所有人在日常生活中都會接觸到數學問題，多數人卻又對之心存畏懼。在這本極為易讀又充滿趣味的小書中，蒂莫西·高爾斯解釋瞭高等數學與我們在中小學所學的數學知識之間的一些*為根本的、主要是哲學性的區彆，讓我們能更好地理解那些聽起來帶有悖論的概念，比如“無限”“彎麯空間”“虛數”等。從基本的觀念，到哲學探究，再到與數學共同體相關的一般社會學問題，本書揭開瞭空間和數的神秘麵紗之一角。

作者簡介

蒂莫西·高爾斯　劍橋大學勞斯·鮑爾數學教授，“數學界諾貝爾奬”——菲爾茨奬獲得者，該奬專門授給“年輕數學傢所作的*為大膽、*為深入、*有啓示性的研究”。

精彩書評

這一本篇幅不大的書顯得齣類拔萃，應該說為現有眾多的數學科普讀物提供瞭一個楷模。能夠做到這一點，而且做得如此齣色，不言而喻，歸根結底是和作者深厚的數學功力、對數學內涵及其精神實質的深刻理解和把握分不開的。
——中國科學院院士、復旦大學數學教授李大潛

（本書是）通嚮數之美和神秘的極為清晰的嚮導。
——吉爾伯特·阿代爾

精彩書摘

前言

20世紀初，偉大的數學傢大衛·希爾伯特發現，有很多數學中的重要論點在結構上十分類似。他意識到，在適當的廣義範疇下，這些論點事實上可以視為等同。與此類似的一係列發現為一個嶄新的數學分支開啓瞭大門。而這一新領域中的一個核心概念——希爾伯特空間——正是以希爾伯特的名字來命名的，這一概念使許許多多的現代數學研究變得清晰，範圍之廣包括瞭從數論直到量子力學各個分支，以至於如果你對希爾伯特空間的基本理論一無所知，你就根本不能算是一名受過良好教育的數學傢。
那麼，什麼是希爾伯特空間呢？在典型的高校數學課程中，它被定義為“完備的內積空間”。修讀這樣一門課程的學生，理應從先修課程中瞭解到，所謂“內積空間”是指配備瞭內積的嚮量空間，而所謂“完備”是指空間中任意柯西列都收斂。當然，要想理解這樣的定義，學生還必須知道“嚮量空間”、“內積”、“柯西列”和“收斂”的定義。就拿其中一個舉例來說（這還並不是最長的一個）：序列x1，x2，x3，…若滿足對於任意正數ε，總存在整數N，使得對於任意大於N的整數p和q，xp與xq間的距離不大於ε，則稱這個序列為柯西列。
簡言之，如果你希望瞭解希爾伯特空間是什麼，你就必須首先學習並且消化一係列由低到高、等級分明的較低級概念。毫無疑問這需要耗費時間和精力。對於許多最重要的數學思想來說都是這樣。有鑒於此，要寫一本書提供對數學的簡單易懂的介紹，其所能達到的目標就極為有限，更何況這本書還需要寫得很短。
我沒有選擇用更聰明的辦法繞著這個難題走，而是集中關注數學交流中另一重完全不同的障礙。這重障礙並非技術性的，而更多屬於哲學性質的。它區分開瞭兩種人：一種人樂於接受諸如無窮大、負一的平方根、第二十六維和彎麯空間這樣的概念，另一類人則覺得這些概念荒誕不經。其實無須沉浸在技術細節中，依然有可能坦然接受這些思想，我將努力錶明如何做到這一點。
如果說這本書要嚮你傳達什麼信息的話，那就是——我們應當學習抽象地思考，因為通過抽象地思考，許多哲學上的睏難就能輕易地消除。在第二章裏，我將詳細說明什麼是抽象的方法。第一章中則考慮我們更熟悉、與日常更相關的抽象：從現實世界的問題中提取核心特徵，從而將其轉化為數學問題的過程。第三章中我將討論什麼叫作“嚴格的證明”。這前三章是關於一般性的數學的。
之後我將討論一些更加具體的課題。最後一章與其說是關於數學的，不如說是關於數學傢的，因此會跟前幾章有些不同。我建議你在讀過第二章後再閱讀後續章節。除此以外，這本書已經盡量做到不受先後順序影響——在任何章節中，我並沒有假定讀者已經理解並記住瞭先前的內容。
讀這本書並不需要太多的預備知識，英國GCSE課程或同等水平即可。不過我假定讀者具有一些興趣，而不是需要靠我去大力宣揚。因此，我在書中沒有用到趣聞軼事、漫畫、驚嘆號、搞笑的章節標題或者曼德布羅特集閤的圖片。我同樣避免瞭混沌理論、哥德爾定理等內容：與它們在當前數學研究中的實際影響相比，這些內容在公眾的想象中所占的比例已經過大，而且其他圖書已經充分地闡釋瞭這些內容。我所選擇的內容都是很普通的，詳細地去討論，以說明怎樣通過一種更深刻的方式來理解它們。換言之，我的目標在深不在廣，在於嚮讀者傳達主流數學的魅力，讓讀者體會到它的不言而喻。
感謝剋雷數學研究所和普林斯頓大學在我寫作此書期間對我的支持和熱情接待。感謝吉爾伯特·阿代爾、麗貝卡·高爾斯、埃米莉·高爾斯、帕特裏剋·高爾斯、喬書亞·卡茨和埃德濛·托馬斯閱讀瞭本書的初稿。他們非常聰明，知識豐富，實在不能算作普通讀者，不過還是能夠讓我放心，至少某些非數學專傢是能夠讀懂我的作品的。基於他們對此書的評論，我作齣瞭許多改進。我把這本書獻給埃米莉，希望她能夠藉此瞭解一點點我整天都在做的是些什麼事情。
　
第八章常見問題

1. 數學傢在30歲以後就不比當年瞭，這是真的嗎？

這種傳說影響頗為廣泛，正由於人們誤解瞭數學能力的本質，纔使得它很有吸引力。人們總喜歡把數學傢看作極具天資的人，並認為天資這種東西有些人生來就有，其他人則絕難獲得。
其實，年齡與數學成果間的關係對不同人來說差彆很大。的確有一部分數學傢在20來歲的時候做齣瞭他們最傑齣的工作，但絕大多數人都認為，他們的知識水平和專業素質終其一生都在穩健地提高，在許多年裏，這種專業水平的增長都能夠彌補“原生”腦力的任何衰退（如果確實有“原生”腦力這迴事的話）。確實數學傢在年逾40歲之後就少有重要的突破性進展瞭，但這也很有可能是社會學方麵的原因。到瞭40歲時，如果有人還有能力做齣突破性的工作，那麼他極有可能早已因之前的工作聞名遐邇，因而有可能也不像未成名的年輕數學傢那樣具有奮鬥精神。不過還是有很多反例的，有很多數學傢在退休之後熱情不減，還繼續在數學領域工作。
一般來講，人們通常所想象的數學傢的形象——可能很聰明，但有點古怪，穿著邋遢，毫無性欲，比較孤僻——的確不是一種討喜的形象。有一部分數學傢在一定程度上的確符閤這種形象，但如果你認為不這樣就做不好數學，這種想法可就太蠢瞭。實際上，如果所有其他條件都相同的話，可能你還要比這些怪數學傢更勝一籌。一開始學習數學的所有學生中，最後成為專職研究人員的比例極小，更多的人在早期階段便離開瞭數學，比如失去興趣、沒有申請到讀博機會，或者得到瞭博士學位但沒有獲得教職。在我看來（實際上不僅隻有我這麼想），對最終通過瞭這層層考驗的人來說，那些“怪人”所占的比例比占一開始學習數學的學生的比例要小。
對數學傢這樣的負麵刻畫可能殺傷力很大，嚇走許多本來可能喜歡並且擅長這一領域的人，但是“天纔”這個詞則更加惡毒，殺傷力更大。這裏有一個現成的對“天纔”的大緻定義：對於彆人必須經過多年實踐都未必能夠掌握的事情，天纔就是那些在少年時期就能夠輕易做好這些事的人。天纔的成就有著魔法般的特質，就好像他們的大腦並不隻是比我們更有效率，而是運轉方式完全不同。劍橋大學每年都會有一兩個數學係本科生，他們經常在數分鍾之內就能解決的問題，大多數人——包括應該能夠教他們的人——往往需要花上幾個小時以上。遇到這種人的時候，我們隻能退避三捨、頂禮膜拜。
然而，這些超乎尋常的人並不總是最成功的數學研究者。如果你想要解決某個問題，而之前嘗試過的數學傢都以失敗告終，那麼你需要具備種種素質，在這其中天賦（如我所定義的那樣）既不是必要的也不是充分的。我們可以通過一個極端一點的例子來說明這一點。安德魯·懷爾斯（在剛到40歲的時候）證明瞭費馬大定理（即對任意正整數x,y,z及大於2的正整數n，xn+yn不可能等於zn），解決瞭世界上最著名的數學難題。毫無疑問他很聰明，但他並不是我所說的天纔。
你可能會問，如果沒有某種神秘的超常腦力，他還可能完成這一切嗎？迴答是，盡管他的成就非常卓著，但也沒有卓越到無法解釋的程度。我並不瞭解究竟是什麼因素促使他成功的，但他肯定需要非凡的勇氣、堅定和耐心，對他人完成的艱難工作的廣泛瞭解，在正確時間專攻正確領域的運氣，以及傑齣的戰略性眼光。
上麵所說的最後一條素質，從根本上要比驚人的大腦運轉速度更加重要。數學中絕大多數影響深遠的貢獻是由“烏龜”們而不是“兔子”們做齣的。隨著數學傢的成長，他們都會逐漸學會這個行當裏的各種把戲，部分來自於其他數學傢的工作，部分來自於自己對這個問題長時間的思考。是否能將他們的專長用於解決極其睏難的問題，則在很大程度上決定於細緻的規劃：選取一些可能會結齣豐碩成果的問題，知道什麼時候應該放棄一條思路（相當睏難的判斷），能夠先勾勒齣論證問題的大框架繼而再時不時地嚮裏麵填充細節。這就需要對數學有相當成熟的把握，這絕不與天賦相矛盾，但也並不總是會伴隨著天賦。

2. 為什麼女性數學傢很少見？

真想迴避這個問題，因為迴答這個問題很容易冒犯彆人。但是，在全世界各地的數學係所中，即便是在今日，女性所占比例仍然很小；這是一個值得注意的現象，也是數學生活中的一個重要事實，我被迫感到不得不說點什麼，盡管我所要說的也無非是對此感到不解和遺憾。
值得強調的一點是，數學傢中女性較少隻不過是一種統計現象：確實有十分優秀的女性數學傢，與男性同行一樣，她們錶現優秀的方式也多種多樣，有時也包括擁有天賦。沒有任何跡象錶明，女性在數學中所能達到的成就會有上限。我們有時會讀到，在特定的智力測試中——比如說視覺空間能力，男性錶現得更優秀，有人認為這解釋瞭他們主導著數學領域的原因。然而，這樣的論據不足以令人信服，因為視覺空間能力能夠通過練習來增強，而且盡管它有時對數學傢有幫助，卻並非不可或缺。
更可信的一種理由是社會方麵的因素：當男孩子為數學能力感到驕傲時，可以想象某個女孩子可能會為自己擅長這項不那麼女性化的事務而感到窘迫。而且，有數學天賦的女孩子所能夠效仿的榜樣很少，她們隻能靠自我保持、自我強化。一項社會因素可能會在之後發揮更大的作用：比起其他學科來，前言

20世紀初，偉大的數學傢大衛·希爾伯特發現，有很多數學中的重要論點在結構上十分類似。他意識到，在適當的廣義範疇下，這些論點事實上可以視為等同。與此類似的一係列發現為一個嶄新的數學分支開啓瞭大門。而這一新領域中的一個核心概念——希爾伯特空間——正是以希爾伯特的名字來命名的，這一概念使許許多多的現代數學研究變得清晰，範圍之廣包括瞭從數論直到量子力學各個分支，以至於如果你對希爾伯特空間的基本理論一無所知，你就根本不能算是一名受過良好教育的數學傢。
那麼，什麼是希爾伯特空間呢？在典型的高校數學課程中，它被定義為“完備的內積空間”。修讀這樣一門課程的學生，理應從先修課程中瞭解到，所謂“內積空間”是指配備瞭內積的嚮量空間，而所謂“完備”是指空間中任意柯西列都收斂。當然，要想理解這樣的定義，學生還必須知道“嚮量空間”、“內積”、“柯西列”和“收斂”的定義。就拿其中一個舉例來說（這還並不是最長的一個）：序列x1，x2，x3，…若滿足對於任意正數ε，總存在整數N，使得對於任意大於N的整數p和q，xp與xq間的距離不大於ε，則稱這個序列為柯西列。
簡言之，如果你希望瞭解希爾伯特空間是什麼，你就必須首先學習並且消化一係列由低到高、等級分明的較低級概念。毫無疑問這需要耗費時間和精力。對於許多最重要的數學思想來說都是這樣。有鑒於此，要寫一本書提供對數學的簡單易懂的介紹，其所能達到的目標就極為有限，更何況這本書還需要寫得很短。
我沒有選擇用更聰明的辦法繞著這個難題走，而是集中關注數學交流中另一重完全不同的障礙。這重障礙並非技術性的，而更多屬於哲學性質的。它區分開瞭兩種人：一種人樂於接受諸如無窮大、負一的平方根、第二十六維和彎麯空間這樣的概念，另一類人則覺得這些概念荒誕不經。其實無須沉浸在技術細節中，依然有可能坦然接受這些思想，我將努力錶明如何做到這一點。
如果說這本書要嚮你傳達什麼信息的話，那就是——我們應當學習抽象地思考，因為通過抽象地思考，許多哲學上的睏難就能輕易地消除。在第二章裏，我將詳細說明什麼是抽象的方法。第一章中則考慮我們更熟悉、與日常更相關的抽象：從現實世界的問題中提取核心特徵，從而將其轉化為數學問題的過程。第三章中我將討論什麼叫作“嚴格的證明”。這前三章是關於一般性的數學的。
之後我將討論一些更加具體的課題。最後一章與其說是關於數學的，不如說是關於數學傢的，因此會跟前幾章有些不同。我建議你在讀過第二章後再閱讀後續章節。除此以外，這本書已經盡量做到不受先後順序影響——在任何章節中，我並沒有假定讀者已經理解並記住瞭先前的內容。
讀這本書並不需要太多的預備知識，英國GCSE課程或同等水平即可。不過我假定讀者具有一些興趣，而不是需要靠我去大力宣揚。因此，我在書中沒有用到趣聞軼事、漫畫、驚嘆號、搞笑的章節標題或者曼德布羅特集閤的圖片。我同樣避免瞭混沌理論、哥德爾定理等內容：與它們在當前數學研究中的實際影響相比，這些內容在公眾的想象中所占的比例已經過大，而且其他圖書已經充分地闡釋瞭這些內容。我所選擇的內容都是很普通的，詳細地去討論，以說明怎樣通過一種更深刻的方式來理解它們。換言之，我的目標在深不在廣，在於嚮讀者傳達主流數學的魅力，讓讀者體會到它的不言而喻。
感謝剋雷數學研究所和普林斯頓大學在我寫作此書期間對我的支持和熱情接待。感謝吉爾伯特·阿代爾、麗貝卡·高爾斯、埃米莉·高爾斯、帕特裏剋·高爾斯、喬書亞·卡茨和埃德濛·托馬斯閱讀瞭本書的初稿。他們非常聰明，知識豐富，實在不能算作普通讀者，不過還是能夠讓我放心，至少某些非數學專傢是能夠讀懂我的作品的。基於他們對此書的評論，我作齣瞭許多改進。我把這本書獻給埃米莉，希望她能夠藉此瞭解一點點我整天都在做的是些什麼事情。
　
第八章常見問題

1. 數學傢在30歲以後就不比當年瞭，這是真的嗎？

這種傳說影響頗為廣泛，正由於人們誤解瞭數學能力的本質，纔使得它很有吸引力。人們總喜歡把數學傢看作極具天資的人，並認為天資這種東西有些人生來就有，其他人則絕難獲得。
其實，年齡與數學成果間的關係對不同人來說差彆很大。的確有一部分數學傢在20來歲的時候做齣瞭他們最傑齣的工作，但絕大多數人都認為，他們的知識水平和專業素質終其一生都在穩健地提高，在許多年裏，這種專業水平的增長都能夠彌補“原生”腦力的任何衰退（如果確實有“原生”腦力這迴事的話）。確實數學傢在年逾40歲之後就少有重要的突破性進展瞭，但這也很有可能是社會學方麵的原因。到瞭40歲時，如果有人還有能力做齣突破性的工作，那麼他極有可能早已因之前的工作聞名遐邇，因而有可能也不像未成名的年輕數學傢那樣具有奮鬥精神。不過還是有很多反例的，有很多數學傢在退休之後熱情不減，還繼續在數學領域工作。
一般來講，人們通常所想象的數學傢的形象——可能很聰明，但有點古怪，穿著邋遢，毫無性欲，比較孤僻——的確不是一種討喜的形象。有一部分數學傢在一定程度上的確符閤這種形象，但如果你認為不這樣就做不好數學，這種想法可就太蠢瞭。實際上，如果所有其他條件都相同的話，可能你還要比這些怪數學傢更勝一籌。一開始學習數學的所有學生中，最後成為專職研究人員的比例極小，更多的人在早期階段便離開瞭數學，比如失去興趣、沒有申請到讀博機會，或者得到瞭博士學位但沒有獲得教職。在我看來（實際上不僅隻有我這麼想），對最終通過瞭這層層考驗的人來說，那些“怪人”所占的比例比占一開始學習數學的學生的比例要小。
對數學傢這樣的負麵刻畫可能殺傷力很大，嚇走許多本來可能喜歡並且擅長這一領域的人，但是“天纔”這個詞則更加惡毒，殺傷力更大。這裏有一個現成的對“天纔”的大緻定義：對於彆人必須經過多年實踐都未必能夠掌握的事情，天纔就是那些在少年時期就能夠輕易做好這些事的人。天纔的成就有著魔法般的特質，就好像他們的大腦並不隻是比我們更有效率，而是運轉方式完全不同。劍橋大學每年都會有一兩個數學係本科生，他們經常在數分鍾之內就能解決的問題，大多數人——包括應該能夠教他們的人——往往需要花上幾個小時以上。遇到這種人的時候，我們隻能退避三捨、頂禮膜拜。
然而，這些超乎尋常的人並不總是最成功的數學研究者。如果你想要解決某個問題，而之前嘗試過的數學傢都以失敗告終，那麼你需要具備種種素質，在這其中天賦（如我所定義的那樣）既不是必要的也不是充分的。我們可以通過一個極端一點的例子來說明這一點。安德魯·懷爾斯（在剛到40歲的時候）證明瞭費馬大定理（即對任意正整數x,y,z及大於2的正整數n，xn+yn不可能等於zn），解決瞭世界上最著名的數學難題。毫無疑問他很聰明，但他並不是我所說的天纔。
你可能會問，如果沒有某種神秘的超常腦力，他還可能完成這一切嗎？迴答是，盡管他的成就非常卓著，但也沒有卓越到無法解釋的程度。我並不瞭解究竟是什麼因素促使他成功的，但他肯定需要非凡的勇氣、堅定和耐心，對他人完成的艱難工作的廣泛瞭解，在正確時間專攻正確領域的運氣，以及傑齣的戰略性眼光。
上麵所說的最後一條素質，從根本上要比驚人的大腦運轉速度更加重要。數學中絕大多數影響深遠的貢獻是由“烏龜”們而不是“兔子”們做齣的。隨著數學傢的成長，他們都會逐漸學會這個行當裏的各種把戲，部分來自於其他數學傢的工作，部分來自於自己對這個問題長時間的思考。是否能將他們的專長用於解決極其睏難的問題，則在很大程度上決定於細緻的規劃：選取一些可能會結齣豐碩成果的問題，知道什麼時候應該放棄一條思路（相當睏難的判斷），能夠先勾勒齣論證問題的大框架繼而再時不時地嚮裏麵填充細節。這就需要對數學有相當成熟的把握，這絕不與天賦相矛盾，但也並不總是會伴隨著天賦。

2. 為什麼女性數學傢很少見？

真想迴避這個問題，因為迴答這個問題很容易冒犯彆人。但是，在全世界各地的數學係所中，即便是在今日，女性所占比例仍然很小；這是一個值得注意的現象，也是數學生活中的一個重要事實，我被迫感到不得不說點什麼，盡管我所要說的也無非是對此感到不解和遺憾。
值得強調的一點是，數學傢中女性較少隻不過是一種統計現象：確實有十分優秀的女性數學傢，與男性同行一樣，她們錶現優秀的方式也多種多樣，有時也包括擁有天賦。沒有任何跡象錶明，女性在數學中所能達到的成就會有上限。我們有時會讀到，在特定的智力測試中——比如說視覺空間能力，男性錶現得更優秀，有人認為這解釋瞭他們主導著數學領域的原因。然而，這樣的論據不足以令人信服，因為視覺空間能力能夠通過練習來增強，而且盡管它有時對數學傢有幫助，卻並非不可或缺。
更可信的一種理由是社會方麵的因素：當男孩子為數學能力感到驕傲時，可以想象某個女孩子可能會為自己擅長這項不那麼女性化的事務而感到窘迫。而且，有數學天賦的女孩子所能夠效仿的榜樣很少，她們隻能靠自我保持、自我強化。一項社會因素可能會在之後發揮更大的作用：比起其他學科來，數學需要一個人更加專注，這雖然不是不可能，但也很難與女性的母親身份相結閤。小說傢坎迪亞·麥剋威廉曾經說，她的每個孩子都使她少寫瞭兩本書，不過在幾年未動筆之後，她至少還能夠重新寫小說。但如果你幾年沒有做數學，你就失去瞭數學的習慣，很難再重拾瞭。
有人認為，女性數學傢發展起自己事業的時間往往晚於男性同行，而數學傢的職業結構傾嚮於迴報早期成就，這就使得女性處於一種不利的地位。最傑齣的一些女性數學傢的人生故事支持瞭這種說法。不過她們發展自己職業生涯較晚的原因，基本上都是上麵所說的社會原因，而且也有許多這方麵的例外。
不過，這些解釋看起來都不夠充分。我在此不再深入探討瞭。我還能做的就是告訴大傢，關於這方麵已經齣瞭幾本書（參見“延伸閱讀”）。最後再加上一點評論：這樣的情況是在不斷進步的。數學傢中女性所占的比例近年來在穩步提高，而且隨著社會大環境的不斷改變，這樣的現象一定還會持續下去。

3. 數學與音樂息息相通嗎？

盡管有很多數學傢完全不瞭解音樂，也很少有音樂傢對數學感興趣，但一直有一種民間觀念認為這兩個領域是相關聯的。其結果就是，當我們聽說某位數學傢鋼琴彈得很好，或者愛好作麯，或者喜歡聽巴赫，沒有人會對此感到驚奇。牛津通識讀本：數學 [Mathematics: A Very Short Introduction] 下載 mobi epub pdf txt 電子書

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