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內容簡介

　　是一本簡明概括地介紹非綫性科學的專著，由國傢“973計劃”項目“非綫性科學中的若乾前沿問題”相關學者結閤非綫性科學中各個前沿方嚮的研究寫作而成，對非綫性科學中的若乾前沿研究領域進行瞭係統而深入的介紹。全書內容包括：KAM理論與Arnold擴散；孤立子與可積係統；分形幾何；斑圖演化的動力學；動力係統；符號序列的復雜性分析；可微動力係統遍曆理論基礎；非平衡定態、隨機共振和分子馬達。
　　《非綫性科學若乾前沿問題》可供非綫性科學相關研究人員以及有一定數理基礎並對非綫性科學感興趣的讀者閱讀參考。

內頁插圖

目錄

序
前言
第1章 KAM理論與Arnold擴散
1.1 緒論
1.1.1 辛流形和Hamilton係統
1.1.2 完全可積與近可積係統
1.1.3 攝動方法——平均法
1.2 KAM定理
1.2.1 經典的KAM定理
1.2.2 低維KAM定理
1.2.3 共振情形下的KAM定理
1.2.4 廣義Hamilton係統的KAM定理
1.2.5 廣義Hamilton係統的有效穩定性
1.3 Arnold擴散與不穩定性
1.3.1 引言
1.3.2 正定Lagrange係統的變分框架
1.3.3 局部連接軌道的存在性
1.3.4 全局連接軌道的變分構造
1.3.5 通有性證明
1.4 軌道擴散與不變環麵的粘滯性
1.4.1 軌道擴散
1.4.2 不變環麵的粘滯性
參考文獻

第2章 孤立子與可積係統
2.1 概述
2.1.1 孤波與孤子
2.1.2 可積係統
2.2 有限維可積係統
2.3 Schrodinger方程的反散射理論
2.3.1 概述
2.3.2 Jost解
2.3.3 基本散射公式
2.3.4 散射數據
2.3.5 Gelfand-Levitan-Mrachenko方程
2.3.6 無反射位勢
2.3.7 Bargmann係統
2.3.8 反射係數不為零的情形
2.4 KdV方程的孤子解
2.4.1 KdV方程
2.4.2 GGKM演化定理
2.4.3 初值問題的反散射解法
2.4.4 雙孤子的相互作用
2.4.5 Ⅳ孤子解
2.5 KdV方程的完全可積性
2.5.1 無窮守恒律
2.5.2 Zakharov-Faddeev跡公式
2.5.3 廣義Hamilton正則方程與完全可積性
2.6 各種孤子方程及解法簡述
2.6.1 Lax方程與零麯率方程
2.6.2 Ⅳ帶勢解
2.6.3 其他重要方法舉例
2.7 有限帶解
2.7.1 基本恒等式
2.7.2 KdV方程族與Lenart序列
2.7.3 特徵值問題的非綫性化
2.7.4 守恒積分的對閤性
2.7.5 KdV方程族的分解
2.7.6 守恒積分的函數獨立性
2.7.7 Hk流的拉直
2.7.8 反演、概周期解
2.8 孤立子實驗
2.8.1 非傳播水波孤立子
2.8.2 離散係統中的孤立子
2.9 孤立子方程的建立
2.9.1 非傳播水波孤立子方程
2.9.2 一維非綫性單擺鏈係統中包絡孤立子方程
2.10 孤立子和缺陷的相互作用
2.10.1 理論和數值研究
2.10.2 實驗觀察
參考文獻

第3章 分形幾何——它的內容、意義和方法
3.1 引言
3.2 分形的特徵
3.2.1 光滑函數的圖像分析
3.2.2 vonKoch麯綫（雪花麯綫）
3.3 測度與維數
3.3.1 尺度的臨界性質
3.3.2 測量方式
3.3.3 雪花麯綫的情形
3.4 兩種測量方式：覆蓋與填充
3.4.1 Hausdorff測度與Hausdorff維數
3.4.2 Hausdorff測度與Hausdorff維數的基本性質
3.4.3 維數的幾何意義
3.4.4 填充測度與填充維數
3.4.5 兩種測度與維數的比較
3.4.6 兩點注記
3.5 其他測度與維數
3.5.1 拓撲維數
3.5.2 Minkowski容度與Minkowski維數
3.5.3 相似維數
3.5.4 容量維數
3.5.5 測度的維數
3.5.6 Fourier維數
3.5.7 Besicovitch-Taylor維數
3.6 進一步的討論
3.6.1 廣義自相似集
3.6.2 分形的定義
3.6.3 隨機的作用與分形模型
3.6.4 有效維數與物理意義
3.6.5 標度律與分形
3.7 進一步閱讀材料
參考文獻

第4章 斑圖演化的動力學
4.1 引言
4.2 混沌：初值敏感性
4.3 斑圖動力學
4.4 固體損傷破壞斑圖的動力學復雜性
4.5 損傷斑圖演化的跨尺度耦閤理論
4.5.1 基於細觀損傷錶象的統計細觀損傷力學
4.5.2 基於細觀物質單元錶象的統計細觀損傷力學
4.6 損傷局部化——損傷斑圖嚮損傷局部化斑圖轉變
……
第5章 動力係統——從有限維到無窮維
第6章 符號序列的復雜性分析
第7章 可微動力係統遍曆理論基礎
第8章 非平衡定態、隨機共振和分子馬達

精彩書摘

　　1.1 緒論
　　自然界中很多問題的數學模型都可以用Lagrange方程或Hamilton方程來錶示。而通過Legendre變換我們知道Lagrange方程和Hamilton方程又可以相互轉換，因此研究Lagrange方程和Hamilton係統的動力學行為就顯得十分重要。對於一類完全可積的Hamilton係統，我們隻要求齣該係統的各個獨立的首次積分，就可以瞭解整個係統的運動情形。然而在自然界中，這種情形非常稀少，更多現象的數學模型不是完全可積的。例如整個太陽係，其他九大行星的質量之和不超過太陽質量的0。002倍，如果忽略行星與行星之間引力的作用，每個行星和太陽所構成的兩體問題都可以看成一個完全可積的Hamilton係統，從而我們可以計算齣它們各自的運行軌道。但是事實上，我們必須考慮那些小的影響。像這樣一個完全可積係統加上一個小攝動的係統稱為近可積係統。那麼可積係統的動力學穩定性有多少在其攝動的近可積係統中保持下來呢？這個問題的重要性是顯而易見的。Poincare稱這種問題為“動力學的基本問題”[4]400.20世紀五六十年代，由Kolmogorov[50]，Arnold[1]和Moser[76]所建立的經典KAM理論是研究這一問題的一個裏程碑。經典KAM理論錶明，大多數頻率非共振的軌道（對應著不變環麵）的穩定性在小攝動之下保持下來，隻是軌道經曆瞭小的形變。這一理論使太陽係穩定性的大多數情形得到瞭閤理的解釋，同時也直接否定瞭Boltzmann的遍曆性猜測。並且作為一種強有力的數學工具，KAM理論及其相關的數學方法在天體力學[97]、理論物理[43，52，103]、微分方程定性理論[37，45，58，115，106]、辛算法[39，40，92，94]等學科和分支中都得到廣泛的應用。這使得人們對KAM理論的研究日益深刻，促進瞭其他方嚮的研究發展，如Aubry-Mather理論[7，65，66]和係統有效穩定性[61，80，81，88]的研究。
　　1.1.1 辛流形和Hamiltorl係統
　　由於KAM理論研究的是Hamilton係統，我們先簡單介紹Hamilton係統的一些基本知識。這要涉及辛流形、辛幾何中的一些概念和性質。

前言/序言

　　現代科學技術的發展、各學科之間的交叉融閤正在改變著傳統學科之間的界限和研究方法。由於基礎學科和應用學科的發展，它們在經曆瞭“綫性化”一個富有成果的發展時期後，必然地要提齣研究非綫性問題。通過對各學科中非綫性問題的深入研究和學科之間的交叉，逐步發現瞭存在於不同學科、具有共性的非綫性現象，從而開始形成“非綫性科學”這一新興交叉學科，它所研究的是廣泛存在於各學科中的非綫性相互作用所提齣的共性問題。
　　非綫性科學於20世紀60年代興起後得到瞭快速的發展。從20世紀90年代起，非綫性科學進入學科內涵基本確定後的穩定發展時期，在對一些問題進行深入研究、將有關成果應用到其他學科的同時，也齣現瞭非綫性科學中新的研究方嚮。
　　我國非綫性科學的研究盡管起步稍晚，但由於及時瞄準跟蹤國際前沿，並注意自己的研究特色，經過國傢攀登計劃“八五”、“九五”和國傢“973計劃”期間近十五年的研究，我國的非綫性科學研究有瞭很大的發展，水平也有瞭很大提高，在全國已經形成瞭一個比較穩定的非綫性科學研究隊伍。更令人感到高興的是，在這支隊伍中一批年輕的學者已經成長起來，使我國的非綫性科學研究後繼有人。

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