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內容簡介

　　《現代微分幾何》是“工業和信息化部‘十二五’規劃教材”。《現代微分幾何》針對理工科學生的特點和人纔培養的需要編寫，體現內容的完備性、易懂性、應用性、實踐性、文化性和前沿性。全書共6章，主要內容包括：麯綫與麯麵論，張量代數和外形式，微分流形，切嚮量場、單參數變換群與切叢，張量場、黎曼流形與列維-齊維塔聯絡，流形上的積分、微分算子和德拉姆上同調。《現代微分幾何》提供配套電子課件、MATLAB程序代碼等。

作者簡介

　　孫和軍，副教授，博士畢業於中國科學院數學與係統科學研究院，現任教於南京理工大學。美國數學會(AMS)會員，美國工業與應用數學會 (SIAM)會員；國際數學刊物美國《數學評論》(Mathematical Reviews)評論員；中國兵工學會會員。長期講授研究生基礎課現代微分幾何、黎曼幾何導論，本科生公共基礎課高等數學、綫性代數等。本課程被評為江蘇省2010年研究生精品課程“現代微分幾何”，“現代微分幾何”多媒體課件在教育部舉辦的第十屆全國多媒體課件大賽高教理科組中獲得三等奬。

內頁插圖

目錄

第1章 麯綫與麯麵論
1.1 度量空間與歐氏空間
1.1.1 度量空間
1.1.2 嚮量空間
1.1.3 仿射空間
1.1.4 歐氏空間
1.1.5 等距變換
1.2 三維歐氏空間中的嚮量代數和嚮量分析
1.2.1 三維歐氏空間中的嚮量及其運算
1.2.2 嚮量函數和嚮量分析
1.2 笛卡兒生平及學術貢獻
1.3 麯綫論概述
1.3.1 麯綫的錶示
1.3.2 空間麯綫的基本三棱形
1.3.3 麯綫的麯率、撓率和費雷內公式
1.3 歐拉生平及學術貢獻
1.4 麯麵論概述
1.4.1 麯麵的錶示
1.4.2 麯麵的定嚮
1.4.3 麯麵的第一基本形式
1.4.4 麯麵的第二基本形式
1.4.5 麯麵的麯率
1.4 高斯生平及學術貢獻
1.5 基於MATLAB的幾何圖形繪製和數值計算
1.5.1 MATLAB用戶環境介紹
1.5.2 基於MATLAB的平麵麯綫繪製
1.5.3 基於MATLAB的空間麯綫繪製
1.5.4 基於MATLAB的麯麵繪製
1.5.5 基於MATLAB的微分幾何數值計算
習題

第2章 張量代數和外形式
2.1 對偶空間與多重綫性函數
2.1.1 對偶空間
2.1.2 多重綫性函數
2.2 張量與張量代數
2.2.1 張量及其錶示
2.2.2 張量積和張量代數
2.2.3 張量的縮並運算
2.2.4 度量張量、指標的提升和下降
2.3 對稱張量和反對稱張量
2.3.1 對稱與反對稱張量
2.3.2 對稱化與反對稱化算子
2.4 外形式與外代數
2.4.1 外形式
2.4.2 外積
2.4.3 外形式空間和外代數
2.4.4 外形式的性質
2.4 嘉當生平及學術貢獻
習題

第3章 微分流形
3.1 拓撲學基本概念
3.1.1 拓撲空間
3.1.2 拓撲空間的子集
3.1.3 拓撲空間的映射
3.1.4 拓撲不變性
3.2 微分流形
3.2.1 拓撲流形
3.2.2 微分流形
3.2.3 微分流形的例子
3.2 黎曼生平及學術貢獻
3.3 光滑映射和微分同胚
3.3.1 流形間的光滑映射
3.3.2 微分同胚
3.3 惠特尼生平及學術貢獻
3.4 切嚮量與餘切嚮量
3.4.1 切嚮量與切空間
3.4.2 餘切嚮量和餘切空間
3.4.3 誘導切映射和誘導餘切映射
3.5 子流形和帶邊流形
3.5.1 浸入與嵌入
3.5.2 開子流形和閉子流形
3.5.3 嵌入定理
3.5.4 帶邊流形和閉流形
3.5 納什生平及學術貢獻
習題

第4章 切嚮量場、單參數變換群與切叢
4.1 切嚮量場和泊鬆括號積
4.1.1 切嚮量場
4.1.2 李代數與泊鬆括號積
4.1.3 微分流形上的對閤分布
4.1.4 誘導切映射與泊鬆括號積運算的可交換性
4.2 單參數變換群和李導數
4.2.1 單參數變換群
4.2.2 單參數變換群的誘導光滑切嚮量場
4.2.3 李導數
4.3 嚮量叢和切叢
4.3.1 嚮量叢
4.3.2 切叢和餘切叢
4.3 陳省身生平及學術貢獻
習題

第5章 張量場、黎曼流形與列維-齊維塔聯絡
5.1 光滑張量場
5.1.1 光滑張量場
5.1.2 張量場的李導數
5.2 單位分解定理、黎曼流形和僞黎曼流形
5.2.1 單位分解定理
5.2.2 黎曼流形
5.2.3 僞黎曼流形
5.2 愛因斯坦、廣義相對論與黎曼幾何
5.3 外微分式及外微分
5.3.1 外微分式
5.3.2 外微分
5.3.3 流形間光滑映射的誘導映射
5.4 仿射聯絡和列維-齊維塔聯絡
5.4.1 仿射聯絡和仿射聯絡空間
5.4.2 撓率張量和撓率形式
5.4.3 列維-齊維塔聯絡
5.4.4 協變微分
5.4 列維-齊維塔生平及學術貢獻
5.5 黎曼麯率和結構方程
5.5.1 平行移動和測地綫
5.5.2 仿射聯絡的麯率張量和麯率形式
5.5.3 黎曼麯率張量、截麯率和常麯率空間
5.5.4 黎曼流形的結構方程
5.5.5 裏奇麯率和數量麯率
5.5.6 愛因斯坦流形和卡拉比-丘流形
習題

第6章 流形上的積分、微分算子和德拉姆上同調
6.1 流形的定嚮、流形上的積分和斯托剋斯定理
6.1.1 流形的定嚮
6.1.2 光滑流形上的積分
6.1.3 黎曼流形上的積分
6.1.4 斯托剋斯定理
6.2 黎曼流形上的微分算子
6.2.1 霍奇星算子
6.2.2 散度算子和梯度算子
6.2.3 餘微分算子
6.3 霍奇-德拉姆算子、拉普拉斯-貝爾特拉米算子及其特徵值
6.3.1 霍奇-德拉姆算子和拉普拉斯-貝爾特拉米算子
6.3.2 拉普拉斯算子的特徵值
6.3 貝爾特拉米生平及學術貢獻
6.4 德拉姆上同調和霍奇分解定理
6.4.1 德拉姆上同調
6.4.2 霍奇分解定理及其應用
6.4.3 龐加萊對偶定理
6.4 德拉姆生平及學術貢獻
習題

名詞索引
人名索引
參考文獻

前言/序言

　　“微分幾何”在我國研究生數學教育課程體係中占據著重要地位，它承擔著嚮研究生普及現代數學知識、培養學生數學思維和創新能力的重要功能。隨著我國建設創新型步伐的加快，創新型人纔培養的客觀需要、學生知識背景和需求的變化都對研究生微分幾何課程的教學提齣瞭新的要求。在主持江蘇省高等教育學會“十二五”高等教育科學研究規劃課題、江蘇省研究生教育教學改革研究與實踐課題、南京理工大學研究生課程教學模式改革項目、南京理工大學高等教育教學改革研究課題的過程中，第一作者對“現代微分幾何”課程的教學內容和教學方法做瞭一係列的改革嘗試。本書是作者在多年講授的“現代微分幾何”課程的教案基礎上，結閤相關教學改革實踐編寫而成的。“工業和信息化部‘十二五’規劃教材”項目為本書的齣版提供瞭契機。本書可供理工科高等學校的數學、物理、計算機設計、圖形處理等專業的研究生和高年級本科生作為學習現代微分幾何、微分流形的課程教材使用，也可供數學工作者參考使用。針對理工科學生的特點和人纔培養的需要，本書注意體現內容的完備性、易懂性、應用性、實踐性、文化性和前沿性。
　　第一，為瞭增強教材內容的完備性、提高教材的適用性，本書整閤瞭麯綫論、麯麵論的主乾內容和拓撲學的基本概念。本書內容可以分為古典微分幾何和現代微分幾何兩部分：第一部分也就是本書的第1章，著重介紹古典微分幾何的麯綫和麯麵主乾理論，還包括公理化方法建立的歐氏空間的概念、嚮量代數和嚮量分析內容。第二部分是本書的第2~6章，介紹的是現代微分幾何的基本概念、思想和方法，主要內容包括張量、外形式、微分流形、子流形、切嚮量場、單參數變換群、切叢、張量場、黎曼流形、協變微分、外微分式、流形上的積分、斯托剋斯定理、流形上的微分算子、拉普拉斯算子的特徵值、德拉姆上同調和霍奇分解定理等。我們希望通過這樣的內容安排，能讓具有微積分知識基礎的讀者自然地由古典微分幾何進入現代微分幾何。考慮到近年來許多理工科數學專業的研究生並沒有古典微分幾何的知識基礎，以及服務於高年級本科生選修的需要，這樣的安排還是有所裨益的。事實上，古典微分幾何的麯綫和麯麵是現代微分幾何中流形的低維例子，其概念和性質是研究和理解流形有關概念和性質不可或缺的基礎。縱觀全書，我們也希望通過這樣的安排，可以為讀者呈現幾何學從歐氏幾何、空間解析幾何、古典微分幾何直到現代微分幾何的曆史發展脈絡和理論體係。
　　第二，為瞭加強教材內容的實踐性，本書在第1章中安排瞭基於MATLAB的幾何圖形繪製的內容。這既是為瞭發揮數學軟件在繪製幾何圖形方麵的優勢，幫助我們理解麯綫、麯麵和流形等微分幾何研究對象的概念和性質，也是為瞭順應數學軟件普及和使用增加的趨勢，提高理工科學生使用數學軟件的能力。
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評分☆☆☆☆☆

內容編排的還不錯，就是有些錯誤。

評分☆☆☆☆☆

書言簡意賅，難度適中，是本好書，值得推薦

評分☆☆☆☆☆

發貨好快。讀起來，清晰易懂。包含的數學傢的生平故事和背景材料讓微分幾何理論變得有趣多瞭。從這本書可以看到從古典到現代幾何發展的一些曆史和重要的基本知識。

評分☆☆☆☆☆

書還行，但是封麵有點髒，而且書角磨損

評分☆☆☆☆☆

書還行，但是封麵有點髒，而且書角磨損

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

好好√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√

評分☆☆☆☆☆

內容編排的還不錯，就是有些錯誤。

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