　　《現代數學基礎：索伯列夫空間》作為一本研究生教材或參考書，較係統地介紹瞭各嚮同性的整指數（整數階）索伯列夫（Sobolev）空間，實指數（分數階）Sobolev空間，關於x與t異性的Sobolev空間，Morrey空間、Campanato空間和BMO空間。書中內容深入淺齣，文字通俗易懂，並配有適量難易兼顧的習題。《現代數學基礎：索伯列夫空間》可作為微分方程、動力係統、泛函分析、計算數學與相關理工科專業研究生的教材和教學參考書，亦可作為數學、工程等領域的青年教師和科研人員的參考書。

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前言
第一章預備知識
1.1 若乾記號
1.2 幾個初等不等式
1.3 空間Lρ（Ω）
1.3.1 幾個常用不等式
1.3.2 完備性，Lρ（Ω）與L∞（Ω）之間的關係
1.3.3 整體連續性
1.3.4 可分性、一緻凸性與自反性
1.4 H61der空間
1.5 磨光
1.6 空間Lρ（Ω）的緊性
1.7 截斷與分解
1.8 弱導數
習題
第二章各嚮同性的整指數S0bolev空間
2.1 定義和初等性質
2.2 逼近
2.2.1 用光滑函數局部逼近
2.2.2 用光滑函數整體逼近
2.2.3 用整體光滑函數逼近
2.3 延拓
2.4 邊界跡和跡定理
2.5 空間W1ρ（Ω）的基本性質
2.5.1 復閤函數的性質
2.5.2 水平函數的性質
2.5.3 差商和空間W1ρ（Ω）
2.5.4 Lipschitz函數和空間W1∞（Ω）
2.6 sobolev不等式和Morrey不等式
2.6.1 Sobolev不等式
2.6.2 Morrey不等式
2.6.3 Morrey空間，Riesz位勢與H61del，連續函數
2.7 空間Wkp（Ω）中的嵌入定理
2.8 空間Wkp（Ω）中的緊嵌入定理
2.9 Poincar6不等式
2.10 跡定理（續）
2.11 內插不等式，Wkp（Ω）中的等價範數
2.12 空間H-1（Ω）的刻畫
2.13 嵌人定理的補充和反例
2.13.1 集閤的光滑性
2.13.2 一般開集情形的嵌入定理
2.13.3 反例
2.14 作為Banactl代數的空間□
2.15 關於嵌入常數的補充
習題
……
第三章各嚮同性的實指數S0bolev空間
第四章 Morrey空間，Campanat0空間和BM0空間
第五章關於z與t異性的S0bolev空間
附錄實變函數與泛函分析中的一些基本結論
參考文獻
索引

前言/序言

　　作為一本研究生教材或教學參考書，本書較係統地介紹瞭各嚮同性的整指數（整數階）索伯列夫（Sobolev）空間，實指數（分數階）Sobolev空間，關於x與t異性的Sobolev空間，Morrey空間、Campanato空間和BMO空間。
　　Sobolev空間是由多個實變量弱可微函數組成的一些特殊可積空間的統稱，它們都是Banach空間，雖然這些空間的原型早已齣現，但對其進行係統研究並使之成為一套理論，是20世紀30年代初由蘇聯數學傢S.L.Sobolev完成的。Sobolev空間理論不但是一個非常有趣的數學分支，其重要性是它在其他數學分支中的應用。它不僅是偏微分方程近代理論的基礎，也是與分析學相關的其他數學分支的重要基礎和必備工具，是與分析學相關的各研究方嚮的研究生必修課，
　　所謂Sobolev空間理論，就是研究這些函數空間的基本性質：自反性、可分性、稠密性（逼近）、延拓、嵌入定理、內插不等式和邊界跡（跡定理），而嵌入定理則是其核心內容，
　　本書的定位是為研究生和青年學者提供一本Sobolev空間理論的基礎教材和參考書，力求用較短的篇幅，集中介紹那些業已證明的最常用而又最重要的內容。由於偏微分方程是推動Sobolev空間理論發展的主要動力，本書的選材側重於在偏微分方程的研究中應用較多的內容。Sobolev空間有許多重要的推廣，除瞭第四章的Morrey空間、Campanato空間和BMO空間之外，本書沒有涉及Sobolev空間的其他推廣，如Lions的跡空間、Besov空間、Orlicz空間、Orlicz-Sobolev空間、BV空間、Lorentz空間等。有興趣的讀者可以參見R。A。Adams的專著及R.A.Adams和J.J.F.Fournier的專著。
　　本書的第一章是預備知識。首先介紹若乾記號和幾個重要的初等不等式。由於Lp空間和Holder空間是兩個最簡單和最基本的Sobolev空間，也是建立其他類型的Sobolev空間的基礎，所以在1.3節和1.4節，我們復述這兩個空間的基本性質。Sobolev空間中許多重要性質（估計，不等式等）的推導，大多都是先針對“陛質較好”的函數（光滑函數），而後利用逼近（稠密性）過渡到原來的函數，因而逼近是Sobolev空間研究中的一個常用方法，把一個函數磨光，是用光滑函數逼近一般可積函數的有效途徑，本章的1.5節介紹磨光函數及其性質。截斷方法是把問題局部化的一個重要手段，它既能有效地保留原問題的局部性質，又能避免鄰域外各種因素的影響，把問題局部化以後，往往還需要把局部結果整閤以得到整體結果，而單位分解就是整閤局部到整體的一個重要方法。在第1.7節，我們介紹截斷與單位分解。Sobolev空間中齣現的導數幾乎都是弱導數，這是一種介於古典導數與廣義導數之間的一種導數，也是古典導數的推廣。在本章的最後一節，我們介紹弱導數及其基本性質。
　　第二章是各嚮同性的整指數（整數階）Sobolev空間，這是Sobolev空間理論的最基本部分，學完本章，讀者就可以瞭解該理論的基本思想和方法。為瞭便於講授和學習，在不影響其基本思想的前提下，我們隻對“適當好”的開集的情況（邊界有適當的光滑性，有時還要求是有界的，甚至要求是有界區域），給齣每個定理的嚴格證明。對於一般情況以及嵌入定理的反例，單獨作為一節，隻列齣主要結果而省略瞭證明過程。
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