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內容簡介

　　《現代物理基礎叢書·典藏版：反常統計動力學導論》係統深入地介紹瞭反常擴散和輸運過程的機製、模型及數值模擬方法，全書共12章。其內容包括隨機變量和概率分布、演化方程、反常擴散現象、非各態曆經隨機運動、含非歐姆摩擦的廣義朗之萬方程、連續時間無規行走、分數階微積分、分數階朗之萬方程、分數階福剋爾一普朗剋方程、萊維飛行、非廣延統計力學和數值算法，用非傳統的模型與方法處理反常現象，例如，引入瞭分數階微積分、連續時間無規行走等幾個新技術，同時又能過渡到正常擴散；也關注一些新近實驗感興趣的課題，例如，小係統熱力學、老化問題、反常熱傳導等。
　　《現代物理基礎叢書·典藏版：反常統計動力學導論》力求理論上來龍去脈清楚，基礎與前沿兼顧，包含瞭作者的研究成果，以助從事隨機動力學的科技人員擴大視野、創建模型，也可供高等學校物理、化學、核科學、生物、係統科學、應用數學等專業的本科生和研究生學習熱力學與統計物理、非平衡態統計物理、隨機過程、數學選講參考之用。

內頁插圖

目錄

前言

第1章 隨機變量和概率分布
1．1 統計動力學的任務
1．2 一般定義
1．3 無規行走、正常擴散
1．4 平均
1．5 中心極限定理
1．5．1 正常中心極限定理
1．5．2 寬分布的中心極限定理
1．5．3 中心極限定理的物理價值
1．6 馬爾可夫過程
1．6．1 穩定馬爾可夫過程的定義
1．6．2 0rnstein-Uhlenbeck過程
1．6．3 幾點注意
1．7 宏觀過程不可逆性的統計基礎
1．7．1 馬爾可夫層級關係
1．7．2 概率假設的時間之箭
習題

第2章 演化方程
2．1 從微觀動力學到宏觀分布函數
2．1．1 微觀動力係統
2．1．2 海森伯繪景和薛定諤繪景
2．2 Chapman-Kolmogorov方程
2．2．1 Chapman-Kolmogorov方程的推導
2．2．2 兩個簡單的馬爾可夫過程
2．3 微分Chapman-Kolmogorov方程
2．4 確定性過程和劉維爾方程
2．5 跳躍過程和主方程
2．6 擴散過程和福剋爾一普朗剋方程
2．7 劉維爾主方程
2．8 一些具體的馬爾可夫過程
習題

第3章 反常擴散現象
3．1 寬分布導緻超擴散
3．1．1 萊維飛行和物理應用
3．1．2 洛倫茲氣體中幾何誘發反常擴散
3．1．3 聚閤物吸附和自消除萊維飛行
3．2 長等待時間誘發欠擴散
3．2．1 晶格上的無規行走
3．2．2 梳狀結構中的擴散
3．2．3 間歇動力係統中的反常擴散
3．2．4 反常擴散實驗
3．3 長程關聯
3．3．1 關聯的實用性
3．3．2 極限分布的形狀
3．3．3 幾何關聯和反常擴散
3．3．4 擴散行為
3．4 俘獲、位壘和無規力
3．4．1 模型
3．4．2 電子和力學問題的等價性
3．4．3 隨機場伊辛模型的應用
3．5 分數階布朗運動

第4章 非各態曆經隨機運動
4．1 漲落耗散定理與擴散係數
4．2 各態曆經判據
4．2．1 Brinkhoff判據
4．2．2 Khinchin判據
4．2．3 Lee判據
4．2．4 內在判據和外在錶現
4．3 牛頓和朗之萬之間的動力學
4．4 彈道擴散
4．5 局域化
4．5．1 阻尼陷阱
4．5．2 氣體分子與固體錶麵相互作用
4．6 外場下的兩類非各態曆經運動
……

第5章 含非歐姆摩擦的廣義朗之萬方程
第6章 連續時間無規行走
第7章 分數階微積分
第8章 分數階朗之萬方程
第9章 分數階福剋爾一普朗剋方程
第10章 萊維飛行
第11章 非廣延統計力學
第12章 數值算法

附錄A Mittag-Leffler函數
附錄B Fox日函數
附錄C 萊維分布的一些注釋和基於Fox函數的精確錶示
附錄D α穩定隨機變量的注記

參考文獻
索引

前言/序言

　　近年來，隨著實驗手段的極大進步，人們愈加關心尺度越來越小、條件越來越極端的係統.因而，許多領域呈現瞭偏離布朗運動特徵和非標準統計物理的結果.最簡單的情況為自由粒子的一維隨機運動，其位移平方的平均值在長時間下不再是隨時間綫性增長的函數，而是一個時間的冪函數：（（△X）2）α2Dt（a），這裏α為一個介於0和2之間的任意實數.其中，0＜a＜l為欠擴散；α=1是正常擴散；1＜α＜2為超擴散，兩個極限：α=0對應於局域化，α=2稱為彈道擴散，皆可通過非馬爾可夫朗之萬方程實現.當然，α＞2的情況也在湍流中被發現。
　　“反常的是正常的”——探索奇異現象和發展新理論業已成為科學共同體的興趣和動力所在，有關反常擴散的文章數量以快於綫性隨時間增長的速度問世，例如，2008年就有大約500篇這方麵的論文發錶。
　　産生反常擴散的機製在於：①復雜幾何誘發：②跳躍長度或等待時間的長拖尾分布；③非馬爾可夫長程關聯記憶，第一種是事先未知的、由過程來確定；在後兩種情況下，關於隨機變量的分布密度函數或者動力學方程是已知的，反常擴散模型有三類：連續時間無規行走、分數階布朗運動、廣義朗之萬方程，與正常擴散相比較，反常擴散的結果導緻非指數弛豫和非玻爾茲曼分布，比如欠擴散具有慢衰減特性，但其穩定態接近熱平衡係統：而萊維飛行給齣瞭放大和彌散的擴散，破壞瞭統計物理賴以生存的中心極限定理.自由狀態下呈反常擴散的係統置於簡諧勢、非諧勢、雙阱勢、周期勢、亞穩勢等各種勢場以及摩擦環境之下，它們可以用來模型許多具體問題.這裏耗散性的過程也通稱為輸運過程.其中的弛豫、輸運、穩定態及熱力學行為是非常值得研究的。
　　對反常擴散和輸運機製的研究衍生齣來瞭“分數階統計動力學”，例如，分數階福剋爾一普朗剋方程和分數階朗之萬方程.核心是引入瞭分數階時間和空間導數，即黎曼一劉維爾分數階微積分，前者用在欠擴散中，後者導緻超擴散，這與人們以往熟知的分數物理和分形物理有著本質上的差彆.例如，定義粒子的分數階速度為它位置的分數階導數，這時已經沒有瞬間速度的概念，而是把軌道的曆史貢獻進來，那麼牛頓力學和朗之萬隨機力學需要推廣，統計力學與物理學的任何其他分支學科相比，更容易受到方法論和錶述問題的睏擾，對物理工作者而言，概率和統計方法一直使他們非常苦惱，這種方法並不是為得到結果的權宜之計，它深刻的物理含意和巨大功效是十分迷人的。
　　本書將擴散的量子理論擱置一邊，而僅關注經典非平衡和非標準統計力學，原因有三點，①顯然，這種做法為處理大量有趣但並不生僻的問題（它們均是目前研究的前沿）留齣瞭空間，包括諸如破缺係統、分形環境、老化問題、非各態曆經、反常熱傳導等，這些問題並不齣現在一般的統計力學書中；另外，由於破缺係統不嚴格存在可分離的時間尺度，不能用簡單的布朗運動模型和朗之萬方程來刻畫，那些復雜的情形不能用規則的統計手段來處理，而需要使用甚至引入一些非傳統的數學工具，例如，分數階微積分、連續時間無規行走等.②為瞭理解多自由度係統f實際上，在統計動力學中，引入漲落和噪聲就大為降低瞭問題的維數）不可逆性的基本行為，本質上並不真正需要量子力學，也就是說，經典描述已經可以囊括問題的主要方麵.當然，這並不是說量子力學不重要，它在處理高溫和低溫超導體、超流體、自鏇玻璃等的輸運問題中是不可或缺的，可能一些重要問題遺憾地被本書忽略瞭，③對經典統計力學好的理解為嚮量子論的推廣作瞭一個前期準備。
　　作者在寫作風格上，藉鑒瞭國內外書籍的成功經驗，對可能引起混淆的問題多用標注的形式，以引起重視；在每章結束，盡量予以評注或小結，提綱挈領，希望這本書能夠幫忙幫到點子上：為方便讀者的自學，本著越基本越好，解析的例子越多越好的原則，注意知識之間的內在邏輯性，外在關聯性，情況往往是這樣的，大段的和嚴密的理論推演也許難以使新手理解和運用模型，而一些簡單的實例往往會使讀者茅塞頓開，所以本書某些章節還安排瞭一定數量的習題，它們是書中重要內容的補充和應用.讀者不妨花費少許的時間動動手。
　　衷心感謝中國原子能科學研究院張煥喬院士、卓益忠研究員、劉祖華研究員，中國科學院大氣物理研究所吳國雄院士、劉屹岷研究員，中國科學院理論物理研究所趙恩廣研究員、周善貴研究員，北京理工大學邢修三教授，北京大學張啓仁教授、許甫榮教授，清華大學硃勝江教授，南京大學任中洲教授，北京師範大學楊展如教授、鬍崗教授、楊國健教授，中國科學院上海應用物理研究所方海平研究員，河北工業大學紀青教授，德國奧格斯堡大學P.Hanggi教授，日本京都大學Y.Abe教授，法國國傢重離子實驗室D.Boilley教授，巴西的巴西利亞大學F.A.Oliveira教授對作者在擴散理論與應用研究的幫助以及對本書齣版的支持，以及我的博士研究生王海燕、白占武、呂坤、林方、張小鵬、賈穎、周妍、覃莉、盧宏、趙江林、宋艷麗、王春陽、上官丹驊、呂艷等在此課題上與我的閤作。
　　本書得到中國科學院科學齣版基金的資助，另外，還要感謝國傢自然科學基金（11175021、10875013、10674016、10235020）、教育部博士點基金（200827005、200527001）、中國科學院知識創新工程（KZCX2-YW-Q11-01）、德國學術交流中心（DAAD）和日本學術振興會（JSPS）對作者的本書所涉及研究的支持。
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