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內容簡介

　　本書係作者在近年來為北京大學本科生所開設的一門數學與自然科學類通選課的講義基礎上經補充、修改而成。全書共分八講，分彆討論數學中的基本哲學問題，數學悖論的意義，對稱概念與藝術和社會學的聯係，葉序等生物學規律的數學錶達，變分問題的簡要曆史和意義，作為一種數學模式的最小二乘法，概率統計方法的應用和意義等課題。本書力圖從一個更為基本的觀點闡明數學的本質與意義，數學與其他科學的關係；說明應如何認識、理解與把握數學。全書試圖從一個與經典數學教材不同的角度講授有關內容，強調對問題的整體理解，避免過分的形式化，當然也包含有為說明問題所必須的推導；強調把握思想而不是具體的方法和技巧。
　　本書可作為綜閤大學、師範院校數學與自然科學類通選課教材，也可供高等院校數學模型課程作為參考教材或輔助讀物，或供高等院校其他專業師生或中學數學教師及各類工程科技人員閱讀參考。

內頁插圖

目錄

第一講　數學模型、模式與文化
1　數學模型與數學模式
2　數學哲學基本問題及不同迴答
2.1　數學哲學基本問題
2.2　數學哲學的兩大流派——理性主義和經驗主義
2.3　數學形態的曆史演化
2.4　邏輯主義、直覺主義和形式主義——數學的真理性
2.5　如何看待數學證明？
2.6　數學發展的曆史經驗
3　數學與計算機科學
4　數學與藝術
參考文獻

第二講　淺談悖論
1　悖論的三種情況
2　幾個有趣的悖論
3　一個引發悖論的重要模式——自指
4　哥德爾不完全性定理的證明綫索
5　圖靈停機問題
6　任意大的集閤基數
7　文學、美術、音樂和中國古代文獻中的悖論
8　預言可能嗎？
參考文獻

第三講　對稱群、裝飾圖案、血緣關係
1　從平麵幾何說起
2　對稱概念與群的數學定義
3　花邊、壁紙、艾捨爾的畫及其他
4　群與血緣關係
參考文獻

第四講　斐波那契序列及有關模型
1　斐波那契的兔子
2　花瓣的數目與葉子的排列
3　鳳梨鱗片排列方式的幾何描述
4　嚮日葵花盤上的螺綫模式
5 葉序的數學物理解釋，從物理考慮齣發的計算機模擬
6　斐波那契序列的其他錶達方式
7　斐波那契序列與遊戲和魔術
附錄　斐波那契序列的一個性質
參考文獻

第五講　有關生命現象的幾個數學模型
1　元胞自動機的基本概念
2　康維的生命遊戲
3　圖靈擴散
4　關於性彆比的數學討論
參考文獻

第六講　速降綫問題與變分法
1　一段有趣的曆史和速降綫問題
2　速降綫問題的雅格布·伯努利解法
3　幾何學中的海倫——速降綫的奇妙性質
4　變分問題的數學討論
4.1　速降綫問題的變分提法
4.2　變分問題的其他實例
4.3　求解變分問題的途徑一一歐拉方程
4.4　幾點說明

5　物理學中的變分原理
6　經典變分問題的發展——控製論模型
6.1　控製論的數學模型
6.2　一個血糖含量的控製問題
附錄　多變量函數積分給齣的變分問題
參考文獻

第七講　從最小二乘法談起
1　可由最小二乘法求解的問題實例
……
第八講　駕馭偶然性
學生自擬論文題目選輯

精彩書摘

　　第一講 數學模型、模式與文化
　　本書的首要目的是通過對若乾數學模型和模式的介紹，探討什麼是數學，如何看待數學的起源和特點，如何認識數學的抽象性和邏輯嚴密性，如何認識數學的真理性和實踐性，如何認識數學與其他人文及自然科學的關係，所涉及的模型和模式主要是作為討論問題所必須的媒介及傳達思想的載體。我們試圖從一個更基本的角度，和讀者一起探討數學的本質，把握學習、研究和運用數學的關鍵，提高對數學的認識和素養。本書的第二個目的是在前述框架之下，盡可能介紹一些有用的數學知識，以滿足部分對數學本身要求較多的讀者之需要。但應說明，全書的內容都保持在基本數學知識的範圍內。
　　這一講是全書的緒論，試圖討論的主要內容是如何從整體上認識與理解數學，如何看待數學與其他學科的關係。筆者認為：要掌握數學，不僅要熟悉數學特定的內容、方法和語言，還要把握數學背後的哲學思想，養成正確的思維方式和恰當的心理狀態；對數學的正確認識不僅僅是一種看法、一種知識，它直接影響我們如何學習與研究數學，追求什麼樣的數學。本講的很多內容應屬於數學哲學的討論範疇，也就是說不屬於數學本身，而是“關於數學”的各種說法。在一些人看來，這是一個費力不討好的題目，英國著名數學傢、劍橋分析學派的代錶人物哈代（G.H.Hardy）就曾直言不諱地說過：“一個職業數學傢如果發現自己在寫關於數學的東西，一種憂傷之情將油然而生。數學傢的職責是實乾，證明新的定理，擴展數學知識，而不是津津樂道於自己或其他數學傢已經做過的事情。政治傢瞧不起時事評論傢，畫傢瞧不起藝術批評傢，生物學傢、物理學傢和數學傢們通常也有類似的感情，沒有比實乾者對評論傢的衊視更深刻、更有理瞭。解釋、批評、鑒賞是二等智力的活兒。”哈代宣稱，他隻是由於年逾花甲，不再擁有新鮮的智力和充沛的精力，無法從事充滿挑戰和創造活力的數學研究，纔轉而來寫“關於數學”的文章。

前言/序言

高等院校素質教育通選課教材·數學模型八講：模型 模式與文化 下載 mobi epub pdf txt 電子書

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