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內容簡介

　　《現代數學基礎叢書·典藏版：發展方程數值計算方法》介紹瞭求發展方程數值解的原理和計算方法，包括將發展方程定解問題離散化的途徑、方法，計算格式的設計和求解算法，以及關於數值方法的理論分析.《現代數學基礎叢書·典藏版：發展方程數值計算方法》內容既保留瞭那些行之有效的傳統方法和經典理論結果，更注重於介紹近幾十年來興起的新方法和傳統方法的新發展，反映近幾十年來發展方程數值方法的研究與應用方麵取得的新進展、新成果.此外，書中列舉瞭若乾實際應用問題（多屬非綫性與耦閤問題）。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版：發展方程數值計算方法》可供計算數學、應用數學、力學等專業的研究生、教師以及從事科學與工程計算應用與研究工作的科技人員參考。

內頁插圖

目錄

第一章 拋物問題的有限元方法
§1．1 二階綫性拋物方程的初邊值問題
§1．2 Galerkin有限元法（半離散近似）
§1．3 收斂性分析與誤差估計
§1．4 基於一般橢圓逼近的方法

第二章 拋物方程的全離散計算格式
§2．1 簡單全離散格式
§2．2 高階精度單步格式
§2．3 質量集中方法
§2．4 一個半綫性拋物問題：核反應堆的數學模型

第三章 對流-擴散問題的數值解法
§3．1 對流占優擴散問題的背景
§3．2 有限體積法和廣義差分法
§3．3 特徵有限元法
§3．4 一類拋物．橢圓耦閤方程組：多孔介質中兩相可混溶驅動問題

第四章 二階波動方程和一階雙麯方程組的數值解法
§4．1 聲波與彈性波方程（組）
§4．2 二階波動方程的數值解法
§4．3 一階雙麯方程的經典差分格式
§4．4 間斷有限元法

第五章 譜與擬譜方法
§5．1 投影與插值算子的逼近性質
§5．2 譜與擬譜方法
§5．3 對一階偏微問題的應用
§5．4 離散Fourier變換的快速算法

第六章 一些非綫性發展方程的保結構算法
§6．1 哈密頓係統、辛結構
§6．2 非綫性Schrodinger方程的一個保結構的有限元近似
§6．3 Sine-Gordon方程的多辛算法
§6．4 KortewegdeVries方程孤立波解的數值模擬方法

第七章 非綫性離散模型的穩定性和收斂性理論
§7．1 綫性模型的Lax定理
§7．2 廣義穩定性和收斂性條件
§7．3 應用例題
參考文獻
《現代數學基礎叢書》齣版書目

前言/序言

　　發展方程（evolution equation）是包含時間變數的許多重要的數學物理偏微分方程的統稱，又稱演化方程或進化方程。在物理、力學或其他自然科學中，這類方程用來描述隨時間而變化的狀態或過程。諸如熱傳導方程、聲波與彈性波方程、反應擴散與對流擴散方程、流體與氣體力學方程組、Schrodinger方程、KdV方程等以及由這些方程通過適當方式耦閤而得到的耦閤方程組，皆屬於發展方程的範疇。
　　在科學與技術的發展中提齣瞭種種發展方程的求解問題，然而在絕大多數情形，這些問題的解不能用解析的公式錶達齣來，或者錶達式過於復雜，因而需要采用數值方法去計算它們的近似解。有限差分法是求解偏微分方程定解問題的傳統數值方法，早在1928年Courant，Friedrichs和Lewy便對偏微分方程的差分方法作過完整論述。第二次世界大戰之後，隨著快速電子計算機的誕生與發展，差分方法的應用及其理論得到迅猛發展。20世紀中、後期發展起來的有限元方法，為偏微分方程（包括發展方程在內）的近似求解增添瞭又一強有力的工具，尤其對於處理不規則區域上及一般邊值條件的偏微分方程定解問題，有限元方法具有顯著的優越性，其次，數值分析傢運用Sobolev空間及其插值逼近理論為有限元方法建立起瞭十分完美的數學理論，此外，在離散Fourier變換快速算法提齣之後，曆史悠久的譜方法也發展成為求解偏微方程的重要方法之一。
　　近30年來，在上述基本方法的基礎上，針對不同類型的發展方程問題（尤其是各種非綫性和耦閤問題），探尋可靠的高效、高精度的數值計算方法的努力始終沒有間斷過，不斷地湧現齣新的數值方法，如有限體積法和廣義差分法、特徵和迎風有限元法、間斷有限元法等。值得重視的還有，由我國學者馮康院士倡導的從幾何角度齣發尋求發展方程的保結構算法的研究，這是對於構造數值方法的依據和觀念上的一個重大革新。另外，近20年來譜與擬譜方法的研究也取得瞭很大的進展。發展方程的數值求解問題在科學與工程計算中處於十分重要的地位，已被廣泛的應用於氣象預報、地震預測、油田的勘測與開發技術、機翼與汽輪機葉片等工業産品設計、生態與環境的動態模擬等領域。適應現代科學技術的突飛猛進，關於綫性與非綫性發展方程數值計算方法的研究必將在理論與應用方麵得到更加迅速的發展。
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