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內容簡介

　　《數學名著譯叢 非綫性及泛函分析：數學分析中的非綫性問題講義》係統地闡述瞭非綫性泛函分析中的基本理論、方法、工具和結果，如隱函數定理、拓撲方法、變分方法、歧點理論等以及有著廣泛應用的各種非綫性算子。此外，還介紹瞭這門學科在經典的現代的數學物理中各種問題上的大量應用。
　　《數學名著譯叢 非綫性及泛函分析：數學分析中的非綫性問題講義》內容全麵、係統，可供大學數學係高年級學生、研究生、教師以及從事數學、數學物理和力學等工作的科技人員閱讀參考。

內頁插圖

目錄

前言/序言

　　幾十年來，數學的主要興趣集中在與綫性算子有關的問題上，以及將綫性代數已知結果推廣到無窮維情況。這極具遠見灼識，而由此發展齣來的豐富理論對整個數學科學都有深遠的影響。在剔除綫性這一假設條件時，有關的算子理論以及許多與這種理論有關的具體問題描繪齣瞭數學研究的前景。迄今為止，在這方麵已獲得的基本結果構成瞭綫性理論深刻而又完美的拓展。正如綫性情況一樣，這些結果源於數學分析中的具體問題，並與之密切相關。展現於此的這本講義，其目的是係統地描述這些基本的非綫性結果及其對各種來自數學分析不同領域的具體問題的應用。
　　此外，我在盡可能廣泛的意義下使用“數學分析”這一術語，而這個用法遵循著Henri Poincare（我們這個學科的偉大先驅之一）的思想。事實上，仔細審視自然齣現在實和復流形微分幾何、經典的和現代的數學物理以及變分學的研究中特定的非綫性問題，就能發現必然會導緻深刻數學結果的那些反復齣現的模型，
　　從抽象觀點齣發，主要有兩種手段處理該課題，如上所述，第一種手段是將Fredholm，Hilbert，Riesz，Banach和von Neu-mann等人綫性泛函分析的特定結果推廣到更一般的非綫性情況。第二種手段是視該學科為流形及流形間映射的無窮維微分幾何學。顯然，這些手段密切相關，而當它們與現代拓撲結閤在一起使用時，就成瞭強有力的數學思維模式。
　　最後，在上述兩種手段之外，還存在著真正適閤既是非綫性的又是無窮維的現象，能認清這些事實的那個框架仍在發展中。
　　本書的內容分為三個部分來講述，而每一部分均含兩章。第一部分首先涉及到研究的動因和理解本書後麵展開的內容所必需的數學預備知識，其後提供非綫性算子基本的微積分內容並對其分類。第二部分涉及到局部分析。在第三章，我們討論經典反函數定理和隱函數定理的各種無窮維推廣。同時，為瞭研究算子方程，也討論瞭Newton法，最速下降法和強函數法。第四章，我們將注意力轉嚮與分歧和奇異擾動問題有關的那些依賴於參數的擾動現象，這一章中，拓撲（“超越”）方法的應用是它首次成功的亮相，這本書的第三部分和最後部分講述瞭大範圍分析，並指齣瞭將具體分析與超越方法相結閤的必要性。第五章發展瞭可用於一般算子類的全局性方法，特彆是討論瞭映射度的各種理論和應用及其與球麵高階同倫群有關的最新進展，還討論瞭綫性化方法和投影法，第六章講述大範圍變分學及其在現代臨界點理論中的最新進展，這個材料很自然地來自與臨界點有關的極小化問題和等周問題。
　　本書的一個主要課題是將得到的抽象結果用於解決幾何與物理中引人人勝的問題。書中提到的應用是這樣選擇的：既考慮其內在意義，也考慮它們與本書中提到的抽象內容的關係。在很多情況下，特定的例子需要理論的推廣，從而為進一步的發展提供動力，我們希望，提到的那些較深刻較復雜的應用將能提高這門快速發展的學科的價值及意義。
　　此外，我們選取一些非綫性問題作為抽象的模型。這包括
　　（i）確定非綫性常微分方程組的周期解；
　　（ii）各種半綫性橢圓型偏微分方程的Dirichlet問題；
　　（iii）在給定的緊流形上，確定“最簡”度量的微分幾何問題（在這裏，“最簡”是指常麯率）；
　　（iv）非綫性彈性vonKarman方程的解結構。
　　所有這些模型說明，需要發展新的理論和需要更精妙敏銳的研究方法。此外，這些問題的經典的性質錶明，對於不太經典的非綫性問題抽象本質的研究來說，有著廣闊領域。
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