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內容簡介

　　反常擴散或反常運移現象在環境、水文、海洋、生物等領域廣泛存在，是一類不服從經典Fick第二定律的擴散現象。
　　《反常擴散的分數階微分方程和統計模型》主要講述反常擴散相關研究基礎，介紹兩種反常擴散的理論模型及其應用，包括分數階導數擴散方程模型的理論基礎、物理機理、數值算法；反常擴散統計描述涉及的非常規統計方法和隨機行走模型等。在工程應用方麵，《反常擴散的分數階微分方程和統計模型》主要講述反常擴散模型在地下含水層溶質遷移過程模擬、水工建築物混凝土氯離子侵蝕，非飽和土壤水分運移過程分析與其他領域的應用。《反常擴散的分數階微分方程和統計模型》涵蓋瞭反常擴散的基本知識、建模手段、數值算法、工程應用、研究熱點和新進展。
　　《反常擴散的分數階微分方程和統計模型》可作為高等院校力學、環境科學、物理、水文和岩土等專業的研究生選修課教材或教學參考書，也可以作為水利、土木、生物、數學、交通、采礦類領域的有關研究人員的參考書。

內頁插圖

目錄

前言

第一章 緒論
1．1 反常擴散的定義
1．2 自然界和工程中的反常擴散現象
1．3 研究曆史與現狀
1．3．1 反常擴散建模與應用
1．3．2 反常擴散的數值模擬方法

第二章 反常擴散建模概述
2．1 反常擴散物理基礎
2．2 非綫性擴散模型
2．2．1 非綫性模型I
2．2．2 非綫性模型II
2．3 變係數擴散模型
2．3．1 考慮擴散係數時間依賴性的模型
2．3．2 考慮邊界條件時間依賴性的模型
2．4 隨機行走模型 ．
2．5 分數階擴散模型

第三章 分數階擴散模型基礎
3．1 分數階導數與分形導數
3．1．1 分數階微積分的定義
3．1．2 分數階微積分的性質
3．1．3 變階與隨機階積分和導數的定義、分形導數定義
3．1．4 分形導數的定義
3．2 分數階Fick定律、微分方程模型及其統計錶示
3．3 多尺度反常擴散建模
3．3．1 分布式導數擴散模型
3．3．2 數值算例與討論
3．4 分數階導數模型與分形導數模型的比較
3．4．1 理論分析
3．4．2 數值算例
3．4．3 小結

第四章 變導數反常擴散模型
4．1 變導數研究簡介
4．2 變導數反常擴散模型的分類與應用分析
4．2．1 時間依賴形式的變導數模型
4．2．2 空間依賴形式的變導數模型
4．2．3 濃度依賴形式的變導數模型
4．2．4 係統參數依賴形式的變導數模型
4．2．5 變導數反常擴散模型的統計特徵
4．2．6 討論
4．3 模糊係統觀點
4．3．1 問題的提齣
4．3．2 模糊分數階係統
4．3．3 算例分析
4．4 隨機導數模型
4．4．1 研究意義
4．4．2 隨機導數耗散模型
4．4．3 隨機導數反常擴散模型
4．4．4 隨機導數模型的統計特性及其應用
4．4．5 討論

第五章 分數階導數方程模型的反問題
5．1 反問題簡述
5．1．1 反問題的求解
5．1．2 分數階導數方程的五類反問題
5．1．3 小結
5．2 參數反問題
5．2．1 Levenberg-Marquardt算法求解．
5．2．2 參數反演問題的同倫算法．
5．2．3 數值算例
5．2．4 小結
5．3 最佳攝動法求解源項反問題
5．3．1 源項反問題
5．3．2 最佳攝動量法
5．3．3 數值算例

第六章 分數階反常擴散方程的計算方法
6．1 分數階反常擴散方程的算法簡介
6．2 一些分數階反常擴散方程的解析解
6．2．1 Mittag-Lefflei．函數簡介
6．2．2 分數階耗散模型的解析解．
6．2．3 分數階擴散模型的解析解
6．3 時間分數階反常擴散方程的有限差分算法
6．4 基於有限單元法的時間分數階反常擴散方程半解析算法
6．4．1 算法框架
6．4．2 數值算例
6．4．3 討論
6．4．4 小結
6．5 空間分數階反常擴散方程的有限單元法
6．5．1 模型描述
6．5．2 變分形式
6．5．3 有限元求解
6．5．4 數值算例
6．5．5 問題與討論
6．5．6 附錄．

第七章 反常擴散的非常規統計建模方法
7．1 Levy穩定分布
7．1．1 Levy穩定分布的特徵函數
7．1．2 L6vy穩定分布的密度函數和穩定分布函數
7．1．3 L6vy穩定分布的隨機數
7．1．4 L6vy穩定分布的參數估計
7．2 擴展Gaussian分布
7．3 Tsallis分布
7．3．1 Tsallis熵的引入
7．3．2 Tsallis熵的非廣延性
7．3．3 Tsallis熵與廣義微分算子的關係
7．3．4 Tsallis分布
7．4 Mittag-Lefflei．分布
7．4．1 Mittag-leffler函數
7．4．2 單參數的Mittag-Leffler分布
7．4．3 雙參數的Mittag-Leffler分布
7．4．4 Mittag-Leffler隨機數的生成
7．5 Levy穩定分布Matlab工具箱
7．5．1 建模功能模塊
7．5．2 圖形界麵功能模塊

第八章 隨機行走模型
8．1 連續時間隨機行走模型
8．1．1 連續隨機行走模型理論基礎
8．1．2 隨機行走模型的濛特卡洛模擬
8．2 分形結構介質中的反常擴散
8．2．1 研究背景
8．2．2 分形介質擴散基本概念．
8．2．3 分形結構構造
8．2．4 分形結構中的隨機行走
8．2．5 分形結構中的隨機行走模型參數確定．

第九章 流體力學和水文中的反常擴散
9．1 分數階擴散模型在地下含水層溶質遷移過程模擬中的應用
9．2 水工建築物混凝土氯離子侵蝕
9．2．1 混凝土中氯離子擴散模型
9．2．2 時間分數階擴散方程中的參數獲得
9．2．3 結果與討論
9．2．4 小結
9．3 分形導數Richards模型在非飽和土壤水分運移過程研究中的應用．．
9．3．1 模型描述
9．3．2 討論
9．3．3 小結
9．4 分數階擴散模型在水流含沙量垂嚮分布研究中的應用
9．4．1 模型描述．
9．4．2 實驗數據分析
9．4．3 討論

第十章 反常擴散在其他領域中的應用
10．1 量子物理中的反常擴散
10．1．1 薛定諤方程
10．1．2 空間分數階薛定諤方程
10．1．3 時間分數階薛定諤方程
10．1．4 分數階薛定諤方程的相關變換
l0．1．5 國內外其他研究進展
10．2 生物流體力學中的反常擴散現象
10．2．1 生物滲流力學中的反常擴散
10．2．2 心肌細胞內鈣火花反常擴散
10．2．3 藥物控釋反常擴散
10．2．4 多孔介質乾燥過程中濕分的反常擴散
10．3 復雜介質中的反常熱傳導過程分析
10．3．1 非傅裏葉熱傳導
10．3．2 多孔介質中傳熱傳質現象

第十一章 結論與展望
11．1 結論
11．2 研究展望

參考文獻

前言/序言

　　擴散是自然界中廣泛存在的物理過程，具有悠久的研究曆史，是一個既古老又新興的研究課題。但是由於擴散介質的復雜性，特彆是非均勻性和各嚮異性，大多數擴散過程不服從經典的Fick第二定律，應該稱為反常擴散。反常擴散或反常運移是物理、環境、水文、生物、氣象等學科重要的研究課題，從物理上講，這類擴散過程不能使用標準的統計物理方法來描述。具體的反常擴散現象包括地下含水層溶質遷移、土壤中水分或汙染物擴散、湍流渦運動、藥物控釋、神經信號傳輸、固體廢棄物滲透、核廢料深層滲漏等。
　　我們在已齣版的《力學與工程問題的分數階導數建模》（科學齣版社，2011年）一書中，已經簡要介紹瞭反常擴散過程的分數階導數建模與統計描述。本書是在已有內容的基礎上進行擴展和補充，作者希望通過本書能夠使讀者較全麵地瞭解反常擴散建模、數值算法和應用方麵的知識和前沿，在此基礎上獲得新思路和靈感，促進反常擴散研究的發展。
　　本書關注復雜介質中水和溶質的擴散規律及其應用。復雜介質中水的擴散和運移規律是環境、氣象和生物等領域關心的主要課題之一，其重要性體現在下列兩個方麵：第一，水分的擴散和運移直接影響地球的水循環、生物對水分的吸收、地下水的利用等；第二，水分擴散和運移過程直接影響水中溶質的擴散和運移，它是溶質擴散和運移研究的基礎課題之一。量化描述汙染物或各種溶質粒子在復雜介質中的時空分布特徵和遷移規律可以為汙染控製、環境和生態保護提供理論依據。反常擴散研究將有助於準確預測土壤與地下水的汙染程度，評估汙染物對土壤或地下含水層的長期環境影響，進而為土壤和地下水汙染的治理提供依據。反常擴散的研究成果也可以直接應用於解決其他的環境問題，例如，海水入侵、核廢料處理、爛尾礦、混凝土腐蝕等。反常擴散的研究與分數階布朗運動直接相關，在理論上，反常擴散的研究也對深入理解分數階布朗運動與漲落理論具有重要的價值，因而反常擴散也是力學與物理學的一個重要理論研究課題。同時熱傳導、藥物控釋、生物大分子運動和半導體導電研究等許多問題實際上都涉及反常擴散過程，本書的研究成果也同樣適用。
　　反常擴散的研究手段主要包括確定性微分方程模型和統計物理方法。本書主要介紹分數階導數擴散方程模型來量化分析復雜介質中的擴散過程，講解反常擴散相關研究基礎，分數階擴散模型的基本概念。分數階導數的數學定義是由一個捲積積分錶示的，從物理上來講，時間分數階導數描述過程相關的物理現象，稱為曆史依賴性；空間分數階導數描述物理過程的路徑依賴和全域相關特徵，稱為全域依賴性。因此，分數階導數擴散方程模型可以描述各類反常擴散過程，特彆是擴散行為的曆史依賴性、路徑依賴性和非局域性。在點源條件下，反常擴散過程中位移統計二階矩與時間的關係呈冪指數關係，也可以由此得到統計冪指數與分數階導數模型階數之間的量化關係。同時，由反常擴散的統計描述也可以得到統計模型方法，本書主要講述反常擴散涉及的非常規統計方法和隨機行走模型。
　　反常擴散的研究成果在多個領域有廣泛的應用，本書主要講述理論成果在環境和水文領域的應用，具體包括地下含水層溶質遷移過程模擬以得到準確預測土壤與地下水的汙染程度，評估汙染物對土壤或地下含水層的長期環境影響，同時講述反常擴散模型在水工建築物混凝土氯離子侵蝕、非飽和土壤水分運移過程分析、河流泥沙運動及其他領域的應用。
　　本書的內容主要來源於作者及其研究團隊在反常擴散研究方麵的研究積纍和學術見解，其中主要涉及的科學問題的研究源於與課題組承擔的反常擴散課題相關的國傢自然科學基金項目（項目編號：11572111，11572112，11528205，41628202）、國傢傑齣青年基金項目（項目編號：11125208）、“111”引智計劃項目（項目編號：B12032）等。參加本書部分工作的課題組成員包括龐國飛、韋慧、張建軍、梁英傑、危嵩、蔡偉、許政、劉肖廷、常愛蓮、鬍帥、黑鑫東；其他課題組成員在本書的寫作過程中提供瞭素材及許多寶貴的修改意見，同時還得到許多同仁的熱心幫助；張勇教授對本書的撰寫工作提齣瞭寶貴的修改建議，作者在此一並緻謝。
　　由於作者水平所限，書中不足之處在所難免，熱忱歡迎同行們和廣大讀者批評指正。
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