stone�瞁eierstrass定理

7.2.2隱映射定理、逆映射定理

7.2.3不動點原理

7.3局部緊群上的Haar積分

習題7

參考文獻

前言/序言

　　21世紀飛速發展的科學技術與人類的生産實踐，對科技人員的素質、知識與能力提齣

　　瞭新的要求。自然科學、社會科學等各個領域中的從業者，在數學思維水平、數學科學

　　知識、數學應用能力方麵所具備的基礎，也達到瞭前所未有的高度。高等數學遠遠不能滿足新的需求，近代數學的思維、概念、理論、方法已經悄然滲透，由高端變為基礎，由理論變為現實，由指導性的方嚮變為科學中的實踐。於是，繼高等數學之後，一本介紹近代應用數學的教程編寫迫在眉睫。

　　近代數學所包含的範圍之廣，知識麵之寬，內容之深，非簡單幾句話所能概括。為瞭給自然科學的主體類（如物理學、天文學、化學、計算機科學、地球科學、生命科學等）的學生準備必要的近代數學知識，南京大學在20世紀90年代，首先在基礎學科教學強化部開設瞭繼高等數學之後的半年近代數學的課程，但未正式命名，而是作為高等數學的第四個學期而設置的，周學時為5的必修課。其內容涵蓋勒貝格積分、微分幾何等，使學生受益匪淺。

　　隨著教學改革的深入和新世紀的到來，我們把勒貝格積分編寫到高等數學教程中，把非數學類學生所需的近代數學知識集中在一起，從2006年開始編寫教材，2007年、2009年兩次印製成講義，並在南京大學匡亞明學院開設瞭為時半年的近代應用數學課程，這就是本書的雛形。對於匡亞明學院的理科強化部、物理、天文類的學生，我們采用邊教邊修改教學內容的方式，逐步完善而成為目前的書稿。

　　本書的內容安排如下：

　　第1章介紹集閤論與近世代數基礎。在集閤論部分，包括集閤的概念、集閤的運算與集閤的重要性質； 關於近世代數部分，重點放在群的結構上。特彆強調如何由已知的群生成新的群（子群、積群、商群），以及這些新生群的運算結構。通過生成新群的思路，顯示齣近代應用數學的思維方法，這在本課程中是重中之重。

　　第2章是綫性空間與綫性變換。一方麵是高等數學中綫性代數的繼續，另一方麵是近世綫性代數所涵蓋的一部分數學基礎，涉及正交幾何與辛幾何的結構，這在近代數學、近代物理與天文學中都起著重要作用。此外，從綫性算子空間的高度，進一步認識綫性空間與綫性變換； 從多重綫性代數的角度認識張量空間等，都為學生理解與應用近代數學打下堅實的基礎。

　　第3章集中介紹點集拓撲知識。集閤的拓撲結構與集閤的運算結構相平行，共同構成近代數學對集閤的重要處理方式，也是近代數學的重要思維方法之一。具有拓撲結構的集閤稱為拓撲空間。拓撲的概念來自實踐，來自歐氏空間，但它高度抽象，不僅蘊含瞭精緻的數學思維，而且成為近代應用數學中必不可少的重要概念之一。這裏也要特彆強調兩點： 一是如何從已知的拓撲空間生成新的空間（子空間、積空間、商空間），這些新生空間的拓撲結構，是讀者應當注意的重點； 二是空間上的連續映射與空間的緊性，請讀者特彆注意它們的意義與作用。

　　第4章是泛函分析基礎。近代科學讀物中常常見到的度量空間、Banach空間、Hilbert空間等，在本章中不僅給齣確切的定義，而且給齣它們的重要性質。由於近代數學有高度的抽象性，許多定理與性質的證明都具有清晰的思路與巧妙的方法，這不是我們在近代數學基礎中所要強調的。但是對於一些具有代錶性的證明，例如度量空間的完備化定理、開映射定理、共鳴定理等，我們仍不惜用較多的篇幅給齣，是因為這些證明中包含瞭豐富的近代數學思想。泛函分析中的算子理論部分，特彆是關於算子序列的收斂性，也作瞭重點介紹。綫性泛函部分則詳細介紹瞭共軛空間與共軛算子。

　　第5章是分布理論，包含瞭Fourier變換的完整內容及其近代的發展——小波變換。從Lp（Rn）（1≤p≤2）的Fourier變換、Schwartz函數的Fourier變換，到Schwartz分布的Fourier變換，詳細介紹瞭它們的定義、性質與關係。Fourier變換在近代科學技術中的作用毋庸置疑。數學傢在20世紀中葉為Fourier分析奠定瞭新的基礎 —— 分布理論。從分布理論的高度重新認識Fourier變換，以近代數學的觀點與思維對待科學研究的對象，對每一個科學研究者至關重要。希望本章能起到這個作用。

　　第6章是流形上的微積分，重點介紹瞭光滑流形、餘切空間、切空間的引入，流形上的微分與積分的定義及運算，並以三維歐氏空間作為輔助模型，給齣各種應用舉例。在概念方麵，本章具有高度的抽象性，僅從定義去理解，有相當大的難度。因此，本章是本書的難點部分。我們按照數學大師陳省身先生引進微分流形的思路編寫瞭本章的內容，力圖使讀者從實際的三維空間齣發去進行一般情形的抽象。期望讀者能領會從特殊到一般、從具體到抽象、從有限到無限、從理論到應用的學習方法，從而體會近代應用數學的真諦。

　　第7章的補充知識，包含瞭近代應用數學中常用的方法，如變分方法； 常用的定理，如Banach空間中的Stone�瞁eierstrass定理、隱映射定理、逆映射定理、不動點原理； 還有常用的概念，如Haar積分的概念。

　　本書所選用的知識載體跨度較大，幾乎包含瞭非數學類自然科學領域的研究工作所必備的近代應用數學知識。在數年、數次的教學實踐中，我們還著力於教學手段的改革，盡力以形象思維啓發抽象思維，以幾何直觀引導分析概念，並輔以啓發性的思考題，形成一個既可獨立使用的完整課程教材，又可供某些係科參考的輔助教材。

　　本書曾由南京大學數學係孫永忠教授、邱華副教授作為教材使用過，他們都提齣瞭有價值的意見與建議。匡亞明基礎學院盧德馨教授、許旺教授以及物理係肖明文教授對本書提齣瞭寶貴意見，於本書的使用、修改起瞭重要作用。清華大學齣版社的石磊副編審對本書編寫和齣版提齣瞭很好的建議，陳明編輯對書稿進行瞭細緻核校，在此一並緻謝。

　　由於作者水平有限，對教學改革的理解還不夠深刻，教材改革的思路、取材、編寫等方麵的不足與錯誤在所難免，更存在許多不盡如人意之處，敬請專傢、同行和讀者不吝賜教。

　　作者2015年1月於南京大學

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好書。

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