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內容簡介

　　《現代數學基礎叢書·典藏版25：代數體函數與常微分方程》係統地介紹瞭亞純函數、代數體函數Nevanlinna理論和整函數Wimanvaliron理論，以及它們與復域的常微分方程理論相結閤的基本內容和若乾新研究。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版25：代數體函數與常微分方程》可供大學數學係高年級學生、研究生、數學和其他科技工作者閱讀和參考。

內頁插圖

目錄

第一章 Wiman-Valiron理論
§1．1 最大模
§1．2 增長級和收斂指數
§1．3 最大項、中心指標和Newton多邊形
§1．4 導數的局部性質

第二章 代數體函數
§2．1 預備知識
§2．2 亞純函數Nevanlinna理論
§2．3 代數體函數的特徵函數與第一基本定理
§2．4 代數體函數的增長級
§2．5 對數導數基本引理
§2．6 代數體函數的第二基本定理及其推廣
§2．7 代數體函數的虧量、虧值與重值
§2．8 具有多個虧值的代數體函數
§2．9 代數體函數的唯一性問題
§2．10 全純函數的綫性組閤與代數體函數

第三章 復域的常微分方程理論初步
§3．1 Cauchy存在與唯一性定理
§3．2 奇點
§3．3 具有固定臨界點的一階代數微分方程
§3．4 Riccati方程

第四章 具有亞純解和代數體解的微分方程
§4．1 復閤函數的特徵
§4．2 Rellich-Wittich定理
§4．3 具有單值亞純解的常微分方程
§4．4 二項式微分方程
§4．5 具有代數體函數解的微分方程

第五章 復域的常微分方程的大範圍解
§5．1 綫性常微分方程
§5．2 Riccati方程的亞純解
§5．3 一階代數微分方程
§5．4 高階代數微分方程解析解的增長性
§5．5 高階代數微分方程解析解的值分布
§5．6 常微分方程亞純解的因子分解

參考文獻
名詞索引

前言/序言

　　早在十八世紀數學傢們已經發現，用已知初等函數的有限組閤來錶示大範圍通解的常微分方程非常罕見，但是，A.Cauchy曾證明，在極為廣泛的假設下，復域中常微分方程的解是復變數的解析函數。因此，把微分方程的解視為由方程定義的一類解析函數，應用復變函數的一般理論直接從微分方程齣發研究解的性質，或者對解的性質提齣某些要求後研究相應微分方程的性狀，便成為復域中微分方程理論的基本內容，亦稱為常微分方程解析理論，它與復變函數的一般理論的發展互相平行、密切相關，常常是其中一個理論的發展影響著另一個理論的發展，
　　本世紀二十年代由著名芬蘭數學傢R。Nevanlinna創立的亞純函數值分布理論是本世紀最重大的數學成就之一，它是現代亞純函數論的基礎，它對數學的其它分支産生重大的影響，如今已不僅僅停留在單個變數亞純函數的研究上，值得指齣的是，在1930年前後，G.Valiron.E.Ullrich和H。Selberg等人分彆用不同的方法對代數體函數建立瞭相當於亞純函數的Nevanlinna基本定理。代數體函數是一類多值解析函數。在H。Poincare最初引入時，G.Darboux即認為它是一類重要函數，後P.Painleve在研究常微分方程時也遇到這一函數，其理論至今仍為許多人所研究。Nevanlinna理論對常微分方程解析理論的發展亦産生瞭重大的影響。在亞純函數與代數體函數Nevanlinna理論建立的初期，日本數學傢吉田耕作便應用此理論於一類非綫性微分方程的研究，他對於J.Malmquist提齣的重要定理給齣瞭一個簡明的證明，並大大推廣瞭原先的結果。這一研究引起瞭廣泛的注意。本世紀五十年代聯邦德國數學傢H。Wittich及其學生係統地研究瞭Nevanlinna理論對常微分方程理論的意義，使得這一理論成為研究復域中常微分方程大範圍解析解的重要工具，其後，蘇聯、美國、芬蘭、聯邦德國和日本等國的數學傢進一步發展瞭這個方嚮的研究，取得一係列重要的進展。五十年代末以來，作者在老師熊慶來教授的指導下開展亞純函數與代數體函數Nevanlinna理論及其在常微分方程中的應用研究，並得到若乾較為理想的結果。
　　本書僅就亞純函數、代數體函數Nevanlinna理論和整函數Wiman-Valiron理論以及它們與常微分方程相結閤的基本內容和若乾新研究作一係統介紹，本書共五章，第一章介紹WimanValiron理論，它在常微分方程的研究中有重要的作用，應用它常能得到精細的結果。第二章介紹Nevanlinna理論，著重介紹代數體函數值分布理論的基本內容和某些進一步的結果，其中包括熊慶來、何育贊關於第二基本定理的推廣以及重值和唯一性定理的結果；亞純函數值分布理論將作為特殊情形作一概述。第三章講述常微分方程解析理論的初步內容，第四、五章介紹Nevanlinna理論在常微分方程中的應用，內容有Malmquist-Yosida-Wittich定理及其推廣，常微分方程大範圍解析解某些性質的研究，其中還有作者得到的對於一般高階代數微分方程亞純解和代數體解的精確形式的Malmquist型定理和解的增長性估計、值分布性質等結果。
　　本書前三章的內容都自成係統，讀者可以獨立進行閱讀。此外，如果讀者隻要求瞭解亞純函數理論和微分方程單值解的內容，則可跳過代數體函數理論和方程多值解析解的部分。凡具有大學復變函數和常微分方程課程知識的讀者都能夠閱讀本書，
　　本書的主要內容曾分彆由何育贊在華東師範大學、北京大學和福建師範大學數學係，以及蕭修治在武漢大學數學係為高年級學生、研究生和青年教師講授過，本書是在這些講義的基礎上寫成的，其中第一、二、四章和第五章第六節由何育贊撰寫，第三、五章由蕭修治撰寫，
　　本書的編寫曾得到北京大學莊圻泰教授的親切關懷、鼓勵和指導，作者在此錶示衷心的感謝，福建師範大學謝暉春教授仔細審閱瞭本書的初稿，並提齣許多寶貴的意見，作者也在此錶示衷心的感謝。
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