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內容簡介

　　不斷有許多隻言片語的數學傳聞從導師傳到學生或者從同事傳到同事，但這些常常是模糊的，而在正式文獻中去進行討論叉顯得不甚嚴肅。通常對知道這種“數學傳說”的人來說也隻是個碰巧的機會而已。
　　但是到瞭今天，這樣一些隻言片語也可通過研究博客這種半正式的媒體進行有效和高效率的傳播。《美國數學會經典影印係列 龐加萊的遺産（第2部分）：第二年的數學博客選文（影印版）》便是由博客産生的。
　　2007年，陶哲軒（Terence Tao）創建瞭一個包含多種話題的數學博客，涵蓋瞭他自己的研究工作和其他新近的數學進展，也包括他的教課講義、非專業性的難題以及專業文章。第1年的博客已由美國數學會齣版。2008年的博文講義分兩冊齣版。
　　《美國數學會經典影印係列 龐加萊的遺産（第2部分）：第二年的數學博客選文（影印版）》是他的第二年博文的第II部分，主要講述瞭幾何、拓撲和偏微分方程。《美國數學會經典影印係列 龐加萊的遺産（第2部分）：第二年的數學博客選文（影印版）》的主要部分由陶哲軒的關於龐加萊猜想的課程講義和Perelman近期引起轟動的解答組成。他的課程包含瞭對黎曼幾何和較小範圍內的拋物偏微分方程所需要的基本概念和結果的迴顧。課程的目的在於詳細敘述論證的高水平特徵，並且為瞭完善處理問題而以豐富的參考資料概述其餘的問題，從而選擇齣論證的特定部分。這些講義盡可能地做到自足，而較之於技術細節則重視“大視圖”。除瞭這些講義外《美國數學會經典影印係列 龐加萊的遺産（第2部分）：第二年的數學博客選文（影印版）》還討論瞭其他備類論題，包括諸如規範場論、Kakeya針問題，以及Black-Scholes方程。博客讀者的一些評論和反饋也被選進這些文章中。《美國數學會經典影印係列 龐加萊的遺産（第2部分）：第二年的數學博客選文（影印版）》適閤於研究生和數學工作者閱讀。

作者簡介

　　陶哲軒，2014年數學突破奬得主。他是加州大學洛杉磯分校（UCLA）的James和Carol Collis講席教授，24歲就晉升為全職教授。2006年他就已經成為瞭獲得Fields奬的年輕數學傢。他的其他榮譽還包括瞭美國工業和應用數學學會的George Polya奬（2010），國傢科學基金會的Alan T.Waterman奬（2008），SASTRA Ramanujan奬（2006），Clay數學研究所的Clay奬（2003），美國數學會的Bochner紀念奬（2002）以及Salem奬（2000）。

內頁插圖

目錄

Preface
A remark on notation
Acknowledgments

Chapter 1 Expository Articles
1．1 Dvir's proof of the finite field Kakeya conjecture
1．2 The Black-Scholes equation
1．3 Hassell's proof of scarring for the Bunimovich stadium
1．4 What is a gauge?
1．5 When are eigenvalues stable?
1．6 Concentration compactness and the profile decomposition
1．7 The Kakeya conjecture and the Ham Sandwich theorem
1．8 An airport-inspired puzzle
1．9 A remark on the Kakeya needle problem

Chapter 2 The Poincare Conjecture
2．1 Riemannian manifolds and curvature
2．2 Flows on Riemannian manifolds
2．3 The Ricci flow approach to the Poincare conjecture
2．4 The maximum principle， and the pinching phenomenon
2．5 Finite time extinction of the second homotopy group
2．6 Finite time extinction of the third homotopy group， I
2．7 Finite time extinction of the third homotopy group， II
2．8 Rescaling of Ricci flows and k-non-collapsing
2．9 Ricci flow as a gradient flow， log-Sobolev inequalities， and Perelman entropy
2．10 Comparison geometry， the high-dimensional limit， and the Perelman reduced volume
2．11 Variation of L-geodesics， and monotonicity of the Perelman reduced volume
2．12 k-non-collapsing via Perelman's reduced volume
2．13 High curvature regions of Ricci flow and k-solutions
2．14 Li-Yau-Hamilton Harnack inequalities and k-solutions
2．15 Stationary points of Perelman's entropy or reduced volume are gradient shrinking solitons
2．16 Geometric limits of Ricci flows， and asymptotic gradient shrinking solitons
2．17 Classification of asymptotic gradient shrinking solitons
2．18 The structure of k-solutions
2．19 The structure of high-curvature regions of Ricci flow
2．20 The structure of Ricci flow at the singular time， surgery， and the Poincare conjecture

Bibliography
Index

前言/序言

　　近年來，我國的科學技術取得瞭長足進步，特彆是在數學等自然科學基礎領域不斷湧現齣一流的研究成果。與此同時，國內的科研隊伍與國外的交流閤作也越來越密切，越來越多的科研工作者可以熟練地閱讀英文文獻，並在國際頂級期刊發錶英文學術文章，在國外齣版社齣版英文學術著作。
　　然而，在國內閱讀海外原版英文圖書仍不是非常便捷。一方麵，這些原版圖書主要集中在科技、教育比較發達的大中城市的大型綜閤圖書館以及科研院所的資料室中，普通讀者藉閱不甚容易；另一方麵，原版書價格昂貴，動輒上百美元，購買也很不方便。這極大地限製瞭科技工作者對於國外先進科學技術知識的獲取，間接阻礙瞭我國科技的發展。
　　高等教育齣版社本著植根教育、弘揚學術的宗旨服務我國廣大科技和教育工作者，同美國數學會（American Mathematical Society）閤作，在徵求海內外眾多專傢學者意見的基礎上，精選該學會近年齣版的數十種專業著作，組織齣版瞭“美國數學會經典影印係列”叢書。美國數學會創建於1888年，是國際上極具影響力的專業學術組織，目前擁有近30000會員和580餘個機構成員，齣版圖書3500多種，馮，諾依曼、萊夫謝茨、陶哲軒等世界級數學大傢都是其作者。本影印係列涵蓋瞭代數、幾何、分析、方程、拓撲、概率、動力係統等所有主要數學分支以及新近發展的數學主題。
　　我們希望這套書的齣版，能夠對國內的科研工作者、教育工作者以及青年學生起到重要的學術引領作用，也希望今後能有更多的海外優秀英文著作被介紹到中國。
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