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评分大衛·濛福德在1960年代創建瞭幾何不變量理論,這是構造模空間的有力工具。此理論探討代數簇在群作用下的商空間,並研究軌道的幾何性質。幾何不變量理論與古典不變量理論的關聯如次:考慮域 k 上的仿射代數簇 X = SpecA,群 G 作用其上,則商空間 X / G 也是仿射代數簇,其坐標環即不變量環 AG。希爾伯特證明若 G 是一般綫性群,則 AG 是有限生成 k-代數;此結果對一般的約化群依然成立,然而 X / G 可能有頗復雜的幾何性質,也未必滿足商對象應滿足的範疇論性質。由於Bn(K)是 Zn(K)的子群,把商群Zn(K)/Bn(K)叫做單純復形K的n維(下)同調群,記作Hn(K)。Hn(K)中的每一個元素叫做一個n維同調類。如果兩個n維閉鏈zń,z怽的差為一個邊緣鏈時,就叫zń與z怽同調。如果zn是邊緣鏈,則稱zn同調於零。例如,圖8b中的單純復形,2個一維閉鏈(A,B)+(C,A)+(B,C),(A┡,B┡)+(C┡,A┡)+(B┡,C┡)有嬠((A,B,A┡)+(A┡,B,B┡)+(B,C,B┡)-(C,B┡,C┡)-(C,C┡,A┡)-(C,A┡,A))=((A,B)+(C,A)+(B,C))-((A┡,B┡)+(C┡,A┡)+(B┡,C┡))。因而這兩個閉鏈同調(而它們都不同調於零)。同調群 Hn(K)的秩叫做K的n維貝蒂數。如果在n維鏈群的定義中,用任意的一個交換群G中的元素代替整數,可以得到以G為係數的n維鏈群 Cn(K;G)。相似地有以G為係數的n維邊緣群Bn(K;G),n維閉鏈群Zn(K;G)。由此定義以G為係數的n維同調群Hn(K;G)。
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评分對於有限群,不變量理論與伽羅瓦理論有密切聯係,一個較早的結果涉及瞭對稱群 Sn 在多項式環 上的作用:Sn 作用下的不變量構成一個子環,由基本對稱多項式生成,由於基本對稱多項式彼此代數獨立,此不變量環本身也同構於另一多項式環。Chevalley-Shephard-Todd 定理刻劃瞭其不變量環同構於多項式環的有限群。最近的研究則更關切算法問題,例如計算不變量環的生成元,或給齣其次數的上界。
评分書質量不錯,字體比較小,Mumford主頁上自己做瞭個掃描版,質量不錯。
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评分不變量, 有著永恒的魅力, 人類永恒的追尋.
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