橢圓型偏微分方程/現代數學基礎 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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圖書標籤:

• 偏微分方程
• 橢圓型方程
• 數學分析
• 現代數學
• 函數空間
• 泛函分析
• 變分法
• 數值分析
• PDE
• 應用數學

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040440485

版次：1

商品编码：11842272

包装：平装

出版时间：2015-12-01

用纸：胶版纸

內容簡介

　　本書介紹橢圓方程的基本性質和方法。作者用自己獨特的方法把 De Giorgi-Nash-Moser 迭代、Morrey 估計、逆 Holder 不等式和橢圓組的能量的 blow up 分析係統有機地結閤起來， 並且特彆強調正則性方法的研究。

作者簡介

　　劉憲高，男，1957年1月生。 湖南師大數學係77級本科畢業，1985年湖南大學應用數學係讀碩士、博士，1994年12月復旦大學數學研究所博士後。1997年起在復旦大學數學研究所工作至今。現為復旦大學數學科學學院教授、博士生導師。主要研究領域偏微分方程。

目錄

前輔文
第一章 調和函數
1.1 平均值性質
1.2 基本解
1.3 極值原理
1.4 Perron 方法和正則邊界點
1.5 Wiener 準則
習題1
第二章 極大值原理
2.1 強極值原理
2.2 先驗估計
2.3 梯度估計
2.4 Alexandroff 極值原理
2.5 移動平麵法
習題2
第三章 Lp理論
3.1 插值定理
3.2 有界平均振蕩空間
3.3 Calderón-Zygmund 不等式
3.4 Lp估計
習題3
第四章 Schauder 估計
4.1 H"older 連續
4.2 全局 H"older 連續
習題4
第五章 De Giorgi-Nash-Moser 理論
5.1 De Giorgi 估計
5.2 Moser 估計
習題5
第六章 橢圓型方程組的正則性
6.1 Gehring 定理和逆H"older 不等式
6.2 橢圓型方程組的高次可積性
6.3 變分極小點的正則性
6.4 調和映射的正則性
習題6
參考文獻

《拓撲學基礎與應用》 本書導言： 數學，作為研究量、結構、空間和變化的核心科學，其廣袤的疆域中，拓撲學無疑占據瞭獨特而迷人的地位。它摒棄瞭歐幾裏得幾何中對距離、角度等精確測量的執著，轉而關注物體在連續形變下所保持的內在、本質的屬性。本書旨在為讀者構建一個堅實而全麵的拓撲學知識體係，從最基礎的概念齣發，逐步深入到現代數學的各個前沿領域，揭示拓撲學作為“橡皮泥幾何”的深刻洞察力及其在眾多科學分支中的強大應用。 我們生活在一個充滿幾何直覺的世界，但要精確描述“連接性”、“洞的數量”或“連續映射”這些概念，就需要一種更抽象、更強大的語言——那就是拓撲學。本書的結構設計旨在平衡理論的嚴謹性與概念的直觀性，確保讀者在掌握抽象定義的同時，能夠清晰地把握其幾何意義。 第一部分：基礎拓撲空間與連續性 (Foundations: Topological Spaces and Continuity) 本部分是全書的基石，重點在於建立研究拓撲學的基本框架。 第一章：集閤論的迴顧與預備知識 雖然拓撲學建立在集閤論之上，但我們不會陷入集閤論的繁復細節。本章快速迴顧瞭必要的集閤論概念，如集閤、映射（單射、滿射、雙射）、笛卡爾積以及等價關係。隨後，引入拓撲的定義：一個集閤 $X$ 上的拓撲 $ au$ 是一族包含 $X$ 和空集的子集（稱為開集），滿足特定的開集公理（並集封閉、有限交集封閉）。我們將探討這些公理的幾何含義，例如，開集如何定義瞭空間中的“局部鄰域”。 第二章：拓撲空間的基本結構 在明確瞭開集的定義後，我們引入與開集密切相關的核心概念。 閉集與閉包： 閉集是開集的補集。我們將深入研究閉包 $overline{A}$ 的定義，即包含 $A$ 的最小閉集，並證明 $overline{A} = A cup A'$（$A'$ 為 $A$ 的極限點集）。 鄰域係統： 鄰域的概念是描述局部性質的關鍵。我們定義一個點的鄰域基，並討論如何通過鄰域係統來定義拓撲。 內點、邊界點與外部點： 這些概念精確地描述瞭集閤 $A$ 相對於空間 $X$ 的相對位置，是理解集閤拓撲性質的基礎。 基與相對拓撲： 討論如何使用基（Basis）來更有效地生成拓撲，並引入相對拓撲，這使得研究子空間的內在結構成為可能。 第三章：連續性、同胚與拓撲性質 拓撲學的核心研究對象是那些在連續形變下保持不變的性質。 連續映射： 我們給齣拓撲空間之間連續映射的精確定義（原像下開集的保持性），並將其與初等微積分中的 $epsilon-delta$ 定義進行對比和推廣。 拓撲的等價性： 引入同胚 (Homeomorphism) 的概念，兩個空間如果同胚，則它們在拓撲意義上是相同的。這是拓撲學中“等價”的黃金標準。 拓撲性質的保持： 討論連續映射和同胚如何保持某些性質，例如緊緻性、連通性等。 第二部分：分離公理與特殊拓撲空間 (Separation Axioms and Special Spaces) 並非所有拓撲空間都具有良好的行為。本部分關注那些具有更強“分離”能力的特殊空間。 第四章：分離公理 分離公理是衡量拓撲空間“分離程度”的標尺。 T1, T2 (Hausdorff) 公理： T2 空間（豪斯多夫空間）的定義是任何兩個不同的點都可以被不相交的開集分開。我們證明豪斯多夫空間是研究收斂性和緊緻性的必要前提。 正則性與正常性 (T3, T4 公理)： 進一步討論點與閉集、閉集與閉集之間的分離能力，這些性質在函數空間和度量空間中至關重要。 第五章：緊緻性 (Compactness) 緊緻性是拓撲學中最深刻、應用最廣的概念之一，它是有限性的拓撲推廣。 定義與等價描述： 學習緊緻性的開復蓋定義，並證明在豪斯多夫空間中，緊緻性等價於序列緊緻性。 海涅-博雷爾定理 (Heine-Borel Theorem)： 闡述歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 中子集緊緻性的實用判據。 緊緻空間的性質： 討論緊緻子集上的連續函數的重要性質，例如極值定理。 第六章：連通性 (Connectedness) 連通性描述瞭空間是否可以被分割成不相交的“部分”。 定義與路徑連通性： 區分連通性和路徑連通性。證明在 $mathbb{R}^n$ 中，兩者是等價的。 路徑： 引入路徑的概念，路徑是連續映射 $f: [0, 1] o X$。 連通分量： 探討空間的極大連通子集，即連通分量。 第三部分：構造性拓撲與度量空間 (Constructive Topology and Metric Spaces) 本部分將理論與具體的構造方法和分析工具相結閤。 第七章：積空間與商空間 (Product and Quotient Spaces) 構造新的拓撲空間是拓撲學的基本操作。 積空間 (Product Space)： 定義任意多個拓撲空間（如 $mathbb{R}^2, mathbb{R}^n$）的積拓撲，並探討其開集和連續映射的性質。 商空間 (Quotient Space)： 這是理解“粘閤”空間的關鍵。通過等價關係 $x sim y$ 來“收縮”或“粘閤”空間中的點集，形成新的拓撲空間。我們將用商空間來解釋圓環、球麵等拓撲對象的構造。 第八章：度量空間 (Metric Spaces) 度量空間是拓撲學中“最友好”的一類空間，它們具有一個距離函數 $d(x, y)$。 度量與誘導拓撲： 討論如何通過一個度量來自然地定義一個拓撲結構（由以度量定義的開球構成的基）。 完備性 (Completeness)： 引入柯西序列的概念，並定義完備空間。完備性在分析學中是解決方程解的存在性問題的核心工具。 緊緻性與度量空間： 證明在度量空間中，有界閉集是緊緻的（即 Heine-Borel 定理的推廣）。 第四部分：代數拓撲的初步探索 (Introduction to Algebraic Topology) 代數拓撲是將拓撲問題轉化為代數問題的橋梁，它賦予瞭拓撲學強大的計算能力。 第九章：基本群 (The Fundamental Group) 基本群是第一個代數不變量，用於區分拓撲空間中“洞”的數量。 循環與同倫： 定義基於一點 $x_0$ 的循環 $f: S^1 o X$ 以及兩個循環之間的同倫關係。 基本群 $pi_1(X, x_0)$ 的構造： 證明循環的同倫類在特定的乘法運算下構成一個群。 應用實例： 計算圓周 $S^1$ 的基本群 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$，以及 $mathbb{R}^n$ 和圓盤的平凡基本群，從而證明這些空間之間不存在同胚。 第十章：同調論的展望 本章作為代數拓撲的引子，簡要介紹同調論的概念。 鏈復形與邊界算子： 概述如何用代數鏈來“近似”空間，並定義邊界算子，它們將拓撲結構轉化為矩陣運算。 霍莫洛奇（同調群）的意義： 簡要說明同調群（如 $H_0, H_1$）如何提供關於空間連通性和“洞”的更精細的代數描述。 總結與展望 本書的編寫旨在使讀者能夠自信地處理拓撲空間中的基礎問題，理解連續性和形變的概念，並掌握緊緻性、連通性等核心工具。通過對度量空間的深入研究，讀者將為分析學、泛函分析打下堅實的拓撲基礎。最後，對基本群的初步探討，將引導有誌於深入研究的讀者進入更高級的代數拓撲領域。本書不僅是拓撲學的入門教材，更是通往現代數學各個分支（如微分幾何、幾何分析和理論物理）的堅實階梯。

评分☆☆☆☆☆

翻開書本，首先映入眼簾的是序言部分。作者用一種非常真誠且充滿熱情的筆觸，闡述瞭撰寫此書的初衷以及對數學研究的深刻理解。他提到，現代數學的發展離不開對基礎概念的不斷深化和拓展，而橢圓型偏微分方程恰恰是連接理論模型與現實世界的重要橋梁。讀到這裏，我仿佛能感受到作者多年來在數學領域的鑽研與思考，字裏行間透露齣的那種對知識的敬畏和對傳播的熱忱，讓我倍感親切。隨後，章節的標題也一一展開，它們如同一個個精心設計的路標，指引著我通往更廣闊的數學疆域。那些熟悉的術語，如“邊界值問題”、“解的存在性與唯一性”、“正則性理論”，都勾起瞭我對過去學習經曆的迴憶，但同時，我也敏銳地察覺到，這本書所涵蓋的內容遠不止於此，它似乎在原有基礎上，融入瞭更多前沿的研究成果和新的視角。我特彆留意到瞭幾個篇章的標題，它們暗示瞭對某些經典問題的新解法，或者對某些新興領域的介紹，這讓我對本書的創新性和前瞻性充滿瞭好奇。

评分☆☆☆☆☆

在閱讀的過程中，我發現這本書的行文風格相當獨特。它並沒有刻意追求華麗的辭藻，而是以一種非常樸實、理性甚至有些冷峻的語言，精確地闡述著每一個數學概念。每一個定理的錶述都力求簡潔明瞭，每一個證明的步驟都邏輯嚴密，毫不拖泥帶水。有時候，我需要反復閱讀幾遍，纔能完全領會其中的精妙之處，尤其是在涉及到一些高深的證明技巧時。但正是這種嚴謹，讓我感到無比踏實。我知道，我所閱讀的每一個字，都是經過深思熟慮的，它們構成瞭一個堅固的知識體係，不會因為錶麵的花哨而失去內在的價值。作者在處理一些復雜的論證時，並沒有采用一蹴而就的方式，而是循序漸進，從最基本的定義齣發，一步步構建起宏大的理論框架。這種“慢工齣細活”的寫作方式，對於那些希望真正理解數學本質的讀者來說，無疑是一種寶貴的財富。雖然有時會覺得燒腦，但每一次的“豁然開朗”都帶來瞭巨大的成就感。

评分☆☆☆☆☆

這本書在論述方式上，展現瞭一種非常係統化的思維。它不是零散地介紹一些數學技巧，而是將橢圓型偏微分方程置於一個更宏大的“現代數學基礎”的背景下進行考察。這意味著，在深入探討具體的方程性質之前，作者會先為讀者鋪墊好相關的理論基礎，例如函數空間、泛函分析等。這種“由錶及裏，由根及葉”的講解方式，讓我能夠更好地理解橢圓型偏微分方程為何如此重要，它在整個數學體係中扮演著怎樣的角色，以及它的發展又對其他數學分支産生瞭怎樣的影響。我尤其欣賞的是，作者在引入新的概念時，總會適當地迴顧相關的曆史背景或者與其他數學領域的聯係，這使得整個閱讀過程更加生動，也讓我能夠從更廣闊的視角來審視這些數學知識。它不再是孤立的公式和定理，而是被賦予瞭生命，成為瞭一個不斷演進的、充滿活力的知識集閤。

评分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計就給人一種沉靜而厚重的學術氣息，淡淡的灰色背景上，書名“橢圓型偏微分方程/現代數學基礎”幾個字以一種內斂而清晰的方式呈現。我拿到這本書的時候，內心是既期待又有些許的忐忑。橢圓型偏微分方程這個概念本身就帶著一種神秘感，它似乎觸及瞭許多物理現象和工程問題的核心，而“現代數學基礎”更是讓我看到瞭其內在的嚴謹與深刻。我一直在思考，這本書究竟能為我打開怎樣的數學世界？是會像一扇窗戶，讓我窺見那些抽象概念背後的具體應用，還是像一個深邃的知識寶庫，讓我沉浸在理論的海洋裏，不斷挖掘和探索？這本書的篇幅看起來不小，厚厚的書頁暗示著內容的豐富和深邃。我尤其好奇的是，它在講解時會采用怎樣的方式？是側重於理論的推導和證明，還是會輔以大量的例子和圖示來幫助理解？對於我這樣的讀者而言，能夠將復雜的數學概念解釋得清晰易懂，同時又不失嚴謹性，無疑是最理想的狀態。封麵上的這些細節，都讓我對這本書的閱讀體驗充滿瞭各種設想，也為即將開始的知識探索之旅增添瞭幾分莊重與期待。

评分☆☆☆☆☆

從閱讀的整體感受來說，這本書給我帶來瞭一種“潤物細無聲”的啓迪。起初，我或許會因為某些復雜的證明或者抽象的概念而感到一絲睏惑，但隨著閱讀的深入，我逐漸發現，作者並非是要考倒我，而是巧妙地引導我一步步去思考，去發現。書中的一些例子，雖然看似簡單，卻蘊含著深刻的道理，它們如同一個一個的“引子”，激發瞭我對更深層次問題的探究欲望。我常常會在閱讀某個段落後，停下來思考作者的意圖，或者嘗試著自己去延伸和拓展。這種主動的思考過程，比被動地接受信息更為重要，它讓我真正地將知識內化，成為瞭自己的一部分。雖然這本書的挑戰性不言而喻，但它所帶來的那種滿足感和對數學的全新認識，是任何其他簡單的讀物都無法比擬的。它讓我更加確信，深入理解數學，需要耐心、毅力和一種不斷追求真知的精神。

评分☆☆☆☆☆

国内的格论的书籍不多，科学出版社的，值得一读。

评分☆☆☆☆☆

施利亚耶夫的名著，需要有《实变函数与泛函分析》的坚实基础。否则看起来会很困难。配套的习题集做一做对理解高等概率论有非常好的帮助。物流很给力。值得拥有。

评分☆☆☆☆☆

搞活动时买的，很实惠。

评分☆☆☆☆☆

书很好，优惠活动买的，很划算。

评分☆☆☆☆☆

莫宗坚老师虽然坑了点，但这书还是不错的

评分☆☆☆☆☆

618之前就做起了活动，还是没忍住，就提前买了，还是挺划算的。

评分☆☆☆☆☆

经常来京东买书，优点就不多说了

评分☆☆☆☆☆

真的太喜欢了。

评分☆☆☆☆☆

据《大数据人才报告》显示，目前全国的大数据人才仅46万，未来3-5年内大数据人才的缺口将高达150万，可又有多少人知道大数据的价值呢？