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編輯推薦

　　《物理學中的群論: 有限群篇》適閤作為凝聚態物理， 固體物理和光學等專業研究生的群論課教材或參考書， 也可供青年理論物理學傢自學群論參考.

內容簡介

　　《物理學中的群論》第三版分兩篇齣版， 《物理學中的群論: 有限群篇》是有限群篇， 但也包含李代數的基本知識. 《物理學中的群論: 有限群篇》從物理問題中提煉齣群的概念和群的綫性錶示理論、通過有限群群代數的不可約基介紹楊算符和置換群的錶示理論、引入標量場， 矢量場， 張量場和鏇量場的概念及其函數變換算符、以轉動群為基礎解釋李群和李代數的基本知識和半單李代數的分類、由晶體的平移不變性齣發講解晶體對稱性和晶體的分類. 《物理學中的群論: 有限群篇》附有習題， 與《物理學中的群論: 有限群篇》配套的《群論習題精解》涵蓋瞭習題解答.

目錄

第三版前言
第1章 群的基本概念 1
1.1 對稱 1
1.2群及其乘法錶 2
1.3群的各種子集 14
1.3.1 子群 14
1.3.2陪集和不變子群 14
1.3.3共軛元素和類 17
1.4 群的同態關係 21
1.5正多麵體的固有對稱變換群 23
1.5.1正四麵體、正八麵體和立方體 24
1.5.2 正十二麵體和正二十麵體 27
1.6群的直接乘積和非固有點群 29
1.6.1 群的直接乘積 29
1.6.2 非固有點群 30
習題1 32
第2章群的綫性錶示理論 34
2.1 群的綫性錶示 34
2.1.1綫性錶示的定義 34
2.1.2群代數和有限群的正則錶示 35
2.1.3 類算符 38
2.2標量函數的變換算符 39
2.3等價錶示和錶示的幺正性 44
2.3.1 等價錶示 44
2.3.2 錶示的幺正性 45
2.4有限群的不等價不可約錶示 46
2.4.1 不可約錶示 46
2.4.2 舒爾定理 48
2.4.3 正交關係 49
2.4.4錶示的完備性 51
2.4.5有限群不可約錶示的特徵標錶 53
2.4.6自共軛錶示和實錶示 56
2.5 分導錶示和誘導錶示 57
2.5.1分導錶示和誘導錶示的定義和計算方法 57
2.5.2 D2n+i群的不可約錶示 58
2.5.3 D2n群的不可約錶示 60
2.6 物理應用 61
2.6.1定態波函數按對稱群錶示分類 62
2.6.2剋萊布什-戈登級數和係數 64
2.6.3維格納—埃伽定理 65
2.6.4正則簡並和偶然簡並 66
2.6.5 —個物理應用的實例 68
2.7有限群群代數的不可約基 71
2.7.1有限群正則錶示的約化 71
2.7.2 D3群的不可約基 73
2.7.3 O群的特徵標錶和不可約基 73
2.7.4 T群的特徵標錶和不可約基 75
習題2 75
第3章置換群的不等價不可約錶示 77
3.1置換群的原始冪等元 77
3.1.1理想和冪等元 77
3.1.2原始冪等元的性質 79
3.1.3楊圖、楊錶和楊算符 81
3.1.4楊算符的基本對稱性質 85
3.1.5置換群群代數的原始冪等元 87
3.2置換群不可約錶示的錶示矩陣和特徵標 94
3.2.1置換群不可約錶示的錶示矩陣 94
3.2.2計算特徵標的等效方法 97
3.2.3三個客體的置換群S3 98
3.2.4 I群的特徵標錶 99
3.2.5不可約錶示的實正交形式 100
3.3置換群不可約錶示的內積和外積 103
3.3.1置換群不可約錶示的直乘分解 103
3.3.2置換群不可約錶示的外積 104
3.3.3 Sn+m群的分導錶示 107
習題3 108
第4章三維轉動群和李代數基本知識 110
4.1三維空間轉動變換群 110
4.2李群的基本概念 113
4.2.1李群的組閤函數 113
4.2.2李群的局域性質 114
4.2.3生成元和微量算符 115
4.2.4李群的整體性質 116
4.3三維轉動群的覆蓋群 119
4.3.1 二維幺模幺正矩陣群 120
4.3.2 同態關係 121
4.3.3群上的積分 123
4.3.4 SU(2)群群上的積分 126
4.4 SU(2)群的不等價不可約錶示 127
4.4.1 釀自 127
4.4.2 SU(2)群的綫性錶示 130
4.4.3 0(3)群的不等價不可約錶示 134
4.4.4球函數和球諧多項式 134
4.5 李式定理 139
4.5.1 李氏第一定理 139
4.5.2李氏第二定理 141
4.5.3李氏第三定理 142
4.5.4李群的伴隨錶示 143
4.5.5 李代數 144
4.6半單李代數的正則形式 145
4.6.1基林型和嘉當判據 145
4.6.2半單李代數的分類 147
4.7直乘錶示的約化和鏇量的概念 153
4.7.1 直乘錶示的約化 153
4.7.2矢量場和張量場 157
4.7.3 鏇量場 160
4.7.4總角動量算符及其本徵函數 162
4.7.5 球鏇函數 163
習題4 164
第5章晶體的對稱性 167
5.1晶體的對稱變換群 167
5.2 晶格點群 169
5.2.1點群元素R的可能形式 169
5.2.2晶體的固有點群 170
5.2.3晶體的非固有點群 174
5.3 晶係和布拉菲格子 175
5.3.1晶格矢量應滿足的條件 175
5.3.2三斜晶係 178
5.3.3 單斜晶係 179
5.3.4 正交晶係 180
5.3.5三方晶係和六方晶係 180
5.3.6 四方晶係 184
5.3.7 立方晶係 185
5.4 空間群 188
5.4.1 對稱元 188
5.4.2空間群的符號 190
5.4.3空間群的性質 196
5.5 空間群的不可約錶示 197
5.5.1平移群的不可約錶示 197
5.5.2波矢星和波矢群 199
5.5.3波矢群的不可約錶示 201
5.5.4 晶體中電子的能帶 202
習題5 204
參考文獻 205
索引 211

精彩書摘

第1章群的基本概念
群論是研究係統對稱性質的有力工具.本章首先從係統對稱性質的研究中概括齣群的基本概念，通過一些簡單的和物理中常見的群的例子，使讀者對群有較具體的認識；然後，引入群的各種子集的概念、群的同構與同態的概念和群的直接乘積的概念.對有限群來說，群的全部性質都體現在群的乘法錶中.我們將介紹填寫群乘法錶的方法和如何由群的乘法錶來分析有限群性質.
1.1對稱
對稱是一個人們十分熟悉的用語.世界處在既對稱又不嚴格對稱的矛盾統一之中.房屋布局的對稱給人一種舒服的感覺，但過分的嚴格對稱又會給人死闆的感覺.科學理論的和諧美，其中很大程度上錶現為對稱的美.在現代科學研究中，對稱性的研究起著越來越重要的作用.
我們常說，斜三角形很不對稱，等腰三角形比較對稱，正三角形對稱多瞭，圓比它們都更對稱.但是，對稱性的高低究竟是如何描寫的呢？
對稱的概念是和變換密切聯係在一起的，所謂係統的對稱性就是指它對某種變換保持不變的性質.保持係統不變的變換越多，係統的對稱性就越高.隻有恒等變換，也就是不變的變換，纔保持斜三角形不變.等腰三角形對底邊的垂直平分麵反射保持不變，而正三角形對三邊的垂直平分麵反射都保持不變，還對通過中心垂直三角形所在平麵的軸轉動±2jt/3角的變換保持不變.圓對任一直徑的垂直平分麵的反射都保持不變，也對通過圓心垂直圓所在平麵的軸轉動任何角度的變換保持不變.因為保持圓不變的變換最多，所以它的對稱性最高.
量子係統的物理特徵由係統的哈密頓量(Hamiltonian)決定，量子係統的對稱性則由保持係統哈密頓量不變的變換集閤來描寫.例如，N個粒子構成的孤立係統的哈密頓量為n
其中，rj和mj是第j個粒子的坐標矢量和質量，V]是關於rj的拉普拉斯(Lap?lace)算符，U是兩個粒子間的二體相互作用勢，它隻是粒子間距離的函數.拉普拉斯算符是對坐標分量的二階微商之和，它對係統平移、轉動和反演都保持不變.作用勢隻依賴於粒子間的相對坐標絕對值，也對這些變換保持不變.若粒子是全同粒子，哈密頓量還對粒子間的任意置換保持不變.這個量子係統的對稱性質就用係統對這些變換的不變性來描述。
保持係統不變的變換稱為係統的對稱變換，對稱變換的集閤描寫係統的全部對稱性質.根據係統的對稱性質，通過群論方法研究，可以直接得到許多精確的、與細節無關的重要性質.我們還沒有學習群論方法，還無法用群論方法對係統的復雜對稱性質進行研究，但為瞭使讀者對群論方法有一個直觀的瞭解，下麵舉一個簡單例子說明群論方法的基本思路.
研究一個具有空間反演對稱性的量子係統.係統哈密頓量對空間反演變換保持不變，因而哈密頓量的本徵函數鬥通過空間反演，仍是哈密頓量同一本徵值的本徵函數.用P代錶在空間反演下波函數的變換算符
則對哈密頓量，寸和P寸有相同的本徵值，而且由於哈密頓量是綫性算符，畛和作的任何綫性組閤仍有相同的本徵值.取如下組閤
在空間反演中按式（1.1)變換的波函數這一簡單例子說明，盡管係統哈密頓量可能很復雜，薛定諤方程難以精確求解，但從研究係統的對稱性質著手，可以得到係統某些精確的與細節無關的重要性質(例如，根據對稱性，可確定係統的守恒量)，可對係統的定態波函數進行分類，並可得齣精確的躍遷選擇定則.
1.2群及其乘法錶
保持係統不變的變換稱為係統的對稱變換，係統的對稱性質由對稱變換的集閤來描寫.我們先來研究係統對稱變換集閤的一般性質.按照物理中的慣例，兩個變換的乘積RS定義為相繼做兩次變換，即先做S變換，再做R變換.顯然，兩個對稱變換的乘積仍是係統的對稱變換，三個對稱變換的乘積滿足結閤律.不變的變換，即恒等變換E也是一個對稱變換，它與任何一個對稱變換R的乘積仍是該變換R.對稱變換的逆變換也是係統的一個對稱變換.上述性質是係統對稱變換集閤的共同的性質，與係統的具體性質無關.把對稱變換集閤的這些共同性質歸納齣來，得到群（group)的定義.
定義1.1在規定瞭元素的“乘積”法則後，元素的集閤G如果滿足下麵四個條件，則稱為群.
(1)集閤對乘積的封閉性_集閤中任意兩元素的乘積仍屬此集閤：
(2)乘積滿足結閤律：
(3)集閤中存在恒元E，用它左乘集閤中的任意元素，保持該元素不變：
(4)任何元素R的逆R-1存在於集閤中，滿足
作為數學中群的定義，群的元素可以是任何客體，元素的乘積法則也可任意規定.一旦確定瞭元素的集閤和元素的乘積規則，滿足上述四個條件的集閤就稱為群.係統對稱變換的集閤，對於變換的乘積規則，滿足群的四個條件，因而構成群，稱為係統的對稱變換群.在物理中常見的群大多是綫性變換群、綫性算符群或矩陣群.如果沒有特彆說明，當元素是綫性變換或綫性算符時，元素的乘積規則都定義為相繼做兩次變換；當元素是矩陣時，元素的乘積則取通常的矩陣乘積.
在群的定義中，群元素是什麼客體並不重要，重要的是它們的乘積規則，也就是它們以什麼方式構成群.如果兩個群，它們的元素之間可用某種適當給定的方式一一對應起來，而且元素的乘積仍以此同一方式一一對應（常稱對應關係對元素乘積保持不變)，那麼，從群論觀點看，這兩個群完全相同.具有這種對應關係的兩個群稱為同構（isomorphism).
定義1.2若群G'和G的所有元素間都按某種規則存在一一對應關係，它們的乘積也按同一規則一一對應，則稱兩群同構.用符號錶示，若i?和SeG，紀和S7eG'，R'<~>R，S'<~S，必有R'S'<~RS，則G'《G，其中符號“<~”代錶一一對應，“《”代錶同構.
互相同構的群，它們群的性質完全相同.研究清楚一個群的性質，也就瞭解瞭所有與它同構的群的性質.在群同構的定義裏，元素之間的對應規則沒有什麼限製.但如果選擇的規則不適當，使元素的乘積不再按此規則一一對應，並不等於說，這兩個群就不同構.隻要對某一種對應規則，兩個群符閤群同構的定義，它們就是同構的.
從群的定義齣發，可以證明，恒元和逆元也滿足
第二個式子錶明元素與其逆元是相互的.由此易證群中恒元是唯一的，即若苽隻=R，則E，=E.群中任一元素的逆元是唯一的，即若SR=E，則S二R-1.於是，恒元的逆元是恒元，且{RSr1=S-^R-K作為邏輯練習，習題第1題讓讀者證明這些結論.證明中除瞭群的定義外，不能用以前熟悉的任何運算規則，因為它們不一定適閤群元素的運算.下麵我們認為這些結論已經證明，可以應用瞭.
一般說來，群元素乘積不能對易，RS+SR.元素乘積都可以對易的群稱為阿貝爾（Abel)群.若群中至少有一對元素的乘積不能對易，就稱為非阿貝爾群.元素數目有限的群稱為有限群，元素的數目g稱為有限群的階（order).元素數目無限的群稱為無限群，如果無限群的元素可用一組連續變化的參數描寫，則稱為連續群.
把群的子集，即群中部分元素的集閤n^{RuR2， ，Rm}，看成一個整體，稱為復元素.作為集閤，復元素不關心所包含元素的排列次序，且重復的元素隻取一次.兩復元素相等，即兄=的充要條件是它們包含的元素相同，即兄c《S和San.普通元素和復元素相乘仍是復元素.th是由元素TRj的集閤構成的復元素，而UT則由元素RjT的集閤構成.設5={5i，S2， ，5?}，兩復元素的乘積US是所有形如RjSk的元素集閤構成的復元素.上麵齣現的元素乘積，如TRhRiT和喻，均按群元素的乘積規則相乘.復元素的乘積滿足結閤律.如果復元素的集閤，按照復元素的乘積規則，符閤群的四個條件，也可構成群.
定理1.1(重排定理）設T是群G={E，E，S， }中的任一確定元素，則下麵三個集閤與原群G相同：
用復元素符號錶達為
證明以TG=G為例證明.集閤TG的所有元素都是群G的元素，故TGcG.反之，群G的任意元素R都可錶成R=TiT^R)，而（T-W)是群G的元素，故R屬於rG，GcTG.證完.
對於有限群，群元素數目有限，因此有可能把元素的乘積全部排列齣來，構成一個錶，稱為群的乘法錶(multiplicationtable)，簡稱群錶.為瞭確定起見，對於RS=T，今後稱R為左乘元素，S為右乘元素，而T為乘積元素.乘法錶由下法建立：在錶的最左麵一列，把全部群元素列齣來，作為左乘元素，在錶的最上麵一行，也把全部群元素列齣來，作為右乘元素，元素的排列次序可以任意選定，但常讓左乘元素和右乘元素的排列次序相同，恒元排在第一位.錶的內容有SxS格，每一格填入它所在行最左麵一列的元素R(左乘元素）和它所在列最上麵一行的元素S(右乘元素）的乘積RS.如果恒元排在錶中第一個位置，因它與任何元素相乘還是該元素，故乘法錶內容中第一行和右乘元素相同，第一列和左乘元素相同.由重排定理，乘法錶乘積元素中每一行（或列）都不會有重復元素.乘法錶完全描寫瞭有限群的性質?
對兩個階數相同的有限群，當把群元素分彆按一定次序列在乘法錶上時，實際上已給齣瞭它們元素之間的一種一一對應關係.如果在此對應下，它們的乘法錶完全相同，則此兩群同構.當然，如果由於群元素排列次序選得不適當，本來同構的群也可能看起來似乎有不同的乘法錶.當階數確定後，重排定理大大限製瞭互相不同構的有限群數目.例如，以後我們將證明，階數為相同素數的有限群都同構.
我們先來看二階群和三階群的乘法錶.當把第一列和第一行按左乘元素和右乘元素填完後，重排定理已完全確定瞭錶中剩餘位置的填充，如錶1.1和錶1.2所示.
錶1.1二階群的乘法錶
錶1.2三階群的乘法錶
在二階群中，可讓e代錶恒等變換，a代錶空間反演變換，則此群正是對空間反演不變的係統的對稱變換群，常記為V2.也可讓e代錶數1，a代錶數-1，按普通的數乘積，它們也構成二階群，記為C2.這兩群是同構的，V2《C2，從群論觀點看它們完全相同.三階群中，可設e=1，w=exp(-i2jt/3)和c/=exp(i2jt/3)，按復數的乘積，它們構成三階群，記為C3.
這兩個例子有一個共同的特點，就是群中所有元素都可由其中一個元素的冪次來錶達.二階群中，e=a2；三階群中，o/=w2，e=oA推而廣之，由一個元素R及其冪次構成的有限群稱為由R生成的循環群，N是循環群的階，R稱為循環群的生成元.N階循環群的一般形式是
循環群中元素乘積可以對易，因而循環群是阿貝爾群.循環群生成元的選擇不是唯
一的.例如，三階循環群中W和0/都可作為生成元.循環群的乘法錶有共同的特點，當錶中元素按生成元的冪次排列時，錶的每一行都可由前一行嚮左移動一格得到，而最左麵的元素移到最右麵去.
循環群的一個典型例子是由繞空間固定軸轉動變換構成的群.按右手螺鏇法則，繞軸的正嚮鏇轉2n/N角的轉動記為Cn.由CN生成的循環群，記為CN.此軸常稱為N次固有轉動軸，簡稱N次軸，CN稱為N次固有轉動，簡稱N次轉動.對二次軸不必規定軸的正嚮，因為Ch=C^N次轉動和空間反演a的乘積記為SN，SN=aCN=CNa，稱為N次非固有轉動.由SN生成的循環群記為有時也記為SN，它的階數g根據N是偶數或奇數，分彆是N或2N.此轉動軸稱為N次非固有轉動軸.
既然有限群的元素數目是有限的，那麼有限群任一元素的自乘，當冪次足夠高時必然會有重復.由群中恒元唯一性知，有限群任一元素自乘若乾次後必可得到恒元.若iT1=五，n是R自乘得到恒元的最低冪次，則n稱為元素R的階，R生成的循環群稱為R的周期.恒元的階為1，其他元素的階可以相等，也可以不相等，但都大於1.不同元素的周期也可

前言/序言

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