高等學校數學公共課輔導係列·綫性代數解題指導：概念、方法與技巧 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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王中良 編

圖書標籤:

• 綫性代數
• 高等數學
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• 數學學習
• 概念解析
• 方法技巧
• 考研數學
• 數學輔導

出版社： 北京大学出版社

ISBN：9787301077900

版次：1

商品编码：10593721

包装：平装

开本：32开

出版时间：2004-09-01

用纸：胶版纸

页数：304

字数：280000

正文语种：中文

內容簡介

《綫性代數解題指導：概念、方法與技巧》是高等院校工科、經濟管理和財經類各專業本科生數學公共基礎課“綫性代數”的學習輔導書，全書共分六章，內容包括行列式、矩陣、綫性方程組和嚮量、嚮量空間、矩陣的特徵值與特徵嚮量、二次型等。每章按照內容提要，基本要求與重點、難點分析，典型例題解析，練習題四部分編寫，寫國內統編教材相輔相成、同步使用。書末有兩個附錄，附錄一為2004年碩士學位研究生入學考試綫性代數試題；附錄二為每章練習題答案、提示與解答，也包括2004年教研試題的解答。
《綫性代數解題指導：概念、方法與技巧》是按照原國傢教委製定的工科類“綫性代數課程教學基本要求”，並參照全國碩士研究生入學統一考試“數學考試大綱”，結閤編者多年從事綫性代數課程教學與輔導的經驗和體會而編寫的。《綫性代數解題指導：概念、方法與技巧》重點是“典型例題解析”這一部分，選編例題300道，按題型分為填空題、選擇題、解答題和證明題等類型。用“講思路、舉例題”與“舉例題、講方法”的思維方式，幫助讀者正確理解綫性代數的基本概念和基本理論，掌握解題的常用方法與技巧，特彆是許多例題給齣一題多解，通過解題更能開闊思路，提高分析和解決問題的能力，達到融會貫通、舉一反三的效果。
《綫性代數解題指導：概念、方法與技巧》既可作為高校各相關專業本科生學習“綫性代數”的輔導教材，也可作為任課教師的教學參考書，對於準備報考碩士研究生的讀者，《綫性代數解題指導：概念、方法與技巧》也是復習備考的良師益友。

目錄

第一章 行列式
1 內容提要
2 基本要求與重點、難點分析
3 典型例題解析
4 練習題

第二章 矩陣
1 內容提要
2 基本要求與重點、難點分析
3 典型例題解析
4 練習題

第三章 綫性方程組和嚮量
1 內容提要
2 基本要求與重點、難點分析
3 典型例題解析
4 練習題

第四章 嚮量空間
1 內容提要
2 基本要求與重點、難點分析
3 典型例題解析
4 練習題

第五章 矩陣的特徵值與特徵嚮量
1 內容提要
2 基本要求與重點、難點分析
3 典型例題解析
4 練習題

第六章 二次型
1 內容提要
2 基本要求與重點、難點分析
3 典型例題解析
4 練習題
附錄一 2004年碩士學位研究生入學考試綫性代數試題
附錄二 練習題答案、提示與解答
參考書目

前言/序言

綫性代數疑難攻剋與應用拓展：習題精講與思維導圖 本書旨在為廣大高等院校理工科、經濟管理類專業學生提供一套全麵、深入且極具實操性的綫性代數學習輔助材料。我們深知，綫性代數作為數學基礎課程中的重要支柱，其抽象性與內在邏輯的嚴密性往往成為許多學習者跨越的難點。本書聚焦於將抽象的數學概念轉化為清晰的解題步驟，並引導讀者建立起從基礎理論到實際應用的全景式思維框架。 --- 第一部分：核心概念的深度剖析與易錯點辨析 本部分是理解後續復雜內容的基礎。我們摒棄瞭純粹的定義羅列，而是采用“問題導嚮”和“對比教學”的方法，係統梳理綫性代數中最容易混淆和齣錯的核心概念。 第一章：嚮量空間與綫性變換的直觀理解 嚮量空間的內在結構： 詳細探討子空間、生成集、基與維數之間的內在聯係。重點解析“綫性無關的充要條件”在不同嚮量空間（如函數空間、多項式空間）中的具體體現。 坐標變換的幾何意義： 不僅給齣坐標變換矩陣的計算公式，更側重於闡述坐標係選擇對矩陣錶示的影響。通過二維和三維空間的具體例子，展示坐標變換如何改變嚮量的數值錶示，但不改變嚮量本身所代錶的幾何對象。 綫性變換的結構分解： 深入講解核（Kernel）和像（Image）空間的性質，強調它們是衡量綫性變換“保真度”和“映射範圍”的關鍵指標。設置專項練習，要求讀者自行構造特定核與像空間的綫性變換實例。 第二章：矩陣理論的深層揭示與計算技巧 初等行變換與矩陣的等價性： 辨析初等矩陣、行等價、相似、閤同這四種等價關係的區彆與聯係。尤其強調如何通過初等行變換，在不改變核心信息的前提下，將矩陣化為最簡形式（如行階梯形或對角形）。 行列式的計算藝術： 除瞭拉普拉斯展開，本書提供瞭針對特定結構矩陣（如分塊矩陣、Toeplitz矩陣）的快速計算技巧。針對“防範行列式計算中的符號錯誤”設置專門的“陷阱分析”章節。 矩陣的秩與基本子空間的關係： 明確矩陣的四個基本子空間（行空間、零空間、列空間、左零空間）之間的正交關係，並利用秩-零化度定理，構建一個完整的小結，展示如何通過矩陣的秩快速推斷綫性方程組解的存在性與唯一性。 --- 第二部分：特徵值、特徵嚮量與對角化的應用進階 特徵值理論是綫性代數理論體係中的高光部分，也是後續微分方程、動力係統等課程的基石。本部分旨在攻剋特徵值計算的復雜性，並強調對角化的實際價值。 第三章：特徵值問題的多角度求解 特徵方程的求解策略： 針對高次特徵多項式的求解睏難，提供基於矩陣結構（如特殊三角矩陣或循環矩陣）的特徵值估計方法。同時，引入迭代法（如冪法）的原理介紹，為數值計算打下基礎。 代數重數與幾何重數的深度探討： 詳細分析兩者相等或不等時，矩陣的性質差異。重點解析“若想實現對角化，幾何重數必須等於代數重數”的證明思路，而非簡單記憶結論。 Jordan標準型的構造與應用： 盡管Jordan標準型在初級課程中較少作為計算重點，但本書將其視為理解不可對角化矩陣結構的關鍵。提供瞭一個詳盡的步驟指南，教導讀者如何根據特徵值和廣義特徵嚮量構造Jordan塊。 第四章：正交性與二次型的幾何化處理 正交基的構造與Gram-Schmidt過程的優化： 不僅教會學生如何使用Gram-Schmidt過程，更著重於在實際應用中（如數據降維前處理）如何選擇更穩定的數值計算方法來近似構造正交基。 對稱矩陣的譜分解： 強調對稱矩陣的特徵嚮量具有天然的正交性，並解釋譜分解（Spectral Decomposition）如何將一個復雜的二次型轉化為互相獨立的簡單平方和的形式。 二次型的規範形與分類： 詳細講解如何通過正交變換將二次型化為規範形，並利用主軸定理對二次型進行正定、半正定、不定等分類。本書特彆加入瞭“二次型在不同坐標係下的不變量”的討論。 --- 第三部分：理論與實際的橋梁——進階應用與方法論 本部分將理論知識與實際應用場景緊密結閤，幫助讀者理解“為什麼要學這些看似抽象的理論”。 第五章：綫性方程組的穩定解法與數值穩定性 最小二乘法的幾何闡釋： 解釋最小二乘法本質上是尋找嚮量投影，即求解“投影問題”，而非單純的“綫性方程組求解”。推導正規方程組，並分析其在矩陣病態性下的局限。 矩陣分解在求解中的核心作用： 深入講解LU分解、QR分解的計算過程及其優勢。特彆對比LU分解在求解大量具有相同左側係數矩陣的方程組時的效率優勢。 誤差分析與條件數： 引入矩陣條件數的概念，直觀解釋為何計算結果對初始數據的微小擾動如此敏感。這為後續學習誤差分析課程提供瞭綫性代數層麵的基礎。 第六章：綫性代數在現代科學中的前沿應用速覽 圖論與鄰接矩陣： 探討如何利用矩陣的冪和特徵值來分析網絡結構（如PageRank算法的簡化原理）。 數據分析中的低秩近似： 簡要介紹奇異值分解（SVD）的計算框架，並解釋其在數據壓縮和主成分分析（PCA）中的核心地位，強調SVD的普適性，因為它適用於任何矩陣，無需矩陣是對稱的。 應用實例的思維導圖： 提供瞭數個跨學科的綫性代數應用案例的“思維導圖”，引導讀者從實際問題齣發，逆嚮追溯所需的綫性代數工具。 --- 本書特色總結 本書的核心價值在於其“解題導嚮下的理論深化”。它不僅僅是習題的答案集閤，而是通過精選的、具有代錶性的典型例題，反嚮剖析瞭綫性代數理論的構建邏輯。我們確保每一步推導都力求清晰、流暢，避免跳躍性的結論。通過對常見解題誤區的剖析和對高級概念的幾何可視化解讀，本書緻力於幫助學習者建立起堅實、靈活的綫性代數知識體係，真正做到從“會做題”到“理解題”的質變。

评分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計相當簡潔大氣，但第一眼看上去，它給人的感覺是那種“學院派”的嚴謹，可能不太吸引那些追求快速齣題技巧的同學。我最初拿到這本書的時候，並沒有抱太高的期望，因為市麵上同類書籍太多瞭，很多都是照搬教材或者隻羅列例題。然而，翻閱瞭幾頁之後，我發現這本書在內容的編排上，似乎更側重於“理解”而非“記憶”。它沒有直接拋齣大量的解題公式，而是花瞭不少篇幅去講解綫性代數中一些基礎概念的由來和內在聯係，比如嚮量空間、綫性無關、特徵值與特徵嚮量的幾何意義等等。這種循序漸進的講解方式，對於我這種數學基礎不算特彆紮實，但又想真正掌握綫性代數這門學科的學生來說，無疑是一股清流。它讓我感覺，學習數學不應該隻是死記硬背，而是要去體會數學思想的精妙之處。雖然我還沒有深入到具體的解題方法部分，但光是前期的概念梳理，就已經讓我對綫性代數有瞭更深層次的認識，並且在思考問題時，不再僅僅局限於某個具體的計算步驟，而是能從更宏觀的角度去審視問題。這種“由內而外”的學習方法，是我一直所追求的。

评分☆☆☆☆☆

作為一個數學“小白”，拿到這本書時，我確實有點擔心自己會看不懂。畢竟“綫性代數”這四個字聽起來就很有壓迫感。但是，這本書的講解方式讓我感到意外的輕鬆。作者在解釋每一個概念的時候，都盡量用最通俗易懂的語言，並且會穿插一些生活中的例子，比如用“排隊”來解釋嚮量，用“決策樹”來類比矩陣運算。這些例子雖然簡單，但卻非常形象，能夠幫助我快速建立起對抽象概念的初步認知。而且，書中給齣的例題，不僅僅是給齣答案，更重要的是詳細地分析瞭推理過程，並且會指齣幾種可能的解題思路，讓我知道原來一道題可以有很多種解法，而不是隻有一種“標準答案”。這種開放式的講解方式，讓我覺得學習數學不再是死記硬背公式，而是一個充滿創造性的過程。雖然我還需要反復練習來鞏固，但我相信，這本書一定會幫助我建立起對綫性代數堅實的基礎，並且在麵對更復雜的題目時，能夠更有條理地去思考和解決。

评分☆☆☆☆☆

閱讀這本書的過程，就像是在和一位經驗豐富的數學老師進行一場深入的對話。作者的語言風格非常平實，但字裏行間透露齣的專業性和條理性卻令人印象深刻。我尤其喜歡書中對一些易混淆概念的辨析，比如“嚮量空間的基”和“綫性變換的矩陣錶示”，在很多教材中，這兩個概念可能被簡單帶過，但在本書中，作者花瞭大量的篇幅去闡述它們之間的區彆與聯係，並且提供瞭非常形象的比喻來幫助理解。這讓我一下子就豁然開朗，之前睏擾我的很多疑問都迎刃而解瞭。此外，書中在引入復雜的定理或方法時，往往會先從一個簡單的例子入手，逐步引導讀者進入更深的層次，這種“由淺入深”的教學設計，非常符閤我的學習習慣。我能夠清晰地感受到作者在編寫這本書時，是站在一個初學者的角度去思考的，他盡力去消除數學語言的晦澀感，讓綫性代數變得更加親切和易於理解。雖然我還沒有完全掌握所有內容，但這本書已經極大地提升瞭我學習綫性代數的信心和興趣。

评分☆☆☆☆☆

說實話，我拿到這本書的時候，主要是看中瞭它的“輔導”二字，想著能快速掌握一些解題技巧。但實際上，這本書帶給我的遠不止於此。它更像是一本“通識讀物”，在講解綫性代數的核心概念時，都注入瞭作者對數學的深刻理解和哲學思考。比如，在解釋“綫性無關”時，作者不僅僅給齣瞭代數定義，還從幾何角度闡述瞭它的含義，讓我體會到嚮量之間的“獨立性”所帶來的重要意義。這種深入的剖析，讓我能夠將不同章節的內容融會貫通，形成一個完整的知識體係。而且，書中還穿插瞭一些關於數學史的介紹，以及對一些數學傢思想的解讀，這讓我覺得學習數學不僅僅是學習知識，更是在瞭解一種思維方式和一種文化。這種“軟”的方麵，恰恰是我在其他很多教材中難以找到的。雖然我現在還不能完全領會所有深層的含義，但這本書已經在我心中播下瞭對數學更加濃厚興趣的種子，讓我願意去花更多的時間去探索和理解。

评分☆☆☆☆☆

坦白說，我之前對綫性代數的學習一直處於一種“知其然不知其所以然”的狀態，很多定理和公式都是直接背下來，然後套用到題目中。但每次遇到稍微變化一點的題目，就感到無從下手。這本書的齣現，在我看來，就像是給我打開瞭一扇新世界的大門。它不僅僅是提供瞭大量的例題和解題步驟，更重要的是，它深入剖析瞭每一個概念背後的邏輯推導過程，以及不同概念之間的相互關聯。比如，在講解矩陣的秩和嚮量組的綫性相關性時，作者並沒有簡單地給齣定義和計算方法，而是通過一係列的類比和圖形化解釋，讓我們能夠直觀地理解這些抽象的概念。更讓我驚喜的是，書中對於一些經典問題的解題思路，有著非常細緻的拆解，它不是直接告訴你“這樣做”，而是告訴你“為什麼可以這樣做”，並且指齣瞭幾種不同的思考路徑。這種“解構式”的學習方式，對於我來說非常有幫助。我感覺自己不再是被動地接受知識，而是主動地去探索和發現數學的奧秘。雖然我還需要花費更多的時間去消化和吸收裏麵的內容，但我相信，這本書一定會成為我學習綫性代數路上的得力助手。

评分☆☆☆☆☆

商品不错 很实用 对我用处很大

评分☆☆☆☆☆

开始学这么功课时，老师第一节课就问我们数学是什么？我们一时没有很准确的回答给老师，但是老师讲课时的生动性以及准确度深刻的吸引了我，从一开始就喜欢老师也开始喜欢这么功课，课本上的题做完了，还想再做一些，就买了这本书一起做，因为感兴趣所以继续认真学习这本书。推荐给大家，这个系列的书很实用。

评分☆☆☆☆☆

⑤教学生抓重点.教学难免有意外，课堂难免有突变，应对教学意外、课堂突变的本领，就是我们通常说的驾驭课堂、驾驭学生的能力。对教师来说，让意外干扰教学、影响教学是无能，把意外变成生成，促进教学、改进教学是艺术。生成相对于教学预设而言，分有意生成、无意生成两种类型；问题生成、疑问生成、答案生成、灵感生成、思维生成、模式生成六种形式。生成的重点在问题生成、灵感生成。教学机智显亮点.随机应变的才智与机敏，最能赢得学生钦佩和行赞叹的亮点。教学机智的类型分为教师教的机智、学生学的机智，师生互动的机智，学生探究的机智。机智常常表现在应对质疑的解答，面对难题的措施，发现问题的敏锐，解决问题的灵活。

评分☆☆☆☆☆

⑤教学生抓重点.教学难免有意外，课堂难免有突变，应对教学意外、课堂突变的本领，就是我们通常说的驾驭课堂、驾驭学生的能力。对教师来说，让意外干扰教学、影响教学是无能，把意外变成生成，促进教学、改进教学是艺术。生成相对于教学预设而言，分有意生成、无意生成两种类型；问题生成、疑问生成、答案生成、灵感生成、思维生成、模式生成六种形式。生成的重点在问题生成、灵感生成。教学机智显亮点.随机应变的才智与机敏，最能赢得学生钦佩和行赞叹的亮点。教学机智的类型分为教师教的机智、学生学的机智，师生互动的机智，学生探究的机智。机智常常表现在应对质疑的解答，面对难题的措施，发现问题的敏锐，解决问题的灵活。

评分☆☆☆☆☆

①多向互动，形式多样.互动的课堂，一定的活动的课堂，生活的课堂。互动的条件：平等、自由、宽松、和谐。互动的类型师生互动、生生互动、小组互动、文本互动、习题互动、评价互动。互动的形式：问

评分☆☆☆☆☆

送货很快，这本书适合复习考试用，不错

评分☆☆☆☆☆

正如少有人走的路心智成熟的旅程（最新版）开篇所言人生苦难重重。斯科特派克让我们更加清楚人生是一场艰辛之旅，心智成熟的旅程相当漫长。但是，他没有让我们感到恐惧，相反，他带领我们去经历一系列艰难乃至痛苦的转变，最终达到自我认知的更高境界。第四章爱情的入门仪式

评分☆☆☆☆☆

我看了这本书籍很好，有不错的感想。认真学习了这本书，给我几个感受

评分☆☆☆☆☆

①多向互动，形式多样.互动的课堂，一定的活动的课堂，生活的课堂。互动的条件：平等、自由、宽松、和谐。互动的类型师生互动、生生互动、小组互动、文本互动、习题互动、评价互动。互动的形式：问