張天蓉，女，科普作傢。美國德州奧斯汀大學理論物理博士，現住美國芝加哥。研究課題包括廣義相對論、黑洞輻射、費曼路徑積分、飛秒激光、激光探測晶體性質、高頻及微波通訊、EDA集成電路軟件等。發錶專業論文三十餘篇。2012年開始，寫作並齣版一係列科普著作，其文風深入淺齣，趣味盎然，亦保持科學的嚴謹性，深得讀者喜愛。已齣版的科普代錶書籍有：《蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌》、《永恒的誘惑：之謎》、《上帝如何設計世界：愛因斯坦的睏惑》、《愛因斯坦與萬物之理：統一路上人和事》等。

內容簡介

一切都在變化，一切都難以確定，世界可以說是由變量構成，人人都有必要學點概率論，把世界看的更清晰。

書中介紹的著名趣味概率問題包括賭博點數分配問題、賭徒謬誤、高爾頓釘闆、幾何概型悖論、酒鬼漫步、德國坦剋問題、博士相親、中國餐館過程等。通過討論這些簡單有趣的例子，讓讀者瞭解概率統計中的重要概念，諸如隨機變量、期望值、貝葉斯定理、大數定律、中心極限定理、馬爾可夫過程、深度學習等等。讓年輕人從遊戲和趣題中學到知識，吸引他們踏進基礎科學、人工智能、信息技術的大門。

序言

一章：趣談概率

1. 帕斯卡和法國數學：概率論的誕生

2. 似是而非的答案：古典概率悖論

3. 幾何概型和貝特朗悖論

4. 彆相信直覺：概率論幫助偵破“財務造假”

5. 賭徒謬誤：賭博與概率

6. 隨處可見的鍾形麯綫：中心極限定理

二章：趣談貝葉斯學派

1. 三門問題

2. 三門問題引發的思考

3. 頻率學派和貝葉斯學派

4. 主觀和客觀

5. 量子貝葉斯模型

6. 貝葉斯颱球問題

7. 德國坦剋問題

三章：趣談隨機過程

1. 馬爾可夫鏈

2. 酒鬼漫步的數學

3. 賭徒破産及鳥兒迴傢

4. 微粒之“酒鬼漫步”--布朗運動

5. 麥穗問題和博士相親

四章：趣談“熵”

1. 從卡諾談起-天妒英纔

2. “熵”- 熱力學中閃亮登場

3. “熵”- 名字古怪性情乖張

4. 時間之矢貫穿

5. 易辛模型及應用

6. 麥剋斯韋妖

五章：趣談信息熵

1. “熵”- 信息世界大顯身手

2. “熵”- 品類繁多個個逞強

3. 老鼠和毒藥問題

4. 稱球問題

5. 不要把雞蛋放一個籃子裏

六章：趣談互聯網中之概率

1. 大網絡中的小世界

2. 網絡和圖論

3. 網絡之大小

4. 有趣的隨機大網絡

七章：趣談人工智能之統計

1. 阿爾法狗世紀大戰

2. 人工智能研究的坎坷路

3. 隱馬爾可夫過程

4. 支持嚮量機

5. 樸素貝葉斯分類器

6. 分布之分布

7. 中國餐館過程

8. 機器深度學習的奧秘

參考文獻

前言

這是一本寫給對概率統計及應用有興趣的非專業讀者的書，目的是幫助他們理解高科技發展中概率統計等概念的意義。本書寫作中以悖論、謬誤、以及一些饒有趣味的數學案例作先導，引起讀者的興趣和思考，在解答問題的過程中講述概率論中的基本知識和原理，及其在物理學、信息論、網絡、人工智能等技術中的應用。書中介紹的著名趣味概率問題包括賭博點數分配問題、賭徒謬誤、高爾頓釘闆、幾何概型悖論、酒鬼漫步、德國坦剋問題、博士相親、中國餐館過程等。通過討論這些簡單有趣的例子，讓讀者瞭解概率統計中的重要概念，諸如隨機變量、期望值、貝葉斯定理、大數定律、中心極限定理、馬爾可夫過程、深度學習等等。

針對概率論，有法國牛頓之稱的拉普拉斯（1749年-1827年）曾說：

“這門源自賭博機運之科學，必將成為人類知識中重要的一部分，生活中大多數問題，都將隻是概率的問題。”

兩百多年之後的當今文明社會，證實瞭拉普拉斯的預言。這個世界充滿瞭不確定性，作為數學領域的一個重要分支，概率的基本概念早已滲透到人們的工作和生活當中，小到人人都可以買到的彩票，大到如今熱度不減的各種大數據，還有近年來突飛猛進的人工智能技術，包括打敗人類圍棋手的“阿爾法狗”和自動車輛使用的“深度機器學習”算法，都與概率論密切相關。

因此，人人都有必要學點概率論，瞭解一下概率與統計有哪些基本理論？世界是隨機的嗎？它們是如何被應用到現代科學及人工智能中的？然而，因涉及到復雜的數學計算等問題，這個領域使公眾望而生畏。本書目的旨在盡可能地跳齣數學公式，用平鋪直述的話語將概率與統計中一些艱深的概念轉為公眾更容易理解的實際案例。

曆史啓迪思考，閱讀使人受益。概率論本來就是從多種賭博遊戲中誕生的，因此，本書一章從概率論的誕生曆史開始，繼而通過介紹經典概率論中幾個著名悖論，讓公眾瞭解大數定律、中心極限定理、貝葉斯定理等概率論中的基本概念及應用。

二章主要介紹在現代概率論及應用中極其重要的貝葉斯學派。有趣的三門問題是一個經典問題，但卻由此啓發我們思考概率之本質，從而有利於介紹概率論中“頻率學派和貝葉斯學派”的兩派之爭。多數概率論書籍均僅僅基於頻率學派之觀點而寫成，而本書隻在一章中涉及古典概率論（即頻率學派）的基本概念，之後便將貝葉斯學派頗為不同的思考方法，貫穿於本書的敘述中，這也是本書的特色之一。

概率描述的隨機變量如何隨時間而演化？這類由一係列隨機變量而構成的“隨機過程”，是在三章中介紹的內容。隨機過程這個聽起來生澀的數學專業詞匯，也被作者用“酒鬼漫步”的通俗例子解讀得一目瞭然。

之後的4、5、6章，分彆簡要地介紹概率論在統計物理、信息論、網絡理論中的應用。同樣地，作者努力避開說教式的言辭，把知識融入故事中，在講解知識的同時，帶給讀者閱讀故事、解讀趣題的樂趣。緊接著，在後一章中，提綱挈領地介紹人工智能中熱門的深度捲積神經網絡，盡管隻能管窺蠡測，但從幾個關鍵算法，也使讀者對機器學習之奧秘能略知一二。

本書既可淺讀，也能深究，盡量做到滿足各個教育水平大眾的閱讀趣味。涉獵的知識範圍廣泛，將數學、物理、通訊、信息、計算機、人工智能多個領域，通過“概率”而串通到瞭一起。希望本書可以幫助讀者更快速、更深刻地理解概率統計，將其應用於生活和社會，也可以讓年輕人從遊戲和趣題中學到知識，吸引他們踏進基礎科學、人工智能、信息技術的大門。

當今社會：處處是概率，萬物皆隨機，悖論知多少，趣題相與析。大傢都來讀書解惑，玩玩有趣的概率遊戲吧！

精彩書摘

5. 賭徒謬誤：賭博與大數定律

先講一個賭場撈金的故事。

很多人都聽說過概率或統計中的濛特卡羅（Monte-Carlo）方法，說白瞭就是利用大量數據在統計的基礎上進行計算的方法。濛特卡羅不是人名，是法國邊上一個袖珍小國摩納哥中著名賭場的名字。自從濛特卡羅賭場於1865年開張後，摩納哥從一個窮鄉僻壤的彈丸之地，一躍而為歐洲富有的國度之一，至今已經150年過去，這個國傢仍然是以賭場和相關的旅遊業為主。

那年代有一個名叫約瑟夫?賈格爾（Jaggers）的英國人，是約剋郡一個棉花工廠的工程師，在擺弄加工棉花的機器之餘，經常光顧濛特卡羅賭場，特彆感興趣那種38個數字的輪盤遊戲（圖1-1-5）。賈格爾畢竟是位優秀的機械工程師，腦袋中的彎彎繞繞比一般賭徒要多一點。他想：這輪盤機器在理想的情況下，每個數字齣現的概率都是1/38。但是，機器怎麼可能做到對稱呢？任何缺陷都可以改變獲奬號碼的隨機性，導緻轉盤停止的位置偏嚮某些數字，使這些數字更為頻繁地齣現。因此，賭徒應該可以利用這種偏嚮性來賺錢！於是，在1873年，賈格爾下決心要改變自己的命運，他帶上他所有的積蓄，前往濛特卡羅賭場，雇用瞭六個助手，每個助手把守一個輪盤機器。白天，賭場開放瞭，助手們用賈格爾供給他們的“賭幣”，讓輪盤不停地嘩啦嘩啦轉！不過，他們並不在乎輸贏，他們的任務是記下所把守的輪盤機停止時的每一個數字。然後，到瞭晚上賭場關門後，賈格爾便在旅館裏獨自分析這些數字的規律。六天後，五個輪盤的數據沒有發現有意義的偏離，但六個輪盤為賈格爾帶來瞭驚喜：38個數字中有9個數齣現的概率顯然要比其餘的頻繁得多！賈格爾興奮不已，七天他前往賭場，認定瞭那颱有偏嚮性的輪盤機，大量投注這九個頻率高的數字：7，8，9，17，18，19，22，28和29。這種方法使賈格爾當天就賺瞭7萬。不過，賈格爾沒高興幾天，事情便引起瞭管理人員的注意，經理們采取瞭各種方法來挫敗賈格爾的策略，後賈格爾無法賺更多的錢，便離開瞭賭場，帶著已經到手的巨款，投資房地産去瞭。

賭場中的確有極少數的人像賈格爾那樣偶然幸運地賺瞭一筆，但更多的賭徒是十賭九輸，一直到輸光為止。這其中的原因有兩個：一方麵是因為所有賭場遊戲的概率設計本來就是以利於賭場為準，讓賭場一方贏的概率為51%，52% ，玩傢贏的概率為49%或48% ，如此設計的賭場纔能包賺不賠。另一方麵，利用賭徒的心態也是賭博遊戲設計者們的拿手好戲。賭徒謬誤便是一種常見的、不符閤概率規則的賭徒錯誤心態，經常被賭場利用。

賭徒謬誤（The Gambler's Fallacy）

賭徒謬誤的來源是因為將前後互相獨立的隨機事件當成有關聯而産生的。怎麼樣算是獨立的隨機事件呢？比如說，拋硬幣一次，是一個隨機事件。再拋一次，是另一個隨機事件。兩個事件獨立的意思是說，二次的結果並不依賴於一次的，互相沒有關聯。假設硬幣是理想對稱的，將齣現“正”記為1，“反”記為0，那麼，每次結果為1和0的概率都是1/2。二次“拋”和一次“拋”互相獨立，再多“拋”幾次也一樣，每次的“拋丟”事件互相獨立，齣現1和0的概率總是“1/2，1/2”，都和一次一樣。即使硬幣不對稱，比如兩麵之概率可能是“2/3，1/3”，也並不會影響每次投丟的“獨立性”，每次得到正麵的概率都是2/3，並不受上一次結果的影響。

道理容易懂但有時仍會糊塗。比如說，當你用“公平”硬幣接連拋瞭5次1，到瞭6次，你可能會認為這次“1”齣現的概率會更小瞭（< 1/2），“0”齣現的概率更大瞭（> 1/2）。也有人是逆嚮思維，認為既然5次都是1，也可能繼續是1（也被稱為熱手謬誤）。實際上這兩種想法，都是掉進瞭“賭徒謬誤”的泥坑。也就是說，將獨立事件想成瞭互相關聯事件。事實上，一般來說，硬幣每次的結果，並不影響下一次正反的概率，硬幣沒有記憶，不會因為前麵5次被拋下時都是正麵在上就會加大（或減小）反麵朝上的概率。也就是說，無論過去拋齣的結果如何，每一次都是一次，正反齣現的幾率都是1/2。另外，還有生男生女的問題，也很容易産生謬誤，比如有對父母接連生瞭4個女孩兒，就覺得5個是男孩的可能性增大瞭。但事實上，5個是男或女的概率仍然是50%對50%，並不因前麵4個都是女兒而改變。這些都是與“賭徒謬誤”類似的迷思。

還有一個笑話：某呆子上飛機時身上帶瞭個炸彈，問其原因，答曰：飛機上有1個炸彈的幾率是萬分之一，同時有兩人帶炸彈的幾率就是億分之一，我自己帶上一個（絕不爆炸！），便將飛機上有（將爆）炸彈的概率從萬分之一降低到瞭億分之一！想必你看到這兒，一定會抿嘴一笑。是啊，能不笑嗎？此呆子將“自己帶炸彈”與“彆人帶炸彈”的獨立事件視為相關，呆子非賭徒，但這也算是一種賭徒謬誤。

當然，認為每次拋硬幣是互不關聯的獨立事件，或每一胎生男生女是獨立的，也隻是我們描述某些隨機事件所使用的數學模型而已，物理世界中的此類事件並不一定真正獨立。比如說到生男生女的問題，也許有某種與荷爾濛有關的原因使得前後兩胎的性彆有所關聯，也不是沒有這種可能性的。但是，如果有關聯，也要明白是如何關聯的？應該使用何種模型來描述這種關聯？那是另一種類型的研究課題，而賭徒謬誤指的則是將基本上沒有關聯的隨機事件，以為有關聯來考慮問題而産生的謬誤。

概率統計教程

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