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內容簡介

　　《現代數學基礎叢書·典藏版12：微分方程定性理論》是作者在常微分方程定性理論的多年教學和科研工作的基礎上寫成的，著重介紹平麵定性理論的主要內容和方法，重點是：平麵奇點，極限環的存在，個數，無窮遠奇點，二維周期係統的調和解，環麵上的常微係統，二維流形上的結構穩定性。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版12：微分方程定性理論》各章均附有習題。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版12：微分方程定性理論》可供大學數學係高年級學生及研究生閱讀，也可供教師和科研人員參考。

內頁插圖

目錄

第一章 基本定理
§1．解的存在性、唯一性及對初值（或參數）的依賴性
§2．解的延拓
§3．動力係統的一般概念
§4．平麵上的動力係統
習題一
參考文獻

第二章 平麵奇點
§1．奇點和常點
§2．常係數綫性方程組的奇點
§3．非綫性方程組的奇點
§4．特徵根實部不為0時附加非綫性項的情形
§5．特徵根是一對純虛根時附加非綫性項的情形（中心和焦點判彆）
§6．*奇點的幾何分類
§7．*有零特徵根時附加非綫性項的情形
習題二
參考文獻

第三章 平麵奇點指數
§1．連續嚮量場的鏇轉數
§2．平麵奇點指數
§3．Cauchy指標
§4．齊次方程孤立奇點指數的有理計算
§5．*臨界奇點指數的有理計算
§6．*Bendixon公式
習題三
參考文獻

第四章 極限環
§1．極限環的存在性
§2．後繼函數和極限環的重次及穩定性
§3．鏇轉嚮量場
§4．極限環的唯一性
§5．極限環的唯二性
§6．*二次係統極限環的個數
§7．*極限環的唯n性
習題四
參考文獻

第五章 無窮遠奇點
§1．Poincare變換
§2．平麵係統的全局結構
§3．用無窮遠奇點研究極限環的存在性
§4．二維緊緻麯麵S2，P2和T2上連續嚮量場的奇點指數和
習題五
參考文獻

第六章 二維周期係統的調和解
§1．預備知識
§2．具有周期性強迫力的常係數綫性係統
§3．擬綫性係統
§4．平均方法
§5．Duffing方程的小攝動
§6．高頻強迫振動的小振幅調和解
§7．高頻強迫振動的大振幅淵和解
§8．耗散係統
§9．無阻尼的Duffing型方程
習題六
參考文獻

第七章 環麵上的常微係統
§1．引言
§2．鏇轉數
§3．極限點集
§4．各態經曆
§5．奇異情況舉例
§6．介紹Schweitzer之例
習題七
參考文獻

前言/序言

　　本書是根據20世紀60年代以來我們在北京大學數學係開設的常微分方程定性理論課所用的講義編寫成的，它可作為綜閤性大學、師範院校、工科大學有關專業的高年級大學生和研究生的專門化課程的教材。
　　由常微分方程來直接研究和判斷解的性質，這是常微分方程定性理論的基本思想。這種思想在基礎課中已經有過。Sturm振動定理就是一例，定性理論在常微分方程的研究中往往有其獨到的功能，當前由於電子計算機的齣現，給定性理論研究提供瞭有力的工具，同時定性理論分析往往給數字計算提供瞭理論依據，常微分方程定性理論從H.Poincare發錶的奠基性工作“微分方程所定義的積分麯綫”起，一百年來得到瞭蓬勃的發展，它已成為從事許多學科和尖端技術（包括自動控製理論，航天技術，生物科學，經濟學等）研究的不可缺少的數學工具，並且定性的思想和技巧已逐漸滲透到其他數學分支，例如偏微分方程等。
　　在二維係統特彆是平麵係統方麵，定性理論的發展比較完整。本書基本上是根據上述H.Poincare的名著中所涉及到的幾個問題，對平麵或二維係統的有關成果力圖作一較為完整的介紹。
　　本書第一章§1，§2講的是常微分方程解的存在性、唯一性、解對初值的連續依賴性等問題，它是全書的基礎，鑒於當前動力係統的符號和概念被廣泛使用，在§3中我們介紹瞭拓撲動力係統一些最基礎的知識，以及平麵動力係統的主要結果。但這一部分最基本的事實是Poincare-Bendixson環域定理，講授時可將這部分移到後麵，也可適當精簡，隻要能證明環域定理就可以瞭。第二章講奇點，基本問題是：在什麼條件下原方程及其相應的綫性方程在奇點附近有相同的拓撲結構或定性結構，以及在一些臨界情形下奇點的性質。對平麵係統來說，這個問題解決得較為徹底。第三章講平麵奇點指數，其中§3是奇點指數的有理計算，第四章論述極限環，特彆是極限環的存在性、唯一性、個數、二次係統的極限環個數等方麵，力圖反映當前國內外的最新成果。第五章討論無窮遠奇點，為瞭研究係統的積分麯綫的全局結構，往往必須研究係統的無窮遠奇點。第六章討論周期微分方程的調和解，它是屬於非綫性振動理論的基礎知識。
　　前六章是本書的基本內容。如果是一學期的課程，則可在前六章中選取一些內容。如果是一年的課程，則第七章環麵上的常微係統和第八章結構穩定性理論都是很重要的部分。
　　為瞭便於學生自學以及啓發學生對此理論的興趣，我們盡量介紹定性理論中最典型和最常用的方法和技巧，同時也盡量介紹有關內容的當前最新成果，此外為瞭便於讀者的學習，我們在書中還列舉瞭一些例子，每節後麵都配有習題。
　　書中打符號“*”的章節乃是進一步的要求，初學時可略過，
　　本書第一章到第五章是張芷芬撰寫或修改定稿的，其中第三章是張芷芬在高維新所寫初稿基礎上編寫成的；第四章§6和第五章§3是索光儉提供初稿，由張芷芬改寫成的。第六章是丁同仁撰寫的，第一章§1，§2和第七章是黃文竈編寫的，第八章是董鎮喜撰寫的。
　　餘澍祥，高維新，何啓敏，高素誌，陳平尚，曾憲武，王裕民，李承治，丁大正，王鐸，丁偉嶽，王鵬遠等還幫助和審查過本書的某些章節。曾試用過北大所編定性理論講義的黃啓宇、王剋、馬知恩、蔡燧林、徐世龍，都長青，俞伯華，馬遵路等和參加過北大定性理論討論班的人員，都對本書提齣過很多寶貴意見，本書在寫作過程中得到瞭廖山濤教授的熱情關懷，他還對第五章及第八章的有關內容提齣過寶貴意見，葉彥謙教授在審查本書過程中從文字到內容提齣瞭很多中肯的意見和有益的建議。在此對他們一並緻以謝意。
　　限於我們的知識水平，書中難免有錯誤及不妥之處，請讀者批評指正。
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