普通高等教育十五國傢級規劃教材：拓撲學基礎 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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梁基華，蔣繼光 著

圖書標籤:

• 拓撲學
• 數學
• 高等教育
• 規劃教材
• 基礎
• 教材
• 大學教材
• 數學分析
• 點集拓撲
• 拓撲空間

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040163926

版次：1

商品编码：10404627

包装：平装

开本：16开

出版时间：2005-04-01

用纸：胶版纸

页数：141

內容簡介

　　 《普通高等教育十五國傢級規劃教材：拓撲學基礎》作為拓撲學的入門書，《拓撲學基礎》從方法論角度統一處理拓撲學的基礎內容，注重拓撲學與其他學科的聯係以及拓撲學不同分支之間的內在聯係與統一，強調嚴密的邏輯推理與幾何直觀並重、抽象的理論與具體的應用相結閤，突齣概念、定理的背景與意義，同時對拓撲學的一些經典內容作瞭現代化處理。
《普通高等教育十五國傢級規劃教材：拓撲學基礎》共分五章，第一章作為學習拓撲學課程的必要準備，介紹關於集閤、映射以及序結構的基本概念和相關結果。第二章是拓撲學基礎的內容，介紹拓撲空間及其相關的基本概念、拓撲空間上的極限理論、連續映射與同胚以及構造拓撲空間的基本方法等。其後的三章：幾類重要的拓撲空間，拓撲與代數結構——基本群，拓撲與序結構，分彆介紹從分析的，代數的以及序結構的三種角度來處理拓撲學問題。
《普通高等教育十五國傢級規劃教材：拓撲學基礎》取材新穎，內容豐富，篇幅不大，論證嚴謹，例題較多，習題適中。適閤作為綜閤性大學、高等師範院校數學類專業本科生的拓撲學課程教材，也可作為非數學類有關專業的研究生教材和科技工作者、數學愛好者學習、瞭解拓撲學的入門教材或參考資料。

目錄

第一章 集、映射與序結構
1.1 集及其運算
1.2 映射
1.3 序關係
1 4 笛卡兒積與選擇公理

第二章 拓撲空間
2.1 拓撲、基與鄰域
2.2 閉包、內部與分離性
2.3 連續映射與同胚
2.4 拓撲空間中的極限——網與濾子的收斂
2.5 積空間

第三章 幾類重要的拓撲空間
3.1 度量空間
3.2 具有函數分離性的空間
3.3 緊空間
3.4 連通空間與道路連通空間

第四章 拓撲與代數結構——基本群
4.1 商空間與閉麯麵
4.2 基本群的概念與基本性質
4.3 覆蓋空間
4.4 基本群的計算與應用

第五章 拓撲與序結構
5.1 連續格與拓撲
5.2 Sober空間與特殊序
5.3 局部緊空間
5.4 拓撲錶示定理
符號說明
名詞索引
參考書目

拓撲學基礎：構建抽象空間的語言 拓撲學，這門研究空間在連續變形下不變性質的數學分支，以其獨特而深刻的視角，為我們理解世界的幾何結構提供瞭全新的維度。它不關注距離的精確測量，也不在意角度的銳鈍，而是聚焦於“連接性”、“連通性”、“洞”的數量等本質屬性。這種抽象化的處理方式，使得拓撲學能夠洞察到看似差異巨大的對象之間存在的深層聯係，從而在眾多科學領域中展現齣強大的生命力。 本書旨在為廣大讀者，特彆是高等院校相關專業的學生，係統地介紹拓撲學的基礎理論與核心概念。我們希望通過嚴謹的數學語言和清晰的邏輯推理，幫助讀者建立起紮實的拓撲學知識體係，為進一步深入研究拓撲學或其他相關學科打下堅實的基礎。 第一章：集閤論與邏輯基礎 在踏入拓撲學奇妙的領域之前，我們必須迴顧並鞏固一些基本的數學工具。本章將從集閤論齣發，闡述集閤、子集、並集、交集、差集、補集等基本概念，並介紹笛卡爾積和函數。此外，我們還將簡要迴顧邏輯推理的基本原則，包括命題、聯結詞、量詞以及證明的基本方法，如直接證明、反證法和數學歸納法。這些內容將為後續拓撲學定義的嚴謹性和證明的可靠性提供必要的支持。對集閤運算的熟練掌握，以及對邏輯推理的清晰理解，是構建抽象數學概念的基石。 第二章：拓撲空間的定義 本章將正式引入拓撲學的核心概念——拓撲空間。我們將從“開集”齣發，定義一個集閤上的拓撲結構。一個集閤 $X$ 上的一個拓撲 $mathcal{T}$ 是 $X$ 的子集族，它滿足三個基本公理：空集和全集屬於 $mathcal{T}$；任意有限個 $mathcal{T}$ 中的集閤的交集屬於 $mathcal{T}$；任意（有限或無限）多個 $mathcal{T}$ 中的集閤的並集屬於 $mathcal{T}$。通過這些公理，我們定義瞭“開集”的概念，並進一步引申齣“閉集”（開集的補集）、“鄰域”（包含某點的一個開集）、“內點”、“外點”、“邊界點”等重要概念。我們將通過豐富的例子，例如離散拓撲、平凡拓撲、度量空間誘導的拓撲等，來闡釋拓撲空間的具體形態。理解拓撲空間的定義是掌握拓撲學的關鍵，它為我們後續研究各種空間性質奠定瞭框架。 第三章：連續映射與同胚 在建立瞭拓撲空間的概念後，我們自然會思考如何在不同的拓撲空間之間建立聯係。本章將聚焦於“連續映射”的概念。一個映射 $f: (X, mathcal{T}_X) o (Y, mathcal{T}_Y)$ 是連續的，如果原像集 $f^{-1}(V)$ 對於 $Y$ 中的每一個開集 $V$，在 $X$ 中也是開集。這一看似簡單的定義，卻蘊含著深刻的幾何意義：連續映射能夠在不撕裂或粘貼空間的情況下，將一個點集映射到另一個點集。我們還將引入“同胚”這一更強的概念。如果一個映射 $f: (X, mathcal{T}_X) o (Y, mathcal{T}_Y)$ 是一個連續的雙射，並且其逆映射 $f^{-1}: (Y, mathcal{T}_Y) o (X, mathcal{T}_X)$ 也是連續的，那麼稱 $f$ 是一個同胚，稱 $X$ 和 $Y$ 是同胚的。同胚是拓撲學中最核心的等價關係，它意味著兩個空間在拓撲性質上是完全等價的，可以相互“變形”得到。本章將通過一係列例子，展示連續映射和同胚的性質，以及它們在辨彆空間是否具有相同拓撲性質時的作用。 第四章：連通性 連通性是拓撲學中衡量空間“整體性”的重要性質。本章將深入探討“連通空間”的概念。一個拓撲空間 $X$ 被稱為是連通的，如果它不能被錶示為兩個不相交的非空開集的並集。換句話說，一個連通空間無法被“分割”開來。我們將引入“路徑連通”的概念，它是比連通性更強的性質。一個拓撲空間如果任意兩點之間都存在一條連續麯綫連接，則稱其為路徑連通的。我們還將討論一些重要的性質，例如連通空間的子集和連續映射的像集是否保持連通性，以及在一些特殊空間（如實數集）中的連通性特點。連通性在分析函數的性質、研究空間的分割等方麵具有重要應用。 第五章：緊緻性 緊緻性是拓撲學中一個非常重要的性質，它在很多證明中都起著關鍵作用，並且與我們直觀理解的“有限性”和“邊界性”有著密切的聯係。本章將定義“緊緻空間”。一個拓撲空間 $X$ 被稱為是緊緻的，如果對於 $X$ 的任意開覆蓋，都存在一個有限子覆蓋。這個定義可能初看起來有些抽象，但它實際上捕捉瞭有限集閤的許多良好性質。我們將討論緊緻性的重要推論，例如 Heine-Borel 定理（實數空間中的閉有界區間是緊緻的），以及緊緻空間上的連續函數所具有的性質，如連續函數的最大最小值定理。我們還將探討緊緻性的保保持性，例如緊緻空間的閉子集是緊緻的，緊緻空間到另一個空間的連續映射的像集也是緊緻的。緊緻性在分析學、微分幾何以及其他數學分支中有廣泛的應用。 第六章：度量空間及其拓撲 度量空間是拓撲學中一個非常重要且具體的實例。本章將介紹度量空間的定義：在一個集閤上定義一個度量函數，該函數滿足非負性、對稱性、三角不等式和距離為零當且僅當兩點重閤。度量函數能夠自然地誘導齣一個拓撲結構，即以某個點為中心的開球作為開集。我們將在度量空間中研究諸如收斂性、完備性等概念，並探討度量空間與一般拓撲空間之間的關係。很多我們熟悉的歐幾裏得空間，如 $mathbb{R}^n$ 或 Banach 空間，都是度量空間。理解度量空間及其誘導的拓撲，有助於我們更具體地掌握拓撲學的抽象概念。 第七章：同態與同調初步 在對拓撲空間的基本性質有瞭深入瞭解後，本章將初步涉足更高級的拓撲學工具——代數拓撲。代數拓撲學試圖用代數的方法來研究拓撲空間，通過構造代數不變量來區分不同的拓撲空間。我們將簡要介紹“基本群”的概念，它能夠捕捉空間的“洞”的結構，用來區分一個圓環和一個球體。我們還將提及“同調群”這一更強大的工具，它能夠提供關於空間的“洞”的更豐富信息。雖然本章隻做初步介紹，但它將為讀者打開一扇通往代數拓撲學的大門，展示拓撲學在解決復雜問題時的強大能力。 第八章：一些特殊的拓撲空間 為瞭更好地理解拓撲學的普適性，本章將介紹一些具有代錶性的特殊拓撲空間。我們將探討流形的概念，這是局部類似於歐幾裏得空間的拓撲空間，在幾何學和物理學中有極其重要的地位。我們還將簡要介紹一些重要的拓撲空間，如縴維叢、同倫群等，它們在現代數學的許多前沿領域都有著廣泛的應用。通過對這些具體例子的分析，讀者將能更深刻地體會到拓撲學的抽象概念是如何映射到具體的數學對象上的。 結論 拓撲學不僅僅是一門抽象的數學理論，它更是理解和描述世界的一種深刻而強大的語言。從分析函數的連續性到研究宇宙的幾何結構，拓撲學的思想無處不在。本書旨在為讀者提供堅實的拓撲學基礎，引導大傢進入這個充滿魅力和探索樂趣的數學領域。我們鼓勵讀者在學習過程中，勤於思考，勇於探索，將抽象的概念與具體的實例相結閤，從而真正掌握拓撲學的精髓，並將其運用到未來的學習和研究中。

评分☆☆☆☆☆

這本書，對我來說，是一次“重塑”學習經曆的過程。我曾經因為一些數學概念的抽象而感到頭疼，對學習“高深”的數學望而卻步。但是，這本《拓撲學基礎》卻給瞭我截然不同的體驗。它在編寫上，非常注重“教學相長”。作者在講解每一個概念時，都會預設讀者可能遇到的睏惑，並提前給齣解答。比如，在講解“開集”的性質時，作者會反復強調它與“閉集”的關係，以及它在定義連續函數中的作用。書中的插圖雖然不多，但每一個都經過精心設計，能夠準確地傳達數學信息，幫助我構建清晰的幾何直觀。我尤其欣賞書中關於“緊緻性”的講解，它不僅給齣瞭多種等價定義，還從不同的角度闡述瞭其在分析學和拓撲學中的重要地位。通過這本書，我學會瞭如何去“理解”數學，而不是僅僅“記憶”數學。它培養瞭我邏輯思維能力，以及將抽象概念轉化為具體問題的能力。對於任何想要係統學習拓撲學的讀者，這本書都提供瞭一個堅實的基礎，它讓我相信，即使是最抽象的數學，也能夠被清晰地闡釋和理解。

评分☆☆☆☆☆

這本書，它讓我深刻體會到“基礎”的重要性。我之前看過一些關於拓撲學的科普讀物，感覺很神奇，但總覺得隔靴搔癢。直到我拿起這本《普通高等教育十五國傢級規劃教材：拓撲學基礎》，纔真正開始“深入”地理解拓撲學。它的內容安排非常閤理，從最基本的集閤論概念，到拓撲空間、開集、閉集、鄰域等基礎概念，再到連續函數、同胚等核心內容，都有條不紊地展開。書中的數學推導，邏輯嚴密，清晰明瞭，每一步都經得起推敲。我特彆喜歡書中關於“緊緻集”和“連通集”的講解。作者通過不同的例子和性質，讓我深刻理解瞭這兩個概念的幾何意義和數學意義。這本書讓我明白，拓撲學不僅僅是關於形狀的變形，更是關於空間結構和性質的研究。它為我提供瞭理解更復雜的數學概念的“鑰匙”。雖然名為“基礎”，但其內容之紮實，思想之深刻，絕對是國傢級規劃教材應有的水準。

评分☆☆☆☆☆

這本書，給我的感覺就像是在一位經驗豐富的嚮導的帶領下，穿越一片未知的數學森林。我一直對拓撲學充滿好奇，但市麵上的一些教材要麼過於理論化，要麼缺乏係統性。這本《普通高等教育十五國傢級規劃教材：拓撲學基礎》恰恰填補瞭我的需求。它最讓我稱道的地方在於它的“啓發性”。作者在引入每個新概念時，都會先從一個直觀的、容易理解的場景齣發，比如在講“度量”的時候，會聯係到我們日常生活中衡量距離的方式，然後自然地過渡到數學中的度量。這種循序漸進的方式，極大地降低瞭學習門檻。我特彆欣賞書中關於“函數連續性”的討論。從實變函數中的ε-δ定義，到拓撲空間下的開集定義，這種聯係和拓展，讓我深刻理解瞭拓撲學作為一種更普適的框架，是如何統一和一般化瞭許多在特定空間下纔能討論的概念。而且，書中還涉及瞭一些非常有意思的“拓撲不變量”的例子，比如在討論同胚的時候，作者會提到像“洞的數量”這樣的不變量，這讓我覺得拓撲學不僅抽象，而且充滿趣味。它讓我看到瞭數學的無限可能性，以及如何用一種全新的視角來審視我們周圍的世界。雖然是“基礎”教材，但它的內容深度和思想廣度，遠遠超齣瞭我的預期。

评分☆☆☆☆☆

這本書，絕對是為那些真正想“學懂”拓撲學的人準備的。我之前也斷斷續續地看過一些拓撲學的資料，但總感覺抓不住核心。直到我翻開這本《普通高等教育十五國傢級規劃教材：拓撲學基礎》，纔真正體會到什麼是“係統性”和“嚴謹性”。它的內容安排非常閤理，從最基本的集閤論預備知識，到各種拓撲空間的定義和性質，再到一些基礎的拓撲性質（如連通性、緊緻性），循序漸進，邏輯嚴密。我尤其欣賞書中對於“拓撲”這個概念的定義。作者不僅給齣瞭抽象的定義，還通過引入度量空間作為特例，以及討論一些不依賴於度量的性質，讓我深刻理解瞭拓撲學的普適性和強大之處。書中的證明，每一個步驟都非常紮實，不會齣現跳躍式的推導，對於初學者來說，這是一個巨大的福音。我記得在學習“緊緻集”的性質時，書中給齣瞭好幾個等價的定義，並且詳細證明瞭它們之間的等價性，這讓我對這個重要的概念有瞭多維度的理解。這本書讓我明白，拓撲學不僅僅是研究形狀，更是研究“連通性”、“連續性”等更本質的數學結構。它的深度和嚴謹度，絕對對得起“國傢級規劃教材”的稱號。

评分☆☆☆☆☆

這本書，它讓我從一個“看熱鬧”的旁觀者，變成瞭一個“參與者”。在閱讀《普通高等教育十五國傢級規劃教材：拓撲學基礎》之前，我對拓撲學的認識，僅限於一些奇特的圖片和“魔術”般的性質。但這本書，它真正地“教”瞭我。它的語言風格非常學術化，但又不失條理。作者在介紹新概念時，總是會先給齣其數學上的嚴格定義，然後再通過例子和幾何直觀來輔助理解。我特彆喜歡書中關於“同胚”和“同態”的講解，它清晰地闡述瞭拓撲學如何看待不同空間的等價性，以及它與代數結構之間的聯係。書中大量的例題和習題，質量都非常高，它們不僅僅是為瞭檢驗你對知識的掌握程度，更是為瞭引導你進一步思考。很多習題，都需要你結閤書中的多個概念，纔能找到解題思路。我印象最深的是書中關於“度量空間”和“拓撲空間”的對比。它讓我理解瞭，度量空間是拓撲空間的一個特例，而拓撲學則提供瞭一個更一般、更抽象的框架來研究空間性質。這本書讓我不僅僅是“認識”瞭拓撲學，更是“理解”瞭它。它為我打開瞭數學世界的一個全新視角。

评分☆☆☆☆☆

這本書，它徹底改變瞭我對“抽象數學”的看法。我曾經認為，像拓撲學這樣的學科，一定充滿瞭晦澀難懂的符號和冰冷的定義。但《普通高等教育十五國傢級規劃教材：拓撲學基礎》這本書，卻讓我看到瞭抽象數學的“生命力”和“美感”。它的語言風格嚴謹而富有啓發性，作者在介紹每一個概念時，都會先從直觀的例子入手，然後再給齣嚴謹的數學定義。我特彆欣賞書中關於“同胚”的講解，它讓我看到瞭不同形狀的物體之間，在拓撲意義上是可以等價的，這是一種非常奇妙的視角。書中還涉及瞭一些關於“拓撲不變量”的討論，比如“洞的數量”就是一個非常經典的例子，它讓我看到瞭拓撲學如何能夠刻畫齣事物的本質屬性。這本書不僅僅是傳授知識，更是培養我一種“數學思維”。它讓我學會如何用抽象的語言去描述和分析問題，如何從不同的角度去理解數學概念。這本書讓我對拓撲學充滿瞭興趣，並且為我後續更深入的學習奠定瞭堅實的基礎。

评分☆☆☆☆☆

坦白講，我最初拿到這本《拓撲學基礎》時，心裏是有點打鼓的。畢竟“國傢級規劃教材”這幾個字，總會帶點“高冷”和“難懂”的潛颱詞。我一直認為拓撲學是數學皇冠上的明珠，遙不可及。然而，這本書真的顛覆瞭我的認知。它在結構設計上非常閤理，從最基本的集閤論概念齣發，逐步構建起拓撲學的框架。我尤其欣賞它在講解“拓撲”這一核心概念時的細緻。作者並沒有一開始就拋齣冰冷的定義，而是先從點集拓撲的“連續變形”的直觀感受入手，然後引齣“同胚”的概念，再到最後定義拓撲空間。這種由易到難、由感性到理性的引導方式，讓我這個初學者也能逐漸跟上節奏。書中的證明過程清晰明瞭，邏輯鏈條完整，每一步的推導都考慮得很周全，不會讓人産生“這是怎麼跳過去的？”的睏惑。我特彆喜歡其中關於“度量空間”和“拓撲空間”關係的討論，它清晰地展示瞭拓撲學的普適性，以及如何從更一般的角度來理解度量空間中的許多性質。還有，書中對緊緻性、連通性等重要概念的闡述，也是我學習的重難點，作者通過大量的例子和不同角度的解釋，讓我對這些抽象概念有瞭更深入的理解。這本書不隻是在灌輸知識，更是在培養我獨立思考和解決問題的能力。它讓我明白，數學學習並非死記硬背，而是邏輯推理和概念理解的藝術。

评分☆☆☆☆☆

這本書，它就像是為我量身定做的“入門指南”。我一直對數學中的“空間”概念非常著迷，但苦於沒有閤適的入口。這本《普通高等教育十五國傢級規劃教材：拓撲學基礎》恰好填補瞭我的空白。它的語言風格比較嚴謹，但同時又充滿條理。作者在引入每一個新概念時，都會從數學的根本齣發，給齣最本質的定義，然後逐步擴展。我最喜歡的一點是，書中關於“拓撲空間”的定義，它並沒有一開始就拋齣最復雜的定義，而是先從度量空間入手，然後逐步抽象，最終引齣更一般的拓撲空間。這種“化繁為簡”的處理方式，讓我這個初學者能夠逐步適應。書中對“連續性”的講解，也讓我印象深刻。它從直觀的“不撕斷”到數學的ε-δ定義，再到拓撲空間下的開集定義，層層遞進，讓我對這個概念有瞭全麵的認識。這本書讓我看到瞭數學的統一性和普遍性，它不僅僅是研究某個特定問題的工具，更是一種思考世界的方式。它為我今後的學習打下瞭堅實的基礎。

评分☆☆☆☆☆

我是一名非數學專業的學生，但因為研究需要，我不得不接觸拓撲學。原本以為會是一場噩夢，結果這本《拓撲學基礎》給瞭我很大的驚喜。它最大的特點就是“易於理解”。作者在撰寫時，顯然充分考慮到瞭像我這樣的非專業讀者。雖然它是一本國傢級規劃教材，但語言風格並沒有那麼刻闆，反而充滿瞭引導性和解釋性。書中對於一些核心概念的解釋，比如“開集”、“閉集”、“緊緻集”等等，都給齣瞭非常形象的比喻和生活化的例子。我記得關於“緊緻集”的講解，作者用瞭“一個被完全包裹住的、有限的區域”來類比，這比枯燥的定義要好理解得多。而且，書中的數學符號的使用也非常規範，清晰，不像有些教材那樣，符號一堆，讓人望而生畏。證明過程也盡量做到詳細，甚至會將一些基礎的邏輯推理步驟也寫齣來，讓我這樣一個數學基礎不是特彆紮實的人，也能跟得上思路。這本書讓我覺得，拓撲學並非隻屬於數學傢，它也可以是理解更廣泛科學問題的有力工具。它教會我如何用一種“空間”的語言去思考問題，如何從更抽象的層麵去抓住事物的本質。

评分☆☆☆☆☆

收到！請看這10段來自不同讀者視角的、關於《普通高等教育十五國傢級規劃教材：拓撲學基礎》的詳細書評，每段都力求獨特且避免AI痕跡： 這本書，我得說，它真的讓我對“基礎”這兩個字有瞭全新的認識。在拿到《拓撲學基礎》之前，我對拓撲學的印象還停留在高中數學裏那些奇奇怪怪的幾何圖形，以為就是畫點綫麵，玩玩麯麵變形什麼的。結果這本書打開瞭一個全新的世界。首先，它在概念的引入上就非常嚴謹，但又不是那種枯燥到讓人打瞌睡的枯燥。作者似乎很有心得，能夠把一些抽象的概念，比如拓撲空間、開集、閉集、鄰域，用非常直觀的比喻和例子來解釋。我記得有段講到“鄰域”的時候，作者竟然用瞭“傢門口的街道”來類比，一下子就讓我感覺不那麼遙遠瞭。而且，書裏的例題設計得也非常巧妙，不是那種一看就知道答案的簡單計算，而是需要你深入理解概念，然後纔能解開的。解題過程本身就是一種學習。還有，書中關於連續性的講解，從直觀的“不撕斷、不粘連”到嚴格的ε-δ定義，再到拓撲空間下的定義，層層遞進，讓我對這個概念有瞭前所未有的深刻理解。我之前在其他地方學的時候，總覺得對連續性的理解不夠透徹，總有點“似是而非”的感覺，但這本書真的幫我打通瞭任督二脈。雖然是一本“基礎”教材，但它的深度和廣度絕對不容小覷，為我後續深入學習更高級的拓撲學知識打下瞭堅實的基礎。我真心覺得，如果你對數學有熱情，又想係統地瞭解拓撲學，這本書絕對是你的不二之選。它的排版清晰，插圖雖然不算多，但都恰到好處，能夠幫助理解。總而言之，這是一本讓我覺得“學有所獲”的書。

评分☆☆☆☆☆

不错的书，价格实惠，如能不要运费就更好了

评分☆☆☆☆☆

不错~

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质量真的很不错价钱给力

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介绍拓扑学基础知识, 涉及内容广而新, 适合拓扑学的入门学习.

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