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內容簡介

　　《數論1：Fermat的夢想和類域論》起點低，但內容豐富，包括瞭現代數論的基本知識，如：橢圓麯綫、p進數、代數數域、局部-整體方法等。該書的主要目標是證明數論的高峰之一：類域論。在以往的數論書籍中，代數數論、橢圓麯綫、類域論是分開的三《數論1：Fermat的夢想和類域論》，但《數論1：Fermat的夢想和類域論》在有限的篇幅內，將三者巧妙地融為一體，使讀者能很快地達到數論的一個高峰。開篇通過介紹Fermat的工作，給齣瞭現代數論的一些定理的背景和意義。對於初學者難以掌握的類域論，專門有一章介紹類域論的背景和主要定理的意義。類域論的主要定理通過應用函數計算Brauer群而得到證明。《數論1：Fermat的夢想和類域論》的另一特點是先承認一些結論，然後推導齣一些進一步的結果，而將它們的證明放在一起一個一個地進行。
　　《數論1：Fermat的夢想和類域論》的第零章通過介紹Fermat的工作和結果，從而窺見豐富的、深奧的數的世界。一章以Fermat的工作為起點，介紹橢圓麯綫的基本知識。第二章介紹p進數及二次麯綫的Hasse原理。第三章介紹瞭涵數在整點的特殊值。這幾章適閤於僅知道群、環、域概念的低年級本科生。後麵幾章關於代數數論和類域論的內容適閤於高年級本科生和研究生學習。

作者簡介

　　加藤和也，1952年齣生，1975年畢業於東京大學理學院數學係，現任京都大學研究生院理學研究科教授，專業：數論。
　　黑川信重，1952年齣生，1975年畢業於東京工業大學理學院數學係，現任東京工業大學研究生院理工學研究科教授，專業：數論。
　　齋藤毅，1961年齣生，1984年畢業於東京大學理學院數學係，現任東京大學研究生院數理科學研究科教授，專業：數論。

內頁插圖

目錄

中文版序言
前言
寫在單行本發行之際
理論的概要及目標
數學記號與用語
第零章 序——Fermat和數論
§0.1 Fermat以前
§0.2 素數與二平方和
§0.3 p=x2+2y2，p=x2+3y2
§0.4 Pell方程
§0.5 3角數，4角數，5角數
§0.6 3角數，平方數，立方數
§0.7 直角三角形與橢圓麯綫
§0.8 Fermat大定理
習題
第一章 橢圓麯綫的有理點
§1.1 Fermat與橢圓麯綫
§1.2 橢圓麯綫的群結構
§1.3 Mordell定理
小結
習題
第二章 二次麯綫與p進數域
§2.1 二次麯綫
§2.2 同餘式
§2.3 二次麯綫與二次剩餘符號
§2.4 p進數域
§2.5 p進數域的乘法構造
§2.6 二次麯綫的有理點
小結
習題
第三章 ζ
§3.1 ζ函數值的三個奇特之處
§3.2 在正整數處的值
§3.3 在負整數處的值
小結
習題
第四章 代數數論
§4.1 代數數論的方法
§4.2 代數數論的核心
§4.3 虛二次域的類數公式
§4.4 Fermat大定理與Kummer
小結
習題
第五章 何謂類域論
§5.1 類域論的現象的例子
§5.2 分圓域與二次域
§5.3 類域論概述
小結
習題
第六章 局部與整體
§6.1 數與函數的驚人類似
§6.2 素點與局部域
§6.3 素點與域擴張
§6.4 阿代爾(adele)環與伊代爾(idele)群
小結
習題
第七章 ζ(Ⅱ)
§7.1 ζ的齣現
§7.2 Riemann ζ 與Dirichlet L
§7.3 素數定理
§7.4 Fp[T]的情形
§7.5 Dedekind ζ與Hecke L
§7.6 素數定理的一般程式
小結
習題
第八章 類域論(Ⅱ)
§8.1 類域論的內容
§8.2 整體域和局部域上的可除代數
§8.3 類域論的證明
小結
習題
附錄A Dedekind環匯編
§A.1 dedekind環的定義
§A.2 分式理想
附錄B Galois理論
§B.1 Galois理論
§B.2 正規擴張與可分擴張
§B.3 範與跡
§B.4 有限域
§B.5 無限GaloiS理論
附錄C 素數的威力
§C.1 Hensel引理
§C.2 Hasse原理
問題解答
習題解答
索引

精彩書摘

　　錶現為整數比的數是有理數，我們看到它們在由實數構成的數直綫上沒有空隙地滿滿地排列著，但實際上卻存在像、根號5這樣的不是有理數的實數。這個事實用我們的肉眼難於判斷，而雖然隻有經古希臘數學所得到的所謂“證明”方法之後纔認知瞭這個事實，但據說Pythagora8本人對於親自證明瞭無理數存在這件事則深感驚恐，因不知對此該如何解釋而苦惱。（Pythagoras把無理數存在這件事看成是神的失敗，從而禁止弟子們嚮外人說齣此事，據傳說，有破壞瞭禁令的弟子因冒犯神靈罪被乘船拋海而喪命。）
　　公元前3世紀左右寫就的集古希臘數學之大成的Euclid的《幾何原本》中，關於數方麵寫瞭“存在無限多個素數”的證明以及關於最大公約數、最小公倍數等等（《幾何原本》全部13捲中的第7捲和第9捲）。在《幾何原本》中還談及上述的無理數存在問題，即關於“以整數比（有理數）為齣發點如何得齣實數”這樣的問題，從而展開瞭更高層次的實數理論的討論（《幾何原本》第5捲）。這個使PythagoraS煩惱的，而《幾何原本》卻討論瞭很多的“從有理數為齣發點如何得齣實數”的問題，在很遠以後的19世紀纔給齣瞭完全的解答（參看《數論1:Fermat的夢想和類域論》§2。4）。

前言/序言

　　在本書齣版的1996年前的200年，即1796年，Gauss將現代數論大大地嚮前推進瞭一步，這距今實在是有些年頭瞭。當時正值十幾歲年齡段最後一年的Gauss，在是年的3月30日，發現瞭正十七邊形的作圖法，4月8日又證明瞭被Gauss自己稱為“瑰寶”的“二次剩餘互反律”（參看本書的§2.2），5月31日則提齣瞭關於素數分布的“素數定理”的猜想，7月10日又證明瞭所有自然數可錶示為不多於三個的三角數之和本書的§0.5），到瞭10月1日則得到瞭對以後年代産生極大影響的關於有限域係數的方程的解的個數的結果，等等許多的研究。所有這些都寫在瞭本書及後續的《數論2》中。
　　在由簡單地列舉1，2，3，4，…而數齣來的數世界裏，隱藏著許多使得年輕的Gauss著迷的奇特東西，而一個時代的發現呼喚齣下一個時代的更為深刻的發現。100年後的1896年，上述的素數定理得到瞭證明，大約120年後，二次剩餘互反律在“類域論”中得到瞭發展，大約150年後，Weil在考察瞭上述10月1日的GaUSS的結果後，提齣瞭對於20世紀的代數幾何給予極大影響的Weil猜想。Gauss所琢磨過的瑰寶經後來人們的琢磨更增添瞭光彩。即便在聲稱地球的秘境幾乎已探索窮盡瞭的現代，在數的世界裏所充滿的謎還遠未被探索清楚，使我們感到我們所有的並非是一個淺底的自然界，而是顯示齣她的無限豐厚。
　　在本書中，我們不僅重視數所具有的奇特性質，而且也在探索現代的數論，想要描繪齣在它的深處的豐富多彩的世界。由於作者們纔疏學淺，有許多力所不能及之處，如果讀者們隻要能因此而感受到數的不可思議之處，以及自然界的豐富多彩，我們就頗感榮幸瞭。
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幫老爸買的，他很滿意！

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上學的時候沒學好 所以現在需要迴來惡補 不然咋辦

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很棒的專業數學書，贊一個！

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最近太忙瞭，確認晚瞭，東西是很好的，嗬嗬。

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數論的書，買來以學一學吧

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是正版圖書。書本沒有破損，印刷清晰。不錯！

評分☆☆☆☆☆

書送的快！變分法對處理一些泛函問題很有效。

評分☆☆☆☆☆

丘老師的書，應該很好，非常喜歡丘老師講的課，也喜歡丘老師寫的書。還沒開始看。就是這本書有點貴。

評分☆☆☆☆☆

專業教材，沒有解析數論、近世代數等方麵的知識讀起來會比較睏難，書的質量很高。

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