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李明哲 等 著

圖書標籤:

• 圖論
• 算法
• 數據結構
• 離散數學
• 計算機科學
• 網絡分析
• 圖算法
• 數學建模
• 人工智能
• 優化算法

出版社： 机械工业出版社

ISBN：9787111317197

版次：1

商品编码：10350806

品牌：机工出版

包装：平装

丛书名： 高等院校规划教材 ，

开本：16开

出版时间：2010-10-01

用纸：胶版纸

页数：242

內容簡介

《圖論及其算法》為圖論的入門教材，介紹瞭圖論的基奉概念、基小定理和算法，共分9章。主要內容包括圖的基本概念、樹、距離與連通性、圖的遍曆問題、圖的匹配與獨立集、圖的染色、平麵圖、網絡流、圖參數A（H）值等。小書將有嚮圖和無嚮圖融為一個整體，不僅介紹瞭圖論的基小原理，而且介紹瞭如何應用圖論方法解決實際問題，還強調瞭圖論算法，配閤適當的例題和習題，並在書後附有部分習題的參考答案。小書概念清楚，立論嚴謹，所宵的證明和算法簡潔明瞭，通俗易懂。
《圖論及其算法》可作為高等院校計算機、數學、信息、電子、管理等專業的教材，還可作為相關專業人員的參考書。

目錄

齣版說明
前言
第1章 圖的基本概念
1.1 圖論發展簡史
1.2 圖的概念
1.2.1 圖
1.2.2 子圖
1.2.3 一些重要類型的圖
1.3 頂點的度和圖的同構
1.3.1 頂點的度
1.3.2 圖的同構
1.4 圖的運算
1.4.1 並與和
1.4.2 笛卡兒積
1.4.3 超立方體
1.4.4 網格
1.4.5 邊收縮
1.4.6 綫圖
1.5 路和連通
1.5.1 路和迴路的定義
1.5.2 連通性
1.6 有嚮圖
1.6.1 有嚮圖的概念
1.6.2 有嚮圖的度
1.6.3 有嚮網絡
1.6.4 有嚮圖的連通性
1.7 圖的矩陣錶示
1.7.1 關聯矩陣
1.7.2 鄰接矩陣
1.7.3 距離矩陣
1.7.4 連通矩陣
1.7.5 特殊類型圖的鄰接矩陣
1.7.6 有嚮圖的矩陣錶示
1.8 習題

第2章 樹
2.1 樹的基本性質
2.1.1 樹的概念
2.1.2 樹的性質
2.1.3 樹的度序列與同構
2.1.4 樹的葉子數
2.1.5 有嚮樹
2.2 生成樹
2.2.1 生成樹的概念
2.2.2 生成樹的計數
2.3 最優生成樹
2.3.1 Kmskal算法
2.3.2 Prim算法
2.3.3 破圈法
2.4 深度優先搜索與廣度優先搜索
2.4.1 深度優先搜索
2.4.2 廣度優先搜索
2.5 最優二元樹與前綴碼
2.5.1 最優二元樹
2.5.2 前綴碼
2.6 樹的Pmfer編碼
2.7 習題

第3章 距離與連通性
3.1 圖的距離
3.1.1 離徑、中心、半徑與直徑
3.1.2 樹的中心
3.1.3 自補圖與距離
3.2 圖的連通性
3.2.1 點連通度、邊連通度
3.2.2 點、邊連通度的性質
3.2.3 塊
3.3 連通圖
3.3.1 k.連通圖
3.3.2 2.連通圖
3.3.3 Menger定理
3.4 最短路算法
3.4.1 從一個始點到一個終點的最短路
3.4.2 任意兩點問的最短路
3.5 習題

第4章 圖的遍曆問題
4.1 歡拉圖
4.1.1 歐拉圖的相關定義
4.1.2 一筆畫問題
4.1.3 七筆畫問題
4.2 中國郵遞員問題
4.3 哈密爾頓圖
4.4 格雷碼
4.5 旅行售貨員問題
4.6 E-圖與H-圖的關係
4.7 習題

第5章 圖的匹配與獨立集
5.1 二分圖
5.2 圖的匹配
5.3 二分圖的匹配
5.3.1 二分圖的完全匹配
5.3.2 二分圖最大匹配的生成算法
5.4 最優匹配
5.4.1 求最優匹配的Kuhn-Munkres算法
5.4.2 求最小基數最優匹配的算法
5.5 穩定匹配
5.6 獨立集和覆蓋
5.7 Ramsey數
5.7.1 Ramsey定理
5.7.2 一般化的Ramsey數
5.8 習題

第6章 圖的染色
6.1 頂點染色
6.1.1 色數
6.1.2 色數的一個算法
6.2 邊染色
6.2.1 邊色數的概念
6.2.2 Vizing定理
6.3 色多項式
6.4 圖染色的應用
6.4.1 點染色的實際應用
6.4.2 邊染色的實際應用
6.5 習題

第7章 平麵圖
7.1 平麵圖的概念及Euler公式
7.1.1 平麵圖的概念
7.1.2 Euler公式
7.2 一些特殊平麵圖及平麵圖的對偶圖
7.2.1 一些特殊平麵圖
7.2.2 對偶圖
7.3 Kuratowsk定理
7.4 平麵性算法
7.5 五色定理和四色猜想
7.6 習題

第8章 網絡流
8.1 流與割
8.2 最大流最小割定理
8.3 最大流問題的算法
8.3.1 最大流問題的標號算法(2F算法)
8.3.2 最大流問題的最短增廣路算法
8.4 Menger定理
8.5 最小費用流問題
8.6 最小費用流問題的算法
8.6.1 負迴路算法
8.6.2 最小費用路算法
8.7 習題

第9章 圖參數A(H)值
9.1 圖參數A(H)
9.1.1 圖參數A(H)的概念
9.1.2 2-圖
9.1.32-圖母圖的結構
9.1.4 3-圖的存在性
9.1.5 3-圖的推廣
9.2 樹的A(T)值
9.2.1 關於樹的A(T)值的結論
9.2.2 由樹構造的A(H)=3圖
9.2.3 方法證明
9.3 頂點數不超過7的圖按參數A(H)的分類
9.3.1 頂點數不超過7的3一圖
9.3.2 頂點數不超過7的4一圖
9.3.3 |V(H)|≤7的圖按A(H)值的分類
9.4 習題

附錄
附錄A部分習題參考答案
第1章習題答案
第2章習題答案
第3章習題答案
第4章習題答案
第5章習題答案
第6章習題答案
第7章習題答案
第8章習題答案
第9章習題答案
附錄B本書符號列錶
參考文獻

精彩書摘

因為理論物理學研究的需要，所以在這個學科內不止一次地發現過圖論。烏倫伯剋（uhlenbeck）在統計力學的研究中用點來代錶分子，兩個點的鄰接錶示存在某種物理形式的最鄰近的相互作用，如磁的吸力或斥力。在李政道和楊振寜的類似解釋中，點代錶歐幾裏得空間的小立方體，其中每一個立方體可能被一個分子占有或者不被分子占有。於是，兩個點鄰接就錶示兩個空間都被占有。另外，物理學還用圖論來作為一種圖形的錶示方法。在範曼（Fevnmanon）提齣的圖解中，點代錶物理粒子，綫代錶粒子碰撞後的路綫。
在概率論中，馬爾可夫鏈的研究引進瞭有嚮圖，它的意思是：點代錶事件，一條從一個點到另外一個點的有嚮綫錶示這兩個事件直接相繼有正的概率。研究中，直接定義一個馬爾可夫鏈是一個網絡，其中從每一個點齣發的所有有嚮綫的值的和是1。有嚮圖有一種類似的錶示法齣現在數值分析的矩陣求逆和特徵值計算的部分中，瓦爾加（Varga）給齣瞭一些例子。對於一個給定的矩陣，特彆是“稀疏的”矩陣，可以用如下的方式構成一個有嚮圖：用點來代錶給定的矩陣的行與列的指標，當矩陣的i、j元非零時有一條從點f到點.，的有嚮綫。這種方法與處理馬爾可夫鏈的方法有相似性。
綫性規劃與運籌學的領域裏也利用圖論的方法研究網絡上的流的形式。一個圖的點錶示某種貨物可以儲藏或裝船的實際位置，從一處到另一處的一條有嚮綫和記在這條綫上的一個正數代錶一條運輸貨物的水道和它的能力，這個能力給齣可以同時通過的最大允許數量。
科技的迅猛發展嚮圖論提齣瞭越來越多的需要解決的問題，使圖論在科學界非常活躍。尤其是計算機科學的快速發展，為圖論及其算法的實現提供瞭強大的計算與證明的手段，有力地推動瞭圖論的發展，而圖論在開關理論、數據結構、操作係統、形式語言、計算機網絡、編譯程序、人工智能等方麵亦有顯著貢獻。
目前，圖論領域形成瞭兩個研究方嚮：一個是以研究圖的性質為主，稱之為抽象圖論；另一個是以研究圖的算法為主，稱之為算法圖論，也稱為網絡最優化。本書中不僅介紹瞭圖論的基本原理，還介紹瞭圖論算法及其應用。
……

前言/序言

　　圖論是研究離散對象二元關係中關係結構的一個數學分支，與群論、矩陣論、概率論、拓撲學、數值分析等其他數學分支有著密切的聯係，其廣闊的應用領域涵蓋瞭計算機科學、化學、物理學、運籌學、信息論、控製論、經濟學、心理學、環境保護領域等。同時，隨著這些學科的發展，特彆是計算機科學的快速發展，又促進瞭圖論的發展。
　　圖論是一門極有趣味的學科，它最吸引人的地方是蘊含瞭豐富不俗的思想、漂亮的圖形和巧妙的證明，它涉及的問題廣泛，問題外錶雖簡單樸素，本質上卻十分復雜深刻；其解決問題的方法韆變萬化，靈活多樣。因此，各專業的學生都應該具有一定的圖論基礎，從而掌握一種強大而靈活的工具來分析和處理自己學科領域的問題。目前，圖論已經成為計算機科學、數學、運籌學、組閤優化、機電等學科的基本課程之一。
　　本書介紹瞭圖論的基本概念、基本定理和算法，共分9章。主要內容包括圖的基本概念、樹、距離與連通性、圖的遍曆問題、圖的匹配與獨立集、圖的染色、平麵圖、網絡流和圖參數A（H）值等。本書將有嚮圖和無嚮圖融為一個整體，不僅介紹瞭圖論的基本原理，也介紹瞭如何應用圖論方法解決實際問題，還強調瞭圖論算法，配有適當的例題和習題，並在書後附有部分習題的參考答案。
　　本書吸取瞭國內外許多優秀圖論著作的精華，結閤瞭編者多年的教學經驗和本科生的特點，內容力求精煉，所有的證明和算法簡潔明瞭，通俗易懂，易於學生學習和教師的教學。
　　由於圖論不強調數值計算而強調證明技巧和解釋的清晰，所以許多問題都有多個證明，編者對這些證明精心選擇，深入淺齣地介紹瞭圖論的證明技巧。
　　圖論和計算機科學之間有著韆絲萬縷的聯係。由於算法的研究是計算機科學的核心，所以算法在現代圖論中占有舉足輕重的地位。本書介紹瞭圖論算法及其應用，計算機專業在教學中還可以引導學生編寫程序，上機實踐。
　　由於圖論是一門新興的學科，所以國內外許多圖論書籍齣現瞭多個版本的術語和符號。本書在介紹圖論的基本概念、術語和結論時，選擇瞭最為通俗易懂的語言加以描述，符號力求清晰、簡潔、通用。在主題的挑選、順序的安排和題目的選擇上，遵循認知規律和由淺入深的原則，使讀者能輕鬆愉快地進入圖論的係統學習和研究。在內容的編排上，各章之間既相互聯係又自成體係，便於讀者學習和查閱，同時體現瞭教材的係統性和科學性。
　　全書共分9章，第1、2、9章由哈爾濱學院理學院李明哲編寫，第3、4、7章由牡丹江師範學院數學係金俊編寫，第5、6、8章由黑龍江科技學院理學院石端銀編寫，全書由李明哲主持編寫並負責統稿。哈爾濱學院蓋功琪仔細審閱瞭本書，並提齣瞭許多寶貴意見。
　　在本書的編寫過程中得到瞭哈爾濱學院軟件學院院長賈宗福教授的熱誠幫助和指導，本書作為黑龍江省高教學會高等教育科學研究“十一五”規劃課題（項目編號：115C一901）的研究成果，在編寫過程中得到瞭校科研處的幫助和指導，在此錶示衷心的感謝。
　　由於水平有限，書中不妥之處在所難免，殷切希望廣大讀者批評指正。

深入理解信息時代的基石：現代離散數學與優化方法 本書導言： 在當今信息技術飛速發展的時代，數據、網絡和復雜係統的分析能力已成為衡量一個領域乃至一個國傢競爭力的重要指標。本書旨在為讀者提供一套堅實而深入的理論框架與實踐工具，用以解析和優化那些建立在離散結構之上的現實問題。我們聚焦於現代離散數學的核心概念、高效的組閤優化技術，以及它們在實際工程、計算機科學乃至運籌學中的廣泛應用。 本書內容環繞著三個主要支柱構建：離散結構的嚴謹建模、算法設計的核心思想，以及針對復雜問題的精確求解策略。我們不尋求對某一特定應用領域的淺嘗輒止，而是力求構建一個可以遷移和復用的知識體係。 --- 第一部分：離散結構的嚴謹基礎與形式化錶達 本部分是理解後續所有算法和優化技術的基礎。我們從最根本的集閤論、邏輯和代數結構齣發，逐步過渡到離散數學的精髓——關係與函數在結構上的錶現力。 1. 基礎邏輯與證明方法論： 我們將詳細探討命題邏輯和一階謂詞邏輯的完備性與可靠性。重點不在於符號的堆砌，而在於如何利用形式化語言精確描述一個問題，並運用歸納法（包括強歸納法、結構歸納法）、反證法、構造法等工具來驗證理論斷言的正確性。特彆地，我們將分析遞歸定義的嚴謹性及其在程序設計中的體現。 2. 集閤論與關係代數： 超越基礎的並集、交集運算，本書深入探討瞭偏序關係（Poset）、等價關係、以及它們在構建代數結構中的作用。我們會詳細分析格理論（Lattice Theory）的基本概念，及其在形式驗證和信息檢索中的初步應用。這部分內容強調的是，如何將現實世界中“連接”、“依賴”或“排序”的概念，轉化為具有數學性質的關係模型。 3. 組閤學原理與計數方法： 計數是離散數學的基石。本書係統地介紹瞭排列、組閤的廣義形式，包括有限製條件的計數問題。核心內容包括容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）的深入剖析，以及生成函數（Generating Functions）作為處理復雜遞歸關係和序列求和的強大工具。我們不僅會推導經典公式，還會展示如何運用生成函數求解著名的組閤難題，如卡特蘭數（Catalan Numbers）的組閤意義和計算方法。 --- 第二部分：算法設計範式與效率分析 在建立瞭嚴謹的數學模型之後，如何設計齣有效率的步驟（算法）來解決這些模型所代錶的問題，是本部分的核心議題。我們采用現代算法分析的標準，強調漸近分析而非單純的時鍾時間。 1. 算法效率的量化標準： 詳細闡述大 O 符號、Ω 符號和 Θ 符號的精確定義和應用場景。我們探討瞭最壞情況、最好情況和平均情況分析的區彆，並引入瞭攤還分析（Amortized Analysis）來評估動態數據結構的性能。 2. 核心算法設計範式： 我們將分類介紹並深入剖析三大主流設計範式： 分治策略（Divide and Conquer）： 以高效排序（如快速排序、歸並排序）為例，講解遞歸樹方法和主定理（Master Theorem）在求解遞歸方程中的應用。 貪心算法（Greedy Algorithms）： 重點在於證明貪心選擇的最優子結構和全局最優性。經典案例將涵蓋最小生成樹的 Kruskal 與 Prim 算法，以及區間調度問題。 動態規劃（Dynamic Programming, DP）： 這是處理具有重疊子問題和最優子結構問題的利器。我們將深入講解 DP 的狀態定義、轉移方程的構建，以及自底嚮上（Tabulation）和自頂嚮下（Memoization）的實現區彆。案例將涵蓋背包問題、最長公共子序列和矩陣鏈乘法。 3. 圖論基礎與遍曆技術（側重於結構分析而非路徑優化）： 雖然圖論是獨立的大領域，但本書將其視為離散結構分析的重要載體。本部分側重於圖的拓撲特性： 圖的錶示與連通性： 鄰接矩陣、鄰接錶，以及強連通分量的識彆（如 Tarjan 算法的原理介紹）。 圖的著色與匹配： 介紹圖的色數問題（NP-難度的引入點）和二分圖中的最大匹配（如 Hopcroft-Karp 算法的理論基礎）。 --- 第三部分：組閤優化與計算復雜度邊界 本部分將讀者的視野從“如何求解”提升到“能否高效求解”的層麵，觸及現代計算機科學的前沿界限。 1. 綫性規劃（Linear Programming, LP）與單純形法基礎： 本書介紹如何將資源分配、生産調度等實際問題轉化為標準形式的綫性規劃問題。詳細講解可行域、最優基、對偶理論的基本概念。雖然本書不深入單純形法的每一步迭代細節，但會清晰闡述其幾何意義、收斂性以及與網絡流問題的內在聯係。 2. 網絡流模型與最大流/最小割理論： 網絡流是連接代數、圖論和優化的橋梁。我們將詳細闡述 Ford-Fulkerson 方法的框架，並引入Edmonds-Karp 算法的實現思路。重點在於最大流-最小割定理的深刻意義——它錶明瞭在有限容量限製下，係統中最“擁堵”的部分決定瞭整體吞吐量的上限。 3. 計算復雜性理論導論： 理解算法的局限性至關重要。本章將嚴謹地定義 P 類問題和 NP 類問題。我們將聚焦於 NP 完全性（NP-Completeness）的概念，並展示如何通過歸約（Reduction）證明一個新問題的難度。經典的 3-SAT 問題、頂點覆蓋問題和哈密頓迴路問題的 NP-完全性論證將作為範例，幫助讀者區分哪些問題可通過多項式時間算法解決，哪些問題可能需要指數級時間或啓發式方法。 總結與展望： 本書旨在培養讀者“結構化思考”的能力。從一個復雜的現實問題齣發，提煉齣其底層的離散結構，選擇最閤適的建模語言（邏輯、集閤、圖），設計高效的求解算法，並最終評估該問題的內在計算難度。所涵蓋的知識體係是連接理論數學、算法工程與前沿計算科學的堅實橋梁。讀者在完成本書的學習後，將具備強大的工具箱，能夠自信地應對涉及離散數據、連接關係和資源分配的復雜挑戰。

评分☆☆☆☆☆

這本書的齣現，簡直就是為我這類“理論苦手”量身定做的！我一直對計算機科學的各個分支都充滿好奇，但數學基礎相對薄弱，很多時候在學習算法理論時，總會被那些復雜的數學公式和抽象的概念擋在門外。而《圖論及其算法》這本書，給瞭我前所未有的學習體驗。作者在講解每一個概念時，都花瞭大量篇幅去解釋“為什麼”，而不是簡單地陳述“是什麼”。比如，在介紹最短路徑算法時，作者不僅僅是給齣算法步驟，還深入分析瞭算法背後的貪心選擇性質和最優子結構性質，讓我能夠真正理解算法為什麼能夠工作。書中大量的插圖和流程圖更是功不可沒，它們將抽象的算法過程可視化，讓我在腦海中形成清晰的圖像，從而更容易記憶和理解。我尤其喜歡書中對一些證明的講解，雖然我一開始對證明很頭疼，但作者的循序漸進的引導，讓我逐漸剋服瞭恐懼，甚至開始享受推導的過程。通過這本書，我不僅掌握瞭圖論的基礎知識和常用算法，更重要的是，我建立瞭對數學建模和邏輯推理的信心，這對於我未來深入學習其他計算機科學領域的知識非常有幫助。

评分☆☆☆☆☆

老實說，我買過很多關於算法的書，但大多數要麼太過高深，讓我望而卻步，要麼太過膚淺，無法滿足我深入研究的需求。直到我發現瞭《圖論及其算法》，我纔找到瞭那種“恰到好處”的感覺。這本書的深度和廣度都讓我非常滿意。它對圖論中的各個重要概念，如頂點、邊、度、連通分量、環等，都做瞭細緻入微的解釋，並且用嚴謹的數學語言進行瞭定義。同時，書中對各種圖算法的講解也堪稱經典，從基礎的深度優先搜索和廣度優先搜索，到更復雜的最小生成樹算法、網絡流算法，乃至一些 NP-hard 問題的近似算法，都進行瞭全麵而深入的介紹。我特彆欣賞書中對算法復雜度分析的詳細闡述，這讓我能夠清楚地瞭解不同算法的優劣，並根據實際需求選擇最閤適的算法。此外，書中還包含瞭許多關於圖論在實際問題中應用的案例，比如社交網絡分析、路徑規劃、資源調度等，這些案例不僅能讓我看到理論知識的價值，還能激發我思考更多新的應用場景。這本書讓我對圖論這門學科有瞭更宏觀和係統的認識。

评分☆☆☆☆☆

我是一位在數據科學領域摸爬滾打瞭多年的工程師，雖然日常工作中接觸的更多是機器學習模型和數據分析，但時不時就會遇到一些需要建模和優化的問題，而圖論恰恰是解決這類問題的絕佳工具。我一直想係統地學習一下圖論，但市麵上的一些書籍要麼過於理論化，要麼過於偏重某一領域，很難找到一本能夠兼顧理論深度和實踐應用的。直到我讀瞭《圖論及其算法》，纔真正找到瞭我的“心頭好”。這本書的結構安排非常閤理，它既有對圖論基本概念的嚴謹闡述，又有對各種核心算法的詳盡介紹，而且這些算法都緊密結閤瞭實際的應用場景。例如，書中關於網絡流算法的部分，就詳細介紹瞭它在資源分配、運輸調度等方麵的應用，讓我豁然開朗。我尤其欣賞作者的寫作風格，語言簡潔明瞭，邏輯性強，不像有些書那樣枯燥乏味。書中的許多例子都來源於實際工程問題，讀起來既有啓發性，又能學到實用的技巧。我特彆喜歡書中關於圖的遍曆、連通性、匹配等章節的講解，它們之間的聯係被描繪得十分清楚，讓我能夠構建起完整的知識體係。現在，我已經在我的工作中開始運用書中的一些圖論知識來優化我的數據處理流程和模型設計，效果顯著。

评分☆☆☆☆☆

作為一個資深程序員，我一直堅信好的算法是解決復雜問題的關鍵。在我的職業生涯中，我經常會遇到需要處理節點之間關係的問題，而圖論正是解決這類問題的核心理論。我一直在尋找一本能夠真正幫助我理解和運用圖論算法的書籍，《圖論及其算法》這本書，可以說是我近些年讀過的最令人印象深刻的算法書籍之一。它在理論的嚴謹性和算法的實用性之間找到瞭一個完美的平衡點。書中對圖論概念的定義清晰準確，對各種經典算法的講解更是生動有趣，而且都提供瞭詳細的代碼實現示例，這對於我這種動手能力比較強的程序員來說，簡直是福音。我尤其喜歡書中對一些圖算法的變種和優化方案的介紹，這讓我能夠瞭解到算法的演進過程，以及如何根據具體場景進行調整。更重要的是，這本書不僅講解瞭“怎麼做”，還深入探討瞭“為什麼這麼做”，讓我能夠真正理解算法背後的思想。我已經在我的開發項目中運用瞭書中的一些算法，比如在構建推薦係統時，就藉用瞭圖論中的一些思想來分析用戶之間的關聯性，效果非常不錯。這本書極大地提升瞭我解決實際問題的能力。

评分☆☆☆☆☆

這本書簡直是我的“救命稻草”！作為一名正在攻讀計算機科學研究生的學生，圖論的某些章節一直是我的軟肋，特彆是那些涉及到復雜算法的證明部分，看得我頭昏腦脹，總感覺雲裏霧裏。這次偶然間在書店翻到瞭《圖論及其算法》，抱著試一試的心態買瞭迴去，結果真的讓我驚喜連連。作者的講解思路非常清晰，從最基礎的概念入手，循序漸進地引導讀者進入圖論的殿堂。每一個定理、每一個算法的推導過程都梳理得井井有條，重點和難點都做瞭深入淺齣的分析，還配上瞭大量的圖示和例子，生動形象，比我看過的任何教材都更容易理解。我尤其喜歡書中對一些經典算法的深入剖析，比如Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等等，作者不僅解釋瞭它們的工作原理，還詳細分析瞭它們的復雜度，並且提供瞭幾種不同的實現方式，讓我能夠從不同角度去理解。更重要的是，書中還包含瞭一些實用的應用案例，讓我看到瞭圖論在現實世界中的強大作用，這極大地激發瞭我學習的積極性。現在，我感覺我對圖論的理解有瞭質的飛躍，那些曾經讓我頭疼的問題也迎刃而解，甚至在最近一次的算法競賽中，我也能夠自信地運用圖論相關的知識解決問題瞭。

评分☆☆☆☆☆

哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个问题看起来很简单有很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案还不那么容易。

评分☆☆☆☆☆

20世纪80-90年代曾邦哲的综合系统论（结构论）观将“四色猜想”命题转换等价为“互邻面最大的多面体是四面体”。每个地图可以导出一个图，其中国家都是点，当相应的两个国家相邻时这两个点用一条线来连接。所以四色猜想是图论中的一个问题。它对图的着色理论、平面图理论、代数拓扑图论等分支的发展起到推动作用。

评分☆☆☆☆☆

好书看得见，不错。老公在用。

评分☆☆☆☆☆

书很好.质量不错 书很好是正版的，包装一般，书角有点压坏，还好不影响什么，质量很好，发货速度很快，两天就收到了，书的内容确实很实用，这些天忘记回老家拿书了，家里人帮忙收到这本书，很早就收到了。星期天在家没事，突然想去附近的超市逛逛。信步走进去看看，来到服装柜台，看见一款上衣，颜色面料都不错，于是心动了，想买，由于这是自选商场，我便去取下来试穿，在镜子前刚穿上，一女服务员走了过来，面无表情的说道：知道穿多大号吗?就自己拿着试开了。要买就去收银台交钱，也不看价钱!”本来打算买的，一看这个服务员，只好无奈的摇摇头将衣服放回原位，悻悻的走开了。心想我还是到网上来算了，于是回家上网到京东挑选衣服了，看见了这本书就买了。好了，我现在来说说这本书的观感吧，一个人重要的是找到自己的腔调，不论说话还是写字。腔调一旦确立，就好比打架有了块趁手的板砖，怎么使怎么顺手，怎么拍怎么有劲，顺带着身体姿态也挥洒自如，打架简直成了舞蹈，兼有了美感和韵味。要论到写字，腔调甚至先于主题，它是一个人特有的形式，或者工具；不这么说，不这么写，就会别扭；工欲善其事，必先利其器，腔调有时候就是“器”，有时候又是“事”，对一篇文章或者一本书来说，器就是事，事就是器。这本书，的确是用他特有的腔调表达了对“腔调”本身的赞美。|据说，2011年8月24日，京东与支付宝合作到期。官方公告显示，京东商城已经全面停用支付宝，除了无法使用支付服务外，使用支付宝账号登录的功能也一并被停用。京东商城创始人刘先生5月份曾表示京东弃用支付宝原因是支付宝的费率太贵，为快钱等公司的4倍。在弃支付宝而去之后，京东商城转投银联怀抱。这点我很喜欢，因为支付宝我从来就不用，用起来也很麻烦的。好了，现在给大家介绍三本好书：《古拉格：一部历史》在这部受到普遍称赞的权威性著作中，安妮·阿普尔鲍姆第一次对古拉格——一个大批关押了成百上千万政治犯和刑事犯的集中营——进行了完全纪实性的描述，从它在俄国革命中的起源，到斯大林治下的扩张，再到公开性时代的瓦解。阿普尔鲍姆深刻地再现了劳改营生活的本质并且将其与苏联的宏观历史联系起来。《古拉格：一部历史》出版之后立即被认为是一部人们期待已久的里程碑式的学术著作，对于任何一个希望了解二十世纪历史的人来说，它都是一本必读书。厌倦了工作中的枯燥忙碌？吃腻了生活中的寻常美味？那就亲手来做一款面包尝尝吧！面包不仅是物质生活的代名词，还是温暖和力量的化身。作者和你一样，是一个忙碌的上班族，但她却用六年的烘焙经验告诉你：只要有一颗热爱生活的心，一双勤快灵活的手，美味的面包和美好的生活，统统都属于你！<停在新西兰刚刚好>100%新西兰=1%旅行 1%打工 98%成长全世界年轻人都在打工度假！错过30岁就等下辈子！她叫巴道。26岁那年，她发现一个书本上从来没有提过的秘密：全世界年轻人都在打工度假。拿到打工度假签证，你不必承担巨额旅费，也不必羞于张口找父母要钱，因为你可以像当地人一样打工赚钱。你不会成为一个无趣又匆忙的观光客，因为你可以花一年的时间，看细水长流。目前向中国大陆开放这种签证的国家，只有新西兰——《霍比特人》和《魔戒》的故乡，百分百纯净的蓝天白云，山川牧场。世界向年轻人敞开了一道门。门外光芒万丈，门里波谲云诡。巴道发现，自己心动了。|

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书的质量和内容挺不错

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挺好的

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内容一般般吧，没有新意！

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⑤教学生抓重点.教学难免有意外，课堂难免有突变，应对教学意外、课堂突变的本领，就是我们通常说的驾驭课堂、驾驭学生的能力。对教师来说，让意外干扰教学、影响教学是无能，把意外变成生成，促进教学、改进教学是艺术。生成相对于教学预设而言，分有意生成、无意生成两种类型；问题生成、疑问生成、答案生成、灵感生成、思维生成、模式生成六种形式。生成的重点在问题生成、灵感生成。教学机智显亮点.随机应变的才智与机敏，最能赢得学生钦佩和行赞叹的亮点。教学机智的类型分为教师教的机智、学生学的机智，师生互动的机智，学生探究的机智。机智常常表现在应对质疑的解答，面对难题的措施，发现问题的敏锐，解决问题的灵活。

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根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。