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內容簡介

　　在國傢自然科學基金委員會天元基金領導小組委托西安交通大學理學院舉蘇的“西部與周邊地區高等學校非數學類數學教師培訓班”上，12位教授應邀聯閤開設瞭“從大學數學走嚮現代數學”的係列講座，《從大學數學走嚮現代數學》即為該係列講座的集成。書中各篇從大學數學中的某些基本概念與原理齣發，以簡短的篇幅闡明這些基本概念、原理如何發展到近代數學的相關分支與內容，使讀者能更清楚地瞭解大學數學與現代數學的聯係，從而能從更高的觀點和更全麵的視角理解大學數學內容。主要內容包括：從代數運算到代數結構、從有限維空間到無限維空間、從函數到算子、從序列收斂到網收斂、從導數到廣義導數、從Newton-Lcibniz公式到Stokes公式、從Taylor公式到學習理論、從矩陣的特徵值到算子的譜、從微分方程到動力係統、從隨機變量到隨機過程、從數學應用題到數學建模、從Stirling公式到積分的漸近逼近、從平坦的歐氏空間到彎麯的黎曼空間。全書各章內容自成體係。
　　《從大學數學走嚮現代數學》可作為高等學校數學基礎課程教師培訓教材，亦可供高等院校數學及相關專業的高年級本科生、研究生和教師閱讀。

內頁插圖

目錄

第一章 從代數運算到代數結構
1.1 代數運算和代數結構
1.1.1 什麼是代數運算
1.1.2 代數運算的規律
1.1.3 什麼是代數結構
1.1.4 關於運算的同餘關係
1.2 群
1.2.1 對稱與群
1.2.2 群的定義與性質
1.2.3 子群與商群
1.3 環、域
1.3.1 環的定義、性質與類型
1.3.2 子環與商環
1.3.3 域
1.4 模
1.4.1 模、子模、商模
1.4.2 自由模
1.5 同態與同構
1.5.1 同態與同構
1.5.2 同態基本定理
1.5.3 對代數體係的分類

第二章 從有限維空間到無限維空間
2.1 為什麼要引入無限維空間
2.1.1 n維Euclid空間Rn
2.1.2 無限維空間
2.2 度量空間中的收斂性、完備性和緊性
2.2.1 度量空間及其中點列的收斂性
2.2.2 空間的完備性與完備化
2.2.3 列緊性與緊性
2.3 賦範綫性空間與Hahn-Banach定理
2.3.1 賦範綫性空間
2.3.2 等價範數與有限維賦範綫性空間的特徵
2.3.3 有界綫性算子與有界綫性泛函
2.3.4 Hahn-Banach定理與對偶空間
2.3.5 各種收斂性
2.4 Hilbert空間與Fourier展開
2.4.1 Hilbert空間與正交投影
2.4.2 Hilbert空間的正交係與：Fourier展開
2.4.3 可分Hilbert空間的同構性與Hilbert空間的自共軛性

第三章 從函數到算子
3.1 函數概念發展的曆史簡述
3.2 從函數到映射與算子
3.3 廣義函數(分布)

第四章 從序列收斂到網收斂
4.1 數列與序列
4.2 度量空間中的序列
4.2.1 度量空間中序列的極限
4.2.2 度量所誘導的拓撲
4.2.3 用序列描述閉集和開集
4.2.4 連續映射
4.2.5 緊度量空間
4.3 拓撲空間中的網
4.3.1 從Riemann積分的定義看序列概念的局限性
4.3.2 拓撲空間
4.3.3 拓撲空間的若乾基本性質
4.3.4 拓撲空間上的連續映射
4.3.5 乘積拓撲空間
4.3.6 定嚮集與網
4.3.7 用網描述拓撲空間中的基本概念

第五章 從導數到廣義導數
5.1 從微積分中的導數談起
5.1.1 微積分中的導數
5.1.2 導數概念的一種最直接和自然的推廣
5.2 廣義函數與廣義導數
5.3 導子
5.4 切叢與嚮量叢

第六章 從Newton-Leibniz公式到Stokes公式
6.1 Newton-Leibniz公式及其在高維的推廣
6.2 外微分式和外微分
6.2.1 微分的意義
6.2.2 外形式
6.2.3 外微分式
6.2.4 外微分
6.2.5 積分
6.2.6 Stokes公式
6.3 微分流形上的Stokes公式
6.3.1 微分流形的概念
6.3.2 外微分的形式不變性
6.3.3 在光滑流形上外微分式的積分
6.3.4 微分流形上的Stokes公式
6.4 Stokes公式的意義

第七章 從Taylor公式到學習理論
7.1 Taylor公式及其發展
7.1.1 一元函數的Taylor公式
7.1.2 多元函數的Taylor公式
7.1.3 Banach空間上的及Taylor公式
7.2 從函數展開到Fourier分析
7.2.1 多項式展開
7.2.2 Hilbert空間理論
7.2.3 Fourier分析
7.2.4 Fourier變換
7.3 從函數近似到逼近論
7.3.1 用已知有限點信息的近似——數值逼近
7.3.2 用簡單函數的近似——函數逼近論
7.4 小波分析與神經網絡
7.4.1 小波分析
7.4.2 神經網絡

第八章 從矩陣的特徵值到算子的譜
8.1 從矩陣的特徵值談起
8.2 綫性算子的譜
8.3 緊算子和對稱算子的譜
8.3.1 緊算子的譜
8.3.2 對稱算子的譜
8.4 自伴算子的譜分析
8.5 結束語

第九章 從微分方程到動力係統
第十章 從隨機變量到隨機過程
第十一章 從數學應用題到數學建模
第十二章 從Stirling公式到積分的漸近逼近
第十三章 從平坦的歐氏空間到彎麯的黎曼空間
參考文獻

前言/序言

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好書，慢慢評償…

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很好！費曼的作品值得一讀!

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