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內容簡介

　　《現代數學基礎叢書·典藏版61：動力係統的周期解與分支理論》係統地論述由常微分方程定義的動力係統的周期解及其分支理論，介紹研究有關周期解及其各種分支現象的一般理論與方法，包括Hopf分支、退化Hopf分支，自治、周期係統周期解的局部分支，非雙麯孤立閉軌及閉軌族在自治、周期擾動下的非局部分支，平麵係統的Hopf分支、Poincare分支及同異宿分支等。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版61：動力係統的周期解與分支理論》自成係統，從介紹最基本的定性理論人手，在介紹基本的定性方法與分支理論的基礎上逐步深入地研究不同程度的退化分支現象。《現代數學基礎叢書·典藏版61：動力係統的周期解與分支理論》可作為高等院校數學專業的研究生、教師及相關科學研究工作者的教學、科研參考書。

內頁插圖

目錄

第一章 奇點及其局部性質
1 綫性係統
1．1 常係數綫性係統
1．2 周期綫性係統
2 隱函數定理與解的分析性質
2．1 解的分析性質
2．2 隱函數的存在性與光滑性
3 等價性、穩定流形與中心流形
3．1 等價性
3．2 穩定流形與中心流形
4 穩定性與Liapunov函數
4．1 穩定性的基本概念與定理
4．2 Lienard方程奇點的穩定性
5 指標理論與平麵高次奇點
5．1 指標概念與公式
5．2 解析係統的高次奇點判定
5．3 無窮遠奇點
6 規範型理論與應用
6．1 規範型基本理論
6．2 應用：幾類方程的規範型
習題

第二章 Poincare映射與周期解
1 雙麯閉軌與麯綫坐標
1．1 閉軌的穩定流形定理
1．2 閉軌附近的麯綫坐標
2 周期軌道的自治擾動
2．1 雙麯閉軌的擾動
2．2 二維係統的閉軌分支
2．3 三維係統的閉軌分支
3 周期係統的周期解
3．1 調和解與次調和解
3．2 壓縮映像原理方法
3．3 隱函數定理方法
4 平均方法與周期解的簡單分支
4．1 平均方法
4．2 二重鞍結點與雙麯極限環的周期擾動
5 Poincare分支與Melnikov函數
5．1 基本假設與引理
5．2 次調和解與次調和Melnikov函數
5．3 周期軌道的Poincare分支
習題

第三章 周期解的局部分支理論
1 Liapunov-Schmidt方法
1．1 基本定理
1．2 分支函數與周期解
2 Hopf分支與一類退化Hopf分支
2．1 Hopf分支定理
2．2 一類退化Hopf分支
3 周期解的共振分支
3．1 分支函數的建立
3．2 四維係統的局部周期軌道
4 周期解分支的初等方法
4．1 周期擾動係統
4．2 自治擾動係統
5 非半單特徵值情況下的分支
5．1 分支方程與閉軌的惟一惟二性條件
5．2 分支量的計算方法
6非半單綫性係統的擾動
6．1 分支方程與閉軌的個數判定
6．2 六維係統更多個閉軌的分支
習題

第四章 平麵係統的極限環
1 Hopf分支與環性數
1．1 後繼函數與焦點量
1．2 Hopf環性數與極限環的分支
2 Poincare分支與環性數
2．1 Poincare分支的一般理論
2．2 一類Lienard方程的環性數
3 同宿分支
3．1 極限環的惟一性
3．2 極限環的惟二性
3．3 同宿環的穩定性與多個極限環的分支
4 雙同宿分支
4．1 非退化條件下雙同宿的分支
4．2 雙同宿分支的進一步結果
4．3 一類三次係統的雙同宿分支
5 異宿環的分支
5．1 異宿環的穩定性
5．2 異宿環的擾動分支
6 兩類雙參數擾動係統
6．1 兩類Melnikov函數單調性
6．2 一類具有兩點異宿環的多項式係統
6．3 一類具有三點異宿環的多項式係統
習題

第五章 平麵係統的極限環（續）
1 鏇轉嚮量場理論
1．1 鏇轉嚮量場的概念與不相交定理
1．2 鏇轉嚮量場族中的Hopf分支與奇閉軌分支
2 極限環的存在性與惟一性
2．1 極限環的不存在性
2．2 Poincare-Bendixson定理與極限環的存在性
2．3 Dulac函數法與多個極限環
3 Lienard係統的Hopf分支
3．1 冪級數方法
3．2 麯綫積分方法
4 Lienard係統的Poincare分支
4．1 包圍一個奇點的極限環
4．2 包圍三個奇點的極限環
4．3 應用舉例
5 Lienard係統的全局分支
5．1 全局分支中極限環的個數
5．2 幾類多項式係統的環性數
5．3 一類n次Lienard方程的環性數
習題
參考文獻

前言/序言

　　動力係統理論在20世紀60年代形成基本框架，到80年代纔逐步完整起來，而動力係統分支理論的發展則稍緩慢，這是因為結構不穩定係統可以以多種形式齣現分支現象，分支發生的層次也不盡相同，這導緻分支理論的內容不斷嚮縱嚮深入發展，作者於1983年在南京大學數學係開始接觸分支理論領域，最初是參加由葉彥謙教授主持的、JackK.Hale教授主講的分支理論學習班，當時由於時間和能力所限，隻是粗略地研讀瞭Hale教授與周修義教授閤著的分支理論專著“MethodsofBifurcationTheory”的中文油印本。直到1987年獲得博士學位後纔較係統、深入地研讀瞭該書的原版，此後逐步熟悉瞭分支理論的基本內容與方法，特彆是從1989年開始主持國傢自然科學基金項目以來，在分支理論這片沃土上不斷耕耘，並在微分方程周期解的Hopf分支、Poincare分支、同異宿分支，調和解與亞調和解的共振分支，不變環麵的分支等方麵獲得一係列的研究成果，在以上多方麵，建立瞭判定周期解個數的一般方法，這些方麵的部分成果，已在書《微分方程分支理論》（韓茂安、硃德明，煤炭工業齣版社，1994）與《BifurcationTheoryandMethodsofDynamicalSystems》（LuoDingjun，WangXian，ZhuDemingandHanMaoan，WorldScientific，1997）中齣現.最近幾年，在一些退化分支方麵，有不少新成果麵世，這些研究工作一是在理論上更深一層，二是齣於實際應用的需要，例如，在研究二次係統極限環的個數時就齣現多級的退化分支（包括Hopf分支、Poincare分支及同異宿分支等），而且有一些退化分支至今也未得到滿意的解決。當然，由於多項式係統的非綫性項是有限的，其分支的退化級彆也必定是有限的.在1997年初本人就開始籌劃寫一部專門討論周期解的各種分支方法的著作，在以後幾年的寫作過程中內容的選取和次序的安排曾有多次變動，現在雖然定稿並齣版，但在內容安排、理論的深度和廣度方麵仍恐有許多不足。作者試圖使本書具有以下三個方麵的特點：一、較係統地介紹自治係統與周期係統周期解的各種分支方法，尤其是介紹在其他書中看不到的各種退化分支現象；二、在論證上自成一體，讀者通過閱讀本書能夠迅速瞭解和掌握分支理論的新發展，並使得有興趣的學者盡快進入分支理論的若乾研究前沿；三、本書在最基本的理論基礎上展開討論，並著重介紹作者本人的研究成果。實際上，本書約半數內容是係統地總結作者最近五六年的研究成果，許多結果是本書獨有的。
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