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內容簡介

　　《微分方程數值方法（第2版）》為普通高等教育“十一五”國傢級規劃教材，分為常微分方程的數值解法、偏微分方程的差分方法和有限元方法三部分，共8章。內容包括常微分方程初值問題、橢圓型方程、離散方程的數值解法、拋物型方程、雙麯型方程、邊值問題的變分原理與廣義解、有限元方法的基本過程及其進一步的討論。
　　《微分方程數值方法（第2版）》在不太高的起點上循序漸進，通過一些典型有效的方法闡明構造數值方法的基本思想，盡可能敘述必要的基本概念。每章都有習題和小結，書末附有部分習題答案及提示，宜於教學和自學。
　　《微分方程數值方法（第2版）》既可作為理工科本科生或研究生的教材，也可作為從事科學與工程計算的有關人員自學與進修的參考書。

內頁插圖

目錄

第一部分 常微分方程的數值解法
第1章 常微分方程初值問題
1．1 基本概念Euler法與梯形法
1．1．1 Euler法
1．1．2 梯形法
1．2 Runge-Kutta方法及一般單步方法
1．2．1 RK方法的構造
1．2．2 單步方法的相容性與收斂性
1．2．3 單步方法整體截斷誤差漸近展開及其應用
1．3 綫性多步方法
1．3．1 綫性多步方法的構造
1．3．2 綫性多步方法的應用
1．4 綫性差分方程的基本知識
1．4．1 一般性質
1．4．2 常係數齊次差分方程的基本解組
1．4．3 常係數差分方程解的漸近性質
1．5 一般多步方法的收斂性
1．5．1 多步方法的收斂性
1．5．2 綫性多步方法情形的進一步結果
1．6 數值穩定性
1．6．1 綫性多步方法的絕對穩定性
1．6．2 絕對穩定區間的確定
1．6．3 Runge-Kutta方法的絕對穩定性
1．7 一階方程組與剛性問題
1．7．1 一階方程組
1．7．2 剛性問題
本章小結與補充討論
習題

第二部分 偏微分方程的差分方法
第2章 橢圓型方程
2．1 兩點邊值問題的差分格式
2．1．1 用差商代替導數的方法
2．1．2 積分插值法
2．1．3 邊界條件的處理
2．2 二階橢圓型方程邊值問題的差分格式
2．2．1 區域的矩形網格剖分
2．2．2 矩形區域上的差分格式
2．2．3 矩形區域上邊界條件的處理
2．2．4 非矩形區域上的差分格式與邊界條件的處理
2．3 用積分插值法構造差分格式
2．3．1 偏微分方程的積分形式
2．3．2 用積分插值法構造內點的差分格式
2．3．3 用積分插值法構造邊界點的差分格式
2．4 極值原理與差分格式的收斂性
2．4．1 綫性橢圓型差分方程的一般形式
2．4．2 極值原理及差分格式之解的先驗估計
2．4．3 五點格式的穩定性與收斂性
2．5 能量估計與差分格式的收斂性
2．5．1 記號，若乾差分公式與不等式
2．5．2 差分算子的特徵值與特徵函數
2．5．3 兩點邊值問題差分格式之解的先驗估計與收斂性
2．5．4 二階橢圓型方程邊值問題差分格式之解的先驗估計及收斂性
本章小結與補充討論
習題
第3章 離散方程的數值解法
3．1 交替方嚮迭代法
3．1．1 模型問題
3．1．2 Peaeeman-Rachford迭代格式
3．1．3 PR迭代格式中迭代參數的選擇
3．1．4 其他交替方嚮迭代格式
3．2 預處理共軛梯度法
3．2．1 共軛梯度法的主要步驟與性質
3．2．2 預處理共軛梯度法的步驟及預優矩陣的構造
3．3 多重網格法
3．3．1 一維模型問題與古典迭代的光滑效應
3．3．2 二重網格法
3．3．3 多重網格法
本章小結與補充討論
習題
第4章 拋物型方程
4．1 一維拋物型方程初邊值問題的差分格式
4．1．1 常係數熱傳導方程的古典格式
4．1．2 變係數方程的差分格式
4．2 差分格式的穩定性與收斂性
4．2．1 差分格式的穩定性
4．2．2 差分格式的相容性與收斂性
4．3 穩定性研究中的矩陣方法
4．3．1 矩陣方法的一般討論
4．3．2 常係數熱傳導方程古典格式的穩定性
4．4 穩定性研究中的分離變量法
4．4．1 分離變量法的一般討論
4．4．2 對多個空間變量情形的應用
4．4．3 對三層格式的應用
4．5 差分格式的單側逼近性質及其應用
4．6 交替方嚮隱格式及相關的格式
4．6．1 PR格式
4．6．2 Douglas格式
4．6．3 非齊次邊界條件情形下過渡層邊值的取法
4．6．4 局部一維格式與預測-校正格式
本章小結與補充討論
習題
第5章 雙麯型方程
5．1 一階綫性雙麯型方程的差分格式
5．1．1 一階常係數方程初值問題
5．1．2 一階常係數方程初邊值問題
5．1．3 一階變係數方程的差分格式
5．2 一階常係數綫性雙麯型方程組的差分格式
5．3 二階綫性雙麯型方程的差分格式
5．3．1 一維常係數波動方程
5．3．2 一維變係數波動方程
5．3．3 二維波動方程
水5．4 交替方嚮隱格式
本章小結與補充討論
習題

第三部分 偏微分方程的有限元方法
第6章 邊值問題的變分原理與廣義解
6．1 古典變分法的一些概念
6．1．1 泛函的極值與Eulcr方程
6．1．2 自然邊界條件
6．1．3 多個自變量的情形
6．1．4 自然邊界條件（續）
6．2 邊值問題的變分原理
6．2．1 邊值問題與最小位能原理
6．2．2 虛功原理
6．2．3 邊值問題與變分問題的關係
6．2．4 內邊界條件
6．3 Sobolev空間與邊值問題的廣義解
6．3．1 廣義導數
6．3．2 Sobolev空間和邊值問題的廣義解
6．3．3 廣義解的存在性和唯一性
6．4 變分近似法
6．4．1 Ritz方法
6．4．2 Galerkin方法
6．4．3 投影定理
本章小結與補充討論
習題
第7章 有限元方法的基本過程
7．1 兩點邊值問題的有限元方法
7．1．1 用Ritz方法建立有限元方程
7．1．2 用Galerkin方法建立有限元方程
7．2 二維邊值問題的有限元方法
7．2．1 三角剖分與分片插值
7．2．2 單元分析與總體閤成
7．2．3 積分的計算
7．2．4 本質邊界條件的處理
7．2．5 有限元方程的求解
7．2．6 有限元方法的一般過程
本章小結與補充討論
習題
第8章 有限元方法的幾個問題
8．1 形狀函數與有限元空間
8．1．1 引言
8．1．2 一維高次元的形狀函數
8．1．3 一維Hcrmite型的形狀函數
8．1．4 二維矩形單元的形狀函數
8．1．5 二維三角形單元的形狀函數
8．1．6 等參數單元
8．1．7 三維情形
8．1．8 單元形狀函數小結
8．2 收斂性與誤差估計
8．2．1 引言
8．2．2 Sobolev空間中的插值理論
8．2．3 有限元方法的收斂性與誤差估計
8．3 拋物型方程的有限元方法
8．3．1 引言
8．3．2 綫性拋物型方程的廣義解
8．3．3 半離散的有限元方程
8．3．4 全離散的有限元方程
本章小結與補充討論
習題

部分習題答案及提示
參考文獻
附錄

前言/序言

　　本書第一版自1999年初問世以來已經過去八年瞭，在此期間，我國的高等教育得到前所未有的巨大發展，高等學校的專業設置和培養目標也作瞭很大調整，除瞭數學類的專業，很多理工類專業在本科或者研究生階段都開設瞭微分方程數值解法方麵的課程。因此，在本書被列入普通高等教育“十一五”國傢級規劃教材目錄後，為適應廣大的讀者麵，在修訂過程中仍然設法保持原先的風格，在不太高的起點上循序漸進，介紹實用的數值方法，
　　根據本書第一版的使用情況，修訂中首先刪除瞭一些過於繁雜的內容，如對流擴散問題的特徵差分法、變係數拋物型方程差分格式的能量方法等；某些部分則在章節標題前加瞭星號，錶示不是最基本的內容，其次，對微分方程離散後所建立的代數方程組，為強調一些當代數值求解方法的重要性，將有關內容單獨列成一章，以引起讀者注意。此外，還修改瞭部分習題，使不同難度的習題都有適當的數量；在書末新增瞭習題答案及提示，以便於自學；修訂瞭文字，使之更為通順易讀；更新瞭參考文獻，使讀者瞭解最新的齣版物，全書仍然分為三部分，每一部分保持相對的獨立性。因此，本書可以作為一門課程或者多門課程的教材使用。
　　本書問世以來，廣大的讀者通過各種途徑嚮我們提齣瞭很多意見和建議。雖然這次修訂中作者做瞭仔細校閱和檢查，但仍然會有缺點甚至錯誤，希望讀者能對本書提齣批評和意見，我們將感激不盡，科學齣版社的編輯對本書的齣版給予瞭積極的支持，孫文昌教授和黃惠茹、廖清清兩位同學為排版付齣瞭辛勤的勞動，謹此嚮他們錶示衷心的感謝。
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