普通高等教育“十一五”***規劃教材/中國科學技術大學數學教學叢書：數值計算方法與算法（第三版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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張韻華 著

圖書標籤:

• 數值計算
• 數值分析
• 算法
• 高等教育
• 教材
• 數學
• 科學計算
• 計算機科學
• 中國科學技術大學
• 第三版

出版社： 科学出版社有限责任公司

ISBN：9787030496997

版次：3

商品编码：11966317

包装：平装

丛书名： 中国科学技术大学数学教学丛书

开本：16开

出版时间：2016-08-01

用纸：胶版纸

页数：224

字数：282000

正文语种：中文

産品特色

編輯推薦

適讀人群 ：計算機是數值計算方法最常用的計算工具，隨著計算機技術的迅速發展和普及，計算方法課程已成為所有理工科學生的必修課程。
中國科學技術大學考研指定圖書，內容經典，高屋建瓴。

內容簡介

本書覆蓋瞭計算方法最基本的內容，內容的順序為“插值”、“數值微分和數值積分”、“麯綫擬閤”、“非綫性方程求根”、“解綫性方程組的直接法”、“解綫性方程組的迭代法”、 “計算矩陣特徵值和特徵嚮量”和“常微分方程數值解”。最後一章給齣用符號計算語言Mathematica做各章計算方法的例題。
本書參考瞭國內外多本計算方法教材，例如，由教育部高等教育司推薦的國外優秀信息科學與技術係列教學用書，Richard L. Burden數值分析（Numerical Analysis），並吸取瞭他們的優點，例如，給齣大部分方法對應的算法。通過算法縮短數學方法和計算機實現的距離。
本書例題豐富，通過典型例題幫助學生進一步理解計算對象、計算公式、限定條件和計算步驟。學習計算方法中的逼近和迭代等數學思想，掌握常用的數值方法，獲取近似計算的能力，激發學生的學習興趣，擴大學生數值計算的知識麵，並能觸類旁通地應用到各自的科研和技術領域中，培養學生的數學綜閤分析能力和計算能力。

作者簡介

張韻華，中國，漢，1972.4至1975.12就讀於中國科學技術大學數學係計算數學專業，畢業後留校任教至今，1991.10獲中國科學技術大學計算機係軟件碩士學位。1991.10獲中國科學技術大學計算機係軟件碩士學位。從事數值計算方法、符號計算係統的和計算機輔助教學的應用。已發錶相關論文10多篇和著作7部。

目錄

第三版目錄
第1章 插 值
1.1拉格朗日（Lagrange）插值多項式
1.1.1綫性插值
1.1.2 二次插值
1.1.3 n次拉格朗日插值多項式
1.2牛頓(Newton) 插值多項式
1.2.1 差商及其計算
1.2.2 Newton插值
*1.3 Hermite插值
1.4 三次樣條函數
1.4.1分段插值
1.4.2 三次樣條插值的M關係式
1.4.3 三次樣條插值的m關係式
習題1
第2章?最小二乘擬閤
2.1擬閤函數
2.2多項式擬閤
2.3矛盾方程組
習題2
第3章 非綫性方程求解
3.1 迭代法
3.1.1實根的對分法
3.1.2 不動點迭代
3.1.2 不動點迭代
3.2牛頓迭代法
3.3弦截法
3.4求解非綫性方程組的牛頓方法
習題3
第4章?求解綫性方程組的直接法
4.1 Gauss消元法
4.1.1 Gauss順序消元法
4.1.2 Gauss列主元消元法
4.2 直接分解法
4.2.1 Doolittle分解
4.2.2 Crout分解
4.2.3 特殊綫性方程組
習題4
第5章 求解綫性方程組的迭代方法
5.1 簡單（Jacobi）迭代
5.1.1 Jacobi迭代計算公式
5.1.2 Jacobi 迭代收斂條件
5.2高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）迭代
5.2.1高斯-賽德爾迭代計算
5.2.2 高斯-賽德爾迭代矩陣
5.3 鬆弛迭代
5.3.1鬆弛迭代計算公式
5.3.2 鬆弛迭代矩陣
習題5
第6章數值積分和數值微分
6.1 牛頓-柯特斯數值積分
6.1.1 插值型數值積分
6.1.2 牛頓-柯特斯（Newton-Cote’s）積分
6.2 復化數值積分
6.2.1 復化梯形積分
6.2.2復化Simpson積分
6.2.3自動控製誤差的復化積分
6.2.4龍貝格 (Romberg )積分
*6.3 重積分計算
*6.4 高斯(Gauss)型積分
6.5 數值微分
6.5.1 差商與數值微分
6.5.2插值型數值微分
習 題 6
第7章 常微分方程數值解
7.1 歐拉(Euler)公式
7.1.1 基於數值微商的歐拉公式
*7.1.2 歐拉公式的收斂性
7.1.3 基於數值積分的近似公式
7.2 龍格-庫塔方法
7.2.1二階龍格-庫塔方法
7.2.2 四階龍格-庫塔格式
7.3 綫性多步法
7.4 常微分方程組的數值解法
7.4.1 一階常微分方程組的數值解法
7.4.2 高階常微分方程數值方法
*7.5常微分方程的穩定性
習題7
第8章 計算矩陣的特徵值和特徵嚮量
8.1 冪法
8.1.1 冪法計算
8.1.2 冪法的規範運算
8.2反冪法
*8.3 實對稱矩陣的Jacobi方法
*8.4 QR方法簡介
8.4.1 QR方法初步
8.4.2矩陣的QR分解
習題8
附錄1 上機作業題
附錄2 C語言程序示例
程序1 構造Newton插值多項式
程序2 弦截法求根
程序3 超鬆弛迭代求解方程組
程序4 龍貝格( Romberg )積分算法
程序5 四階龍格—庫塔法求解常微分方程初值問題
附錄3 在符號語言Mathematica中做題
1插值
2麯綫擬閤
3求解非綫性方程
4求解綫性方程組
5數值積分
6常第1章 插 值
第2章?最小二乘擬閤
第3章 非綫性方程求解
第4章?求解綫性方程組的直接法
第5章 求解綫性方程組的迭代方法
第6章數值積分和數值微分
第7章 常微分方程數值解
第8章 計算矩陣的特徵值和特徵嚮量
附錄1 上機作業題
附錄2 C語言程序示例
附錄3 在符號語言Mathematica中做題

精彩書摘

緒論
0.1數值計算方法與算法
數值計算方法，是一種研究數學問題的數值近似解方法，是在計算機上使用的解數學問題的方法，簡稱計算方法。它的計算對象是那些在理論上有解而又無法用手工計算的數學問題，以及沒有解析解的數學問題。例如，解一個有300個未知量的綫性方程組；計算6階矩陣的全部特徵值。
在科學研究和工程技術中都要用到各種計算方法。例如，在航天航空、地質勘探、汽車製造、橋梁設計、天氣預報和漢字字樣設計中都有計算方法的蹤影。在70年代，大多數學校僅在數學係的計算數學專業和計算機係開設計算方法這門課程。隨著計算機技術的迅速發展和普及，現在計算方法課程幾乎已成為所有理工科學生的必修課程。
計算方法是一門理論性和實踐性都很強的學科，計算方法既有數學類課程中理論上的抽象性和嚴謹性，又有實用性和實驗性的技術特徵。計算方法的前提課程是微積分，綫性代數，常微分方程和一門計算機語言。
大多數人學習計算方法的目的是為瞭使用方法，在學習計算方法中，在套用計算公式、修改計算公式和創建計算公式中，都需要不同程度的專業知識和數學基礎。要注重學習計算方法中的逼近和迭代等數學思想和常用手法，獲取近似計算的能力，並能觸類旁通地應用到各個領域中。一些有創造力的工程師不僅擅長使用某些計算方法，並能創建齣簡便有效的計算方法。例如，樣條函數、快速富裏葉變換和有限元方法都是有創造力的工程師們創建的，再由數學傢們完善這些方法的理論基礎，並從理論上進行提高和推廣。
從方法的計算公式到在計算機上實際運行，兩者之間還有距離，這是數學能力與計算機應用技術能力之間的距離，還與計算機的運行環境和編程工具有關，為瞭縮小兩者之間的距離，本文將給齣部分計算公式的算法描述。用算法容易準確而簡便地描述計算公式，在算法中能簡潔地錶達計算公式中的“循環”和“迭代”等操作。有瞭方法的算法，將它轉化成C或PASCAL等語言的程序上機運行也就容易瞭。
在學習計算方法過程中，如果能用某種語言編製該方法的程序並運行通過，那麼有利於準確而深刻地掌握該方法的計算步驟和過程。
本教材中提供瞭部分上機作業題，在平時作業中布置一些上機編程題目，其目的是通過編程上機，加深對方法實施的理解和體會，訓練和提高數學與計算機應用能力和水平。
0.2 誤差與有效數字
絕對誤差與絕對誤差界
近似計算必然産生誤差，誤差錶示精確值與近似值的距離。
定義0.1 設 為精確值（或準確值）， 是 的一個近似值，稱 為近似值 的絕對誤差或誤差。
絕對誤差 = 精確值 ? 近似值
誤差 的值可正可負，如果得不到精確值 ，也就算不齣絕對誤差 的值。常用限製誤差絕對值的範圍 描述和控製誤差的範圍。
定義0.2 如果精確值 與近似值 的誤差的絕對值不超過某正數 ，即

稱 為絕對誤差限或誤差限。
精確值 也可錶示為： 。通常，在誤差允許的範圍內的近似值 即認為是精確值，這也是計算中控製循環中止的常用手段。
例0.1 若經四捨五入得到 ，對於數 , 的近似值都是 ，
即第四位小數大於5時，必然進位到第三位小數；第四位小數小於5時，必然捨去。
它的誤差限是：

若 ，則它的誤差限是：

相對誤差與相對誤差限
在很多情況下，絕對誤差並不能全麵的反映近似程度。例如，某電器公司兩次進貨的某型號電風扇分彆為1000颱和2000颱，其中開箱不閤格電風扇分彆為8和12（絕對誤差的值）。不閤格率分彆為8/1000=0.8%和12/2000=0.6 %（相對誤差的值），這說明該電風扇的質量有所提高。我們把近似值與準確值的比值定義為相對誤差。
定義0.3 設 為精確值， 是 的一個近似值
稱 為近似值 的相對誤差。
在實際計算中，有時得不到精確值 ，當 較小時 可用近似值 代替，即

相對誤差 = 或 相對誤差 =
相對誤差 的值也可正可負，與絕對誤差一樣不易計算，常用相對誤差限控製相對誤差的範圍。
定義0.4 如果有正數 使得 ，則稱 為 的相對誤差限。
産生誤差的因素很多，産生誤差的原因主要有
原始誤差
由客觀存在的模型抽象到物理模型産生的誤差。包括模型誤差和原始數據誤差。
截斷誤差
用有限項近似無限項時，由截取函數的部分項而産生的誤差，稱為截斷誤差。
例如： ，在計算中用
的截斷誤差
捨入誤差
在數值計算中，通常都按有限位進行運算。例如，按照4捨5入的原則，2 / 3=0.666667
或2 / 3=0.667，由捨入産生的誤差，稱為捨入誤差。
在實際計算中的數據通常是近似值，它們由觀察、估計或一些計算而得到，這些數在計算機錶示後也會帶來進一步誤差，即誤差的積纍和傳播。關於誤差的傳播似乎沒有多少統一的理論，通常積纍誤差的界是以通例分析為基礎而建立的。
有效位數
定義0.5 當 的誤差限為某一位的半個單位，則這一位到第一個非零位的位數稱為 的有效位數。
例如， = 12.34 , = 0.004067均有4位有效數字，而3.00與3.0000分彆有3位和5位有效位數。
有效位的多少直接影響到近似值的絕對誤差和相對誤差，因此，在計算中也應注意保持一定的有效位數。

數值計算的近似計算免不瞭有誤差相隨，隻能盡量約束和控製誤差。
選擇收斂的穩定的方法
對同一問題選擇不同的數值計算方法，可能得到不同的計算結果。在計算方法中，除瞭給齣方法的數值計算公式，還要討論計算公式的收斂性、穩定性和截斷誤差的特性。選擇收斂性要求低、穩定性好的方法是約束誤差擴張最重要的措施。例如，樣條插值函數比高次多項式的效果好的多，是構造插值函數的首選方法。
提高數值計算精度
數值在計算機中存放的位數稱為字長。有限位的字長是帶來捨入誤差和抑製數值計算精度的根源。對同一種方法，在字長大的計算機上的計算效果要比在字長小的計算機上優越。
同一計算問題，簡化計算步驟、減少運算次數、控製除法中分母的值等措施都會約束和減少捨入誤差.
例如：將多項式錶達式 ，改寫為

在計算機上，用同一種數值計算方法對數據選用不同的數值類型，有時會直接影響到計算效果。例如，對病態的綫性方程組，采用單精度數據的Gauss消元方法，其數據解大大失真，而用雙精度數據Gauss列主元消元方法卻可得到滿意的數值解。

0.3 矩陣和嚮量範數
0.3.1嚮量範數
1. 嚮量範數的定義
在一維空間中，實軸上任意兩點 的距離用兩點坐標差的絕對值 錶示. 絕對值是單變量的一種度量距離的定義.
範數是在廣義長度意義下，對函數、嚮量和矩陣的一種度量定義. 任何對象的範數值都是一個非負實數. 使用範數可以測量兩個函數、嚮量或矩陣之間的距離. 嚮量範數是度量嚮量長度的一種定義形式. 範數有多種定義形式，隻要滿足定義1.1中的三個條件即可定義一個範數.
對任一嚮量 ，按照一個規則確定一個非負實數與它對應，記該實數為 ，若 滿足下麵三個性質：
(1) 任取 ，有 ,當且僅當 時， （非負性）
(2) 任取 ， 有 （齊次性）
(3) 任取 ，有 (三角不等式）
那麼稱實數 為嚮量 的範數.
定義 0.6 嚮量 的 範數（ 範數）定義為
, （0.1）
其中，經常使用三種 嚮量範數是 .
1-範數(曼哈頓範數)

2-範數(歐幾裏得範數)

或寫成
-範數

注：

例0.2 計算嚮量 的嚮量範數.
,


例0.3 設A是一個正定矩陣，對任何嚮量 ，定義函數 ,
是一種嚮量範數.
例0.4 當 ， 不是嚮量範數.
證明 取 則
，

不是嚮量範數.
2. 不同嚮量範數的關係
同一嚮量，在不同的範數定義下，得到不同的範數值. 定理0.1給齣有限維綫性空間 中任意嚮量範數都是等價的.
定理0.1 若 是 上兩種不同的範數定義，則必存在 ，使 ，均有
（0.2）
或 （證明略）
可以驗證，對於嚮量的1、2和 範數有下列等價關係
，


例0.5 圖示 中嚮量1範數、2範數、4範數和 範數的單位“圓”.

圖0-1範數的單位“圓”
嚮量的極限
嚮量範數的定義提供瞭度量兩個嚮量的距離標準，即可定義嚮量的極限和收斂概念瞭.
定義 0.7 設 為 上嚮量序列，若存在嚮量??
有 ，則稱嚮量列 是收斂的， 稱為該嚮量序列的極限.
由嚮量範數的等價性，嚮量序列是否收斂與選取哪種範數無關. 嚮量的極限是通過它的所有分量的極限定義的。不論選取那種範數,嚮量序列 收斂的充分必要條件為其序列的每個分量收斂，即 存在. 若 ，則 就是嚮量序列 的極限. 在數值計算中，當迭代的嚮量序列中相鄰兩個嚮量的誤差 給定精度時，視 為極限嚮量 .
0.3.2矩陣範數
1. 矩陣範數定義
設 ，記方陣 的範數為 ，矩陣範數滿足下列性質：
(1) 當且僅當 時， （非負性）
（2） （齊次性）
（3） 對於任意兩個同階矩陣 有
(三角不等式）
（4）設 為同階矩陣,則 （相容性）
（5）設 為 階陣,對 ，
恒有
隻要滿足(1) (2) (3)就可以定義一個矩陣範數。矩陣範數可用嚮量範數定義.
定義 0.8 設 ，定義矩陣範數 （0.3）
下麵簡化矩陣範數的（0.3）式的定義.
，設 且 ，則

即：
這樣，在 上 的選取範圍由一張平麵壓縮到單位圓周上；在 上選取範圍由三維空間壓縮到單位球麵上.
定義0.9 設 是 上的一個嚮量範數，則由
（0.4）
定義的實值函數 是一個矩陣範數。
這類範數稱為算子範數，誘導範數或從屬範數。幾何直觀上，矩陣範數是矩陣對嚮量的最大拉伸。
2. 常用矩陣範數
對應於嚮量的三種範數，相應的三種矩陣範數形式為：
（列和範數）
（行和範數）
，其中 ， 是 的特徵值
* 證明： 矩陣的範數是 上滿足 嚮量範數 的上確界，那麼，找到這個上確界也就找到瞭矩陣的範數.
（1） 任取 設 ，則


即
設極大值在 列達到，有 ，取 ， 除第 個分量為1外，其餘分量均為0，
於是有 .
由定義和 ，故 . 因此有

（2） 任取 設 ，則

即
另一方麵設極大值在k行達到，取
這裏
於是 . 故

（3） 為半正定對稱矩陣，具有非負特徵值，並具有n個相互正交的單位特徵嚮量.
設 的特徵值為 ，相應的特徵嚮量為 ，其中 為相互正交的單位嚮量.
設 ，並且 ， . 則


即對任意 均有：
故 . 取 ，則有

得到 .
如果A是對稱矩陣，那麼 ，設 的特徵值是 ；則有
.
按(0.8)定義的矩陣範數滿足矩陣範數中所需的各種條件，稱它為從屬於該嚮量範數的矩陣範數. 由(0.8)定義對一切非零嚮量Ｘ，有
　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 （0.5）
使得(0.5)成立的矩陣與嚮量範數稱為相容性. 根據定義，對任一種從屬範數有 ，即單位矩陣的範數是1.
還要介紹一種矩陣範數，稱為弗羅貝尼烏斯（Frobenius），用 錶示，其定義為
　　　　　　　　　　　（0.6）
因為Frobenius範數易於計算，在實用中是一種十分有用的範數. 但它不能從屬於任何一種嚮量範數，因為 .
與嚮量範數的等價性質類似，不同定義的矩陣範數之間也是等價的.
例0.6 A = , 分彆求 ， ， ，
解 = max , = 10
= max , = 12
= = .
的特徵值為： ,
=
=
3. 譜半徑與收斂矩陣
若?是矩陣 的特徵值， 為其特徵嚮量， ，對任一相容的矩陣範數

（0.7）
即矩陣特徵值的模不大於矩陣的任一範數.
定義 0.10 ，這裏 為 的特徵值， 稱為 的譜半徑.
由矩陣譜半徑定義，可得到矩陣範數的另一重要性質， . 由矩陣譜半徑定義，記
定義 0.11 設{ }為 上的矩陣序列，若存在 ，使得

則稱序列{ }是收斂的，並稱 為該序列的極限。
由矩陣範數的等價性，矩陣序列 的收斂性與矩陣範數的定義無關。
定義 0.12 當 稱 為收斂矩陣。
定理 0.2 的充分必要條件是 .
證明 每個復方陣都可以相似到Jordan標準形，故隻需考慮 是Jordan塊的情形． ，其中 是關於 的 次多項式．當 時， ．當 時， 不成立．證畢．
推論： 的充分條件是存在一個範數 ，使得 .
證明: . 則
.
由範數的性質得 .
0.3.3 矩陣的條件數
在解方程組時，我們總是假定係數矩陣 和常數項 是準確的，而在實際問題中，係數矩陣 和常數項 往往是由於前麵的近似計算所得，元素的誤差是不可避免的. 這些誤差會對方程組 的解 有多大的影響？矩陣的條件數給齣一種粗略的衡量尺度.
定義0.13 若 非奇異，稱 為 的條件數. 其中 錶示矩陣的某種範數.
，當 為正交矩陣時 。
注：
用矩陣 及其逆矩陣 的範數的乘積錶示矩陣的條件數，由於矩陣範數的定義不同，因而其條件數也不同，但是由於矩陣範數的等價性，故在不同範數下的條件數也是等價的.
對於綫性方程組 ,若常數項 有小擾動 ，設 ， 受到 的影響錶示為 ：
(0. 8)
分析：


若係數矩陣有小擾動 ，這時方程組的解也有擾動 ，於是 ， 受到 的影響錶示為 ：
(0.9)
定理0.3 設 ， 非奇異， 和 是 和 的擾動， ，則
(0.10)
矩陣條件數的大小是衡量矩陣”好”或”壞”的標誌. 因此，稱 大的矩陣為“壞矩陣”或“病態矩陣” ，對於 大的矩陣，小的誤差可能會引起解的失真. 一般說來， 若 的按模最大特徵值與按模最小特徵值之比值較大時，矩陣就會呈病態.
例0.7方程組

方程組的準確解為：
對常數項 引入小擾動 = , 則
，
，故 ,
, 解的相對誤差是右端項相對誤差的2500倍。
從幾何上看，這兩個方程是平麵上的兩條直綫，求方程組的解是求兩條直綫的交點，條件數大錶明這兩條直綫接近平行，求解中對誤差必然敏感。
對常數項 引入小擾動 = , 則
，
對常數項 引入小擾動 = , 則
，
注：本節矩陣範數內容可以放在第4章中。

前言/序言

第三版前言
本教材從2000年1月第一版第一次印刷至今已曆經16年，2006年9月修訂為第二版，其後又修訂過兩次, 並入選高等教育“十一五”國傢規劃教材。
在修訂本版教材前徵求我校信息與計算科學專業的相關教師和主講教師的意見，張夢萍教授、徐炎教授、童偉華副教授、段雅麗副教授、夏銀華副教授、張明波博士和陳先進博士都提齣瞭建設性的修改建議和意見，在此深錶感謝。
下列本版教材的修訂內容：
對章節目錄做瞭適閤教學結構的部分調整，對有些章節的順序做瞭變動。將原版各章C語言例題統一放在附錄2中，將用數學軟件mathematica做題的例題放在附錄3中；
增加瞭部分內容的定理證明。例如：（第4章附錄中）直接法誤差分析；（第5章中）Gauss-Seidel迭代的收斂性證明等；
在部分章節增加瞭圖示，用圖示錶明數學定義或公式的幾何意義。例如：圖示嚮量範數，圖示復化Simpson積分公式積分係數；
在部分章節增加瞭例題，將拓寬的內容融閤在例題中供選用。例如：構造中心差商的外推公式，用Householder變換作齣矩陣A的QR分解。

本教材僅提供瞭數值計算方法課程的基本內容，主講教師在教學中常會對針對所在院係會對部分章節內容做更深入的展開，也會根據學時的要求做相應的內容刪減。為適應不同學時的課程要求將教材中部分內容錶以星號供選擇。

本教材的C語言程序和大部分插圖由中國科學技術大學陳長鬆博士（現公安部第三研究所的研究員）和竇鬥博士（現南京大學數學學院副教授）完成，在此嚮他們錶示感謝！
感謝使用校內外本教材的教師和學生!
感謝科學齣版社和中國科學技術大學教務處對第三版教材的齣版支持！

編 者
2016.7

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好好学习好好学习

评分☆☆☆☆☆

用来当教材，讲解清楚明白！

评分☆☆☆☆☆

很好的书

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大学时的教材 很好的课本

评分☆☆☆☆☆

很好

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用来当教材，讲解清楚明白！

评分☆☆☆☆☆

很好的参考书，中科大出版。

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送给朋友的，感觉还好

评分☆☆☆☆☆

有点厚的一本，得有点基础的看，比较难。看起来应该是正版。