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內容簡介

本書係統介紹瞭隨機拋物型、雙麯型和橢圓型方程的有限元分析方法，全書共6 章。第1 章是預備知識，包括Banach 空間和Hilbert 空間中的幾類有界綫性算子、Sobolev 空間基本理論、算子半群、有限元方法的基礎理論，以及窮維隨機積分的基本概念和性質；第2 章介紹隨機拋物型方程的有限元分析方法，其中包括確定性拋物方程有限元方法理論分析、自伴算和非自伴算子隨機拋物方程的有限元分析方法；第3 章對經典的隨機Navier-Stokes 方程進行有限元分析和後驗誤差估計，重點介紹瞭後驗誤差估計方法；第4 章以分彆帶有Q-Wiener 過程噪聲項和帶有Brownian 片噪聲項的兩類隨機彈性方程為例，介紹雙麯型隨機偏微分方程的有限元理論分析方法；第5 章以隨機Poisson 方程和隨機Stokes 方程為例，介紹橢圓型隨機偏微分方程的有限元理論分析方法；第6 章介紹隨機積分微分方程有限元理論分析方法。

作者簡介

楊小遠，北京航空航天大學數學與係統科學學院教授，《IEEE Transactions on Signal Processing》《Information Sciences》、《IEEE Transactions on Image Processing》、《International Journal of Computer Mathematics》、《IET Signal Processing》、《IET Control Theory ＆ Applications》審稿人。

目錄

第 1 章 基礎知識 ???????????????? 1
1．1 Banach空間和Hilbert空間上的有界綫性算子 ? ? 1
1．1．1 度量空間 ????????????????? 1
1．1．2 綫性算子與綫性泛函 ?? ? 4
1．1．3 核算子與Hilbert-Schmit算子 ?? ????? 7
1．2 Sobolev空間 ???????????????? 10
1．2．1 廣義導數與Sobolev空間 ?????????? 11
1．2．2 Sobolev空間嵌入定理 ??????????? 14
1．2．3 跡定理 ????????????????? 15
1．2．4 Sobolev空間中的等價模定理 ???? ??? 17
1．2．5 Sobolev空間中的內插理論 ???????? 18
1．2．6 Gronwall引理 ?????????????? 19
1．3 算子半群 ???????????????? 21
1．3．1 抽象函數 ??????????????? 21
1．3．2 算子半群基本概念 ???????????? 25
1．3．3 C0半群 ????????????????? 26
1．3．4 解析半群與算子的分數次冪 ???????? 31
1．3．5 半群的擾動和逼近 ??????????? 33
1．4 有限元方法基本理論 ?????? ???? 35
1．4．1 變分原理 ???????????????? 35
1．4．2 有限元離散與插值誤差估計 ????????? 39
1．4．3 發展方程的有限元方法 ??????????? 45
1．5 隨機積分 ?????????? ?????? 46
1．5．1 概率空間 ???????? ?????? 46
1．5．2 隨機變量與Bochner積分 ?????????? 48
1．5．3 條件期望與獨立性 ???????????? 52
1．5．4 Gaussian測度 ?????????????? 53
1．5．5 隨機過程與鞅 ???????? ????? 54
1．5．6 關於＆#119876;-Wiener過程的隨機積分 ??????? 57
第 2 章 隨機拋物方程有限元方法 ????????? 63
2．1 拋物方程有限元方法理論分析 ???????? 63
2．1．1 空間半離散格式的誤差估計 ???????? 63
2．1．2 全離散格式的有限元誤差估計 ??????? 69
2．2 自伴算子隨機拋物方程有限元方法 ?????? 72
2．2．1 空間半離散格式的誤差估計 ???????? 72
2．2．2 全離散格式的有限元誤差估計 ??????? 76
2．3 非自伴算子隨機拋物方程有限元方法 ????? 83
2．3．1 空間半離散格式的誤差估計 ???????? 83
2．3．2 全離散格式的有限元誤差估計 ??????? 93
2．4 研究進展評述 ????????????????99
第 3 章 隨機Navier-Stokes方程的有限元分析與後驗誤差估計 ???? 103
3．1 方程的理論分析 ???????????? ???????? 103
3．2 有限元誤差估計 ?????????????????????? 105
3．2．1 時間半離散格式的誤差估計 ???????????????? 105
3．2．2 全離散格式的有限元誤差估計 ??????????????? 118
3．3 後驗誤差估計 ??????????????????????? 124
3．3．1 加權Clement-type插值算子 ???????????????? 124
3．3．2 空間半離散格式的後驗誤差估計 ?????????????? 127
3．3．3 全離散格式的後驗誤差估計 ???????????????? 135
3．4 研究進展評述 ??????????????????????? 141
第 4 章 隨機彈性方程有限元方法 ???????????????? 143
4．1 彈性方程有限元方法理論分析 ???????????????? 143
4．1．1 彈性方程解的定性分析 ?????????????????? 143
4．1．2 基於C1元的彈性方程半離散有限元方法 ???? ?? 146
4．1．3 基於C1元的彈性方程全離散有限元方法 ??????? 148
4．1．4 基於C0元的彈性方程半離散有限元方法 ??????? 151
4．1．5 基於C0元的彈性方程全離散有限元方法 ??????? 154
4．2 帶有＆#119876;-Wiener過程噪聲項的隨機彈性方程有限元方法 ??157
4．2．1 隨機彈性方程解的性質 ?????????????? 157
4．2．2 基於C1元的隨機彈性方程半離散有限元方法強誤差估計 ? 159
4．2．3 基於C1元的隨機彈性方程全離散有限元方法強誤差估計 ? 162
4．2．4 基於C0元的隨機彈性方程半離散有限元方法強誤差估計 165
4．2．5 基於C0元的隨機彈性方程全離散有限元方法強誤差估計 ? 166
4．2．6 隨機彈性方程有限元方法的弱誤差估計 ???????? 168
4．3 帶有Brownian片噪聲項的隨機波動方程和隨機彈性方程有限元方法 173
4．3．1 兩類隨機雙麯方程的統一錶示形式 ?????????????173
4．3．2 方程的正則化 ??????????????????? ? 175
4．3．3 正則化方程誤差估計 ?????????????????? 176
4．3．4 隨機指數積分法 ???????????????????? 180
4．3．5 全離散有限元逼近 ???????????? 183
4．4 研究進展評述 ??????????????? 192
第 5 章 隨機橢圓型方程有限元方法 ?????? 195
5．1 橢圓方程的Green函數 ?????????? 195
5．2 隨機橢圓方程有限元方法 ???????? 198
5．2．1 方程的正則化 ??????????? 199
5．2．2 有限元誤差估計 ?????????? 204
5．3 隨機Stokes方程非協調有限元方法 ???? 206
5．3．1 隨機Stokes方程Green函數的性質 ??? 206
5．3．2 白噪聲的正則化 ??????????? 210
5．3．3 非協調有限元逼近 ?????????? 213
5．4 研究進展評述 ????????????? 218
第 6 章 隨機積分微分方程有限元方法 ???? 221
6．1 隨機積分微分方程的理論分析 ?????? 221
6．1．1 問題的陳述 ????????????? 221
6．1．2 積分微分方程的預解係 ???????? 223
6．1．3 隨機積分微分方程溫和解的存在性和唯一性 ????? 227
6．2 空間半離散格式的誤差估計 ????????????? 230
6．3 全離散格式的有限元誤差估計 ???????????? 235
6．4 研究進展評述 ??????????????????? 242
參考文獻 ??????????????????????? 243

前言/序言

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理論比較多，數值沒有。不知道為什麼

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很好的一本教材，用來提高基礎知識部分，多讀幾遍，受益匪淺

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偏微分方程的非標準混閤有限元方法........

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