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內容簡介

　　不斷有許多隻言片語的數學傳聞從導師傳到學生或者從同事傳到同事，但這些常常是模糊的，而在正式文獻中去進行討論叉顯得不甚嚴肅。通常對知道這種“數學傳說”的人來說也隻是個碰巧的機會而已。但是到瞭今天，這樣一些隻言片語也可通過研究博客這種半正式的媒體進行有效和高效率的傳播。《龐加萊的遺産（第1部分）：第二年的數學博客選文（影印版）》便是由博客産生的。
　　2007年，陶哲軒（Terence Tao）創建瞭一個包含多種話題的數學博客，涵蓋瞭他自己的研究工作和其他新近的數學進展，也包括他的教課講義、非專業性的難題以及專業文章。第1年的博客已由美國數學會齣版。2008年的博文講義分兩冊齣版。《龐加萊的遺産（第1部分）：第二年的數學博客選文（影印版）》是他的第二年博文的第1部分，主要講述瞭遍曆理論、組閤學以及數論。第二章由陶哲軒的拓撲動力係統和遍曆理論課的講義組成。利用各種對應原理，關於動力係統的遞歸定理便被用來證明在組閤學中和其他一些數學領域中的一些深刻定理。這些講義盡可能地做到自足，而較之於技術細節則更重視“大視圖”。除瞭這些講義外，《龐加萊的遺産（第1部分）：第二年的數學博客選文（影印版）》還討論瞭其他各類論題：從加性素數理論的新發展到單個數學論題的闡述性文章，諸如大數定律和Mersenne素數的Lucas-Lehmer判彆法。一些選齣的評論和博客讀者的反饋也吸收進這些文章中。《龐加萊的遺産（第1部分）：第二年的數學博客選文（影印版）》適閤於研究生和數學工作者閱讀。

內頁插圖

目錄

Preface
A remark on notation
Acknowledgments

Chapter 1． Expository Articles
§1．1． The blue-eyed islanders puzzle
§1．2． Kleiner's proof of Gromov's theorem
§1．3． The van der Corput lemma， and equidistribution on nilmanifolds
§1．4． The strong law oflarge numbers
§1．5． Tate's proof of the functional equation
§1．6． The divisor bound
§1．7． The Lucas-Lehmer test for Mersenne primes
§1．8． Finite subsets of groups with no finite models
§1．9． Small samples， and the margin of error
§1．10． Non-measurable sets via non-standard analysis
§1．11． A counterexample to a strong polynomial Freiman-Ruzsa conjecture
§1．12． Some notes on "non-classical" polynomials in finite characteristic
§1．13． Cohomology for dynamical systems

Chapter 2． Ergodic Theory
§2．1． Overview
§2．2． Three categories of dynamical systems
§2．3． Minimal dynamical systems， recurrence， and the Stone-Cechcompactification
§2．4． Multiple recurrence
§2．5． Other topological recurrence results
§2．6． Isometric systems and isometric extensions
§2．7． Structural theory of topological dynamical systems
§2．8． The mean ergodic theorem
§2．9． Ergodicity
§2．10． The Furstenberg correspondence principle
§2．11． Compact systems
§2．12． Weakly mixing systems
§2．13． Compact extensions
§2．14． Weakly mixing extensions
§2．15． The Furstenberg-Zimmer structure theorem and the Furstenberg recurrence theorem
§2．16． A Ratner-type theorem for nilmanifolds
§2．17． A Ratner-type theorem for S/2（R） orbits

Chapter 3． Lectures in Additive Prime Number Theory
§3．1． Structure and randomness in the prime numbers
§3．2． Linear equations in primes
§3．3． Small gaps between primes
§3．4． Sieving for almost primes and expanders

Bibliography
Index

前言/序言

　　不斷有許多隻言片語的數學傳聞從導師傳到學生或者從同事傳到同事，但這些常常是模糊的，而在正式文獻中去進行討論叉顯得不甚嚴肅。通常對知道這種“數學傳說”的人來說也隻是個碰巧的機會而已。但是到瞭今天，這樣一些隻言片語也可通過研究博客這種半正式的媒體進行有效和高效率的傳播。《龐加萊的遺産（第1部分）：第二年的數學博客選文（影印版）》便是由博客産生的。
　　2007年，陶哲軒（Terence Tao）創建瞭一個包含多種話題的數學博客，涵蓋瞭他自己的研究工作和其他新近的數學進展，也包括他的教課講義、非專業性的難題以及專業文章。第1年的博客已由美國數學會齣版。2008年的博文講義分兩冊齣版。《龐加萊的遺産（第1部分）：第二年的數學博客選文（影印版）》是他的第二年博文的第1部分，主要講述瞭遍曆理論、組閤學以及數論。第二章由陶哲軒的拓撲動力係統和遍曆理論課的講義組成。利用各種對應原理，關於動力係統的遞歸定理便被用來證明在組閤學中和其他一些數學領域中的一些深刻定理。這些講義盡可能地做到自足，而較之於技術細節則更重視“大視圖”。除瞭這些講義外，《龐加萊的遺産（第1部分）：第二年的數學博客選文（影印版）》還討論瞭其他各類論題：從加性素數理論的新發展到單個數學論題的闡述性文章，諸如大數定律和Mersenne素數的Lucas-Lehmer判彆法。一些選齣的評論和博客讀者的反饋也吸收進這些文章中。《龐加萊的遺産（第1部分）：第二年的數學博客選文（影印版）》適閤於研究生和數學工作者閱讀。
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