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《微分方程數值解：有限差分理論方法與數值計算》可作為計算數學、應用數學、科學與工程計算等理工科相關專業的研究生和高年級學生的教材或參考書, 也可供從事相關研究工作的教師和科研人員參考.

內容簡介

《微分方程數值解：有限差分理論方法與數值計算》闡述微分方程有限差分數值求解方法. 首先介紹常微分方程初邊值問題的求解方法, 以及收斂性、相容性和穩定性分析; 其次介紹偏微分方程(包括橢圓型方程、拋物型方程和雙麯型方程)的有限差分求解方法和一些重要的差分格式, 以及相應的理論分析; 最後介紹有限差分方法在波動方程波場模擬中的應用; 在附錄中給齣瞭一些常用公式. 《微分方程數值解：有限差分理論方法與數值計算》結閤教學和科研的特點, 不但具有理論的嚴謹性, 還有較多的例題和數值算例, 以促進理解和應用.

目錄

前言
第1章常微分方程初值問題的數值解法1
1.1解的適定性1
1.1.1解的唯一性1
1.1.2解的穩定性3
1.2Euler方法5
1.2.1Euler公式5
1.2.2收斂性分析7
1.2.3漸近穩定性分析10
1.3改進的Euler方法10
1.3.1梯形公式10
1.3.2誤差分析12
1.4Runge-Kutta方法13
1.4.1顯式Runge-Kutta公式13
1.4.2誤差分析23
1.4.3隱式Runge-Kutta公式27
1.5綫性多步法30
1.6穩定性分析34
1.7一般綫性多步法37
1.7.1待定係數法37
1.7.2數值積分法40
1.8Adams綫性多步法41
1.8.1Adams-Bashforth公式41
1.8.2Adams-Moulton公式43
1.9其他綫性多步法45
1.9.1Nystr"om方法46
1.9.2Milne-Simpson公式47
1.10Richardson外推47
1.11綫性差分方程51
1.11.1非常係數綫性差分方程52
1.11.2常係數綫性差分方程56
1.12多步法的收斂性和穩定性61
1.12.1穩定性理論62
1.12.2強穩定性和弱穩定性69
1.12.3相對穩定性與絕對穩定性69
1.12.4Dahlquist穩定性理論73
1.13預測!--!校正算法75
1.13.1局部截斷誤差76
1.13.2修正算法79
1.14剛性方程組的解法82
1.15Hamilton係統的辛幾何算法89
1.15.1辛幾何與辛代數的基本概念89
1.15.2Hamilton係統的辛格式92
練習題96
第2章兩點邊值問題的試射法101
2.1邊值問題解的存在性和唯一性101
2.2二階常微分方程的試射法103
2.3二階非綫性常微分方程的試射法104
練習題109
第3章橢圓型方程的差分解法111
3.1二階綫性兩點邊值問題的差分格式111
3.1.1差分近似112 3.1.2有限體積法114
3.2非綫性兩點邊值問題的差分格式117
3.3Laplace方程的五點差分格式118
3.4有限體積法127
3.5邊界條件的處理128
3.5.1Dirichlet邊界條件128
3.5.2Neumann邊界條件129
3.5.3Robbins邊界條件132
3.6軸對稱Poisson方程的差分格式135
3.7擴散對流方程139
3.8Poisson方程五點差分格式的收斂性分析140
3.9能量分析法143
練習題147
第4章收斂性、相容性和穩定性150
4.1收斂性150
4.2相容性152
4.3穩定性156
4.4Lax定理159
4.5Fourier級數法穩定性分析161
4.5.1初值問題161
4.5.2初邊值問題169
4.5.3vonNeumann條件的充分性173
4.6vonNeumann多項式分析177
4.7Hurwitz判彆法187
4.8矩陣法穩定性分析195
4.9能量穩定性分析203
4.9.1雙麯型問題203
4.9.2熱傳導問題207
4.9.3非綫性初值問題209
練習題213
第5章拋物型方程的差分解法216
5.1一維常係數擴散方程216
5.1.1嚮前和嚮後差分格式216
5.1.2加權隱式格式217
5.1.3三層顯格式218
5.1.4二層隱式格式222
5.1.5三層隱格式223
5.2變係數拋物型方程224
5.3非綫性拋物型方程226
5.3.1三層顯格式226
5.3.2綫性化差分格式227
5.3.3CN格式和預測校正格式228
5.4二維熱傳導方程230
5.4.1加權差分格式230
5.4.2Du Fort-Frankel格式231
5.4.3交替方嚮隱(ADI)格式231
5.4.4局部一維(LOD)法236
5.5三維熱傳導方程237
5.6高維熱傳導方程241
5.7算子形式的熱傳導方程243
5.7.1CN格式243
5.7.2 CN分裂格式244
練習題247
第6章雙麯型方程的差分解法250
6.1綫性對流方程250
6.1.1迎風格式250
6.1.2Lax-Friedrichs格式252
6.1.3Lax-Wendroff格式253
6.1.4MacCormack格式254
6.1.5Wendroff隱式格式255
6.1.6Crank-Nicolson格式256
6.2特徵綫與差分格式257
6.2.1特徵綫與CFL條件257
6.2.2用特徵綫方法構造差分格式260
6.3偏微分方程的相位速度和群速度262
6.3.1相位速度262
6.3.2群速度263
6.4數值相位速度和群速度264
6.5修正的偏微分方程269
6.6一階雙麯型方程組的特徵形式277
6.7一階雙麯型方程組的差分格式280
6.8二維綫性對流方程的差分格式284
6.8.1典型差分格式284
6.8.2ADI格式287
6.9一維聲波方程289
6.9.1特徵綫289
6.9.2顯式差分格式291
6.9.3隱式差分格式293
6.9.4方程組形式的差分格式295
6.10二維聲波方程298
6.10.1顯式格式298
6.10.2隱式格式300
6.11三維聲波方程301
6.11.1顯式格式301
6.11.2隱式格式304
練習題305
第7章波動方程有限差分波場模擬308
7.1ADI格式308
7.1.1二維聲波方程309
7.1.2三維聲波方程315
7.2LOD格式319
7.2.1二維聲波方程319
7.2.2三維聲波方程322
7.2.3高維聲波方程324
7.3高精度LOD格式325
7.3.1穩定性分析327
7.3.2初邊值條件329
7.3.3數值計算330
7.4高階緊緻隱式格式334
7.5二維彈性波方程的交錯網格法338
7.6二維彈性波方程的有限體積法343
7.6.1公式推導343
7.6.2數值計算346
7.7三維彈性波方程的交錯網格法348
7.8多孔含流體彈性介質方程的交錯網格法355
7.8.1彈性多孔介質方程------Biot方程355
7.8.2基於速度壓力方程的交錯網格法358
7.8.3二維數值計算363
7.8.4三維數值計算364
7.9三維彈性波方程的能量穩定性分析373
7.10三維電磁場方程381
附錄1差分係數的計算390
附錄2常用公式和定理396
參考文獻401
索引406

精彩書摘

第1章常微分方程初值問題的數值解法
1.1解的適定性
常微分方程是描述物理模型的重要工具之一，本章介紹求解常微分方程初邊值 問題的數值方法.考慮如下一階常微分方程的初值問題
其中函數f(x，y)已知， 且在區域(x，y) in D= (x，y)| a leqslant xleqslant b， - infty< y< infty 中連續. 對某些常微分方程，可以求得精確解. 例如，
是一個一階綫性微分方程， g(x)在[0， infty)上連續.滿足條件y(x_0)=y_0的精確解為
又如， 非綫性常微分方程
的通解為
其中c是任意常數. 注意= infty，因此f(x，y)=-y^2的全局光滑性並不保證解的 全局光滑性.在數值求解之前， 本節先論式( ref1.1)的適定性，即解的存在性、唯一性和穩定性. 假定所討論問題的解總存在.
1.1.1解的唯一性
若f(x，y)是x和y的連續函數，且關於y滿足Lipschitz條件條件， 即
使得
對D中所有的(x，y_1)和(x，y_2)均成立， 則式( ref1.1)有唯一解.
證明 將式( ref1.1)改寫成等價的積分方程
為證明式(1.1.7)有唯一解， 在[x_0- alpha， x_0+alpha]上定義一個函數序列y_n(x)
常數 alpha的選擇要求滿足
若 alpha選擇得充分小， 則所有y_n(x)仍在D中， 且在[x_0-alpha，x_0+ alpha] 上一緻收斂到函數y(x). 在式(ref1.10)中取極限， 得
此即式( ref1.1)的解.
下麵分析收斂速度. 由式( ref1.10)和式( ref1.12)得
因右端項與x無關， 左端在[x_0- alpha，x_0+ alpha]上取極大值， 故有
再由式( ref1.11)知， 每次迭代誤差減小 alpha L倍，因此是綫性收斂的.最後證明解y(x)的唯一性. 設 tildey(x)是另一個解， 則
同式( ref1.14)一樣， 有
因為 alpha L<1， 從而 tildey(x)=y(x) vspace1.5mm.
若 dfrac partial f(x，y) partial y在D上存在並有界， 則條件(ref1.6)滿足.
實際上取則根據中值定理， 存在 xi_x in [y_1，y_2]，有
再結閤式( ref1.7)即得式( ref1.6). square th
例1.1.1 考慮
根據式( ref1.7)， 由
可得Lipschitz常數L=1. 因此對於 forall (x_0，y_0) (0例1.1.2 考慮
y'= dfrac2xa^2y^2， quad y(0)=1，
其中a>0為任意常數. 為確定Lipschitz常數， 計算
dfrac partial f(x，y) partial y= dfrac4xya^2，
為滿足Lipschitz條件， 我們選擇區域D使得x，y有界即可，從而初值問題有唯一解. 實際上， 該問題的精確解是
y(x)= dfraca^2a^2-x^2， quad -a解的穩定性當初值問題( ref1.1)有擾動時， 討論解y(x)的穩定性. 考慮擾動問題
其中 delta(x)關於x連續， f(x，y)滿足定理 refTheorem1的條件，從而問題( ref2.1) 有唯一解. 解記為y(x; delta， varepsilon)， 即
假設 varepsilon和 delta滿足
則解的誤差
滿足下麵的定理1.1.2. beginThm labelTheorem2 rm kaishu
~假定f(x，y)是x和y的連續函數，且關於y滿足Lipschitz條件， linebreak delta(x)在D上連續，則擾動解y(x; delta， varepsilon) 滿足
其中 tildeL=1/(1- alpha L)，並稱初值問題關於數據的擾動是穩定的.th
證明 由式( ref2.4)得
從而
即
定理1.1.2錶明解連續依賴於數據.~如果解連續依賴於數據， 就稱初值問linebreak題( ref1.1)關於數據的擾動是良態 index良態的，否則就稱病態的 index病態. 由式( ref2.5)知， 由於varepsilon和 delta(x)在該式右端的作用等價， 所以為簡單起見，可以令 delta=0. th
例1.1.3 考慮
該問題的精確解為y(x)= rm e^-x. 對初值作擾動， 取y(0)=1+varepsilon， 這時精確解為
顯然， 對任意 varepsilon neq 0， 擾動解y(x;varepsilon)偏離真實解y(x)= rm e^-x 很大. 該問題是病態linebreak問題.
事實上， 當 dfrac partial f(x，y(x)) partial y>0時， 初值問題(ref1.1)是一個病態問題. 考慮
由式( ref2.4)知
其中z(x; varepsilon)=y(x; varepsilon)-y(x). 式(ref2.12)可轉化為綫性微分方程
其解為
當 dfrac partial f(t，y(t)) partial y>0時， z(x;varepsilon)是x的增函數.
sectionEuler方法 setcounterequation0
本節首先介紹數值求解一階常微分方程初值問題(ref1.1)的最簡單的一種單步法 !------ ，Euler方法，並分析Euler方法的收斂性和(漸近)穩定性.Euler方法是一個一階精度的顯式計算格式. subsectionEuler公式目標是在一係列網格點 vspace-1mm上求初值問題解的近似值. 數值解的近似值記為 vspace-1mm相應的解的精確值記為 vspace-1mmEuler方法是指用 kaish
u Euler公式
i

前言/序言

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