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內容簡介

《偏微分方程的有限差分方法》以拋物型方程、雙麯型方程和橢圓型方程為基本模型，係統地闡述有 限差分方法的基礎理論和主要格式。在詳細介紹每個格式的時候，一些重要的 數值設計思想和理論分析技術得到詳盡的討論，有限差分方法同其他數值方法 的聯係與區彆也得到簡要的論述。《偏微分方程的有限差分方法》既注重理論的嚴謹性，也關注算法的實 現細節；內容既注重曆史的發展軌跡，也關注*新的研究進展。

目錄

目錄
前言
緒論 1
0.1 數值方法研究的必要性 1
0.2 內容和結構 3
第1章 兩個簡單格式 6
1.1 古典格式 6
1.1.1 格式構造 6
1.1.2 可行性和效率 9
1.1.3 數值錶現 11
1.2 簡單推廣 14
1.3 總結 16
習題 16
第2章 綫性差分格式的基本理論 18
2.1 預備知識 18
2.2 相容性 20
2.2.1 逐點相容性 20
2.2.2 整體相容性 22
2.2.3 導數的差商離散 23
2.3 穩定性 26
2.4 Fourier方法 32
2.4.1 理論背景 32
2.4.2 操作過程 35
2.5 收斂性 38
2.5.1 基本概念 39
2.5.2 Lax-Richtmyer等價定理 40
習題 41
第3章 熱傳導方程 43
3.1 相容性 43
3.1.1 加權平均格式 43
3.1.2 三層格式 47
3.2 計算效率 53
3.2.1 時間步長的輪替策略 53
3.2.2 顯隱格式的交替使用 54
3.2.3 Saul'ev 格式及其應用 58
3.3 誤差估計或收斂分析 61
3.3.1 基於強正則性假設 61
3.3.2 弱正則性假設 63
3.4 導數邊界條件 66
3.4.1 單側離散方式 67
3.4.2 雙側離散方式 70
3.4.3 數值錶現 72
3.5 初值條件的離散 73
習題 75
第4章 一維擴散方程 77
4.1 具有光滑係數的綫性擴散方程 77
4.1.1 非守恒型擴散方程 77
4.1.2 守恒型擴散方程 79
4.1.3 穩定性分析方法 82
4.2 具有間斷係數的綫性擴散方程 86
4.3 極坐標下的熱傳導方程 88
4.4 非綫性擴散方程 91
習題 93
第5章 高維擴散方程 95
5.1 微分方程的數值離散 95
5.2 邊界條件的數值離散 98
5.2.1 矩形區域 99
5.2.2 任意區域 101
5.2.3 高維格式的計算效率 106
5.3 分數步長方法 107
5.3.1 交替方嚮隱式方法 107
5.3.2 局部一維化方法 113
5.3.3 注釋和說明 114
習題 116
第6章 綫性常係數對流方程 119
6.1 迎風格式和 Lax-Wendroff格式 119
6.1.1 迎風格式 119
6.1.2 Lax-Wendroff格式 121
6.1.3 穩定性分析方法 122
6.1.4 數值錶現 124
6.2 綫性常係數差分格式 126
6.2.1 基本數值概念 127
6.2.2 單調格式與數值振蕩 128
6.2.3 數值耗散、數值頻散和數值振蕩 129
6.3 其他著名格式 133
6.3.1 Lax-Friedrichs 格式 133
6.3.2 蛙跳格式 135
6.3.3 盒子格式 138
6.4 人工邊界條件 141
習題 143
第7章 綫性雙麯型方程 145
7.1 綫性變係數對流方程 145
7.2 一階雙麯型方程組 148
7.3 二階聲波方程 150
7.3.1 直接離散方式 150
7.3.2 間接離散方式 151
7.3.3 哈密頓係統和辛格式 153
7.4 高維對流方程 155
習題 157
第8章 非綫性雙麯守恒律 159
8.1 弱解和熵解 159
8.2 守恒型差分格式 162
8.2.1 基於光滑解的格式構造 162
8.2.2 關於間斷解的健壯性 167
8.3 有限體積方法 169
8.3.1 基本框架 169
8.3.2 Godunov方法 173
8.4 穩定性和收斂性 177
8.4.1 單調保持格式 178
8.4.2 單調格式 178
8.4.3 TVD格式 179
8.5 TVD修正技術 181
8.5.1 數值通量修正技術 181
8.5.2 數值斜率修正技術 182
習題 184
第9章 發展型方程差分方法綜述 185
9.1 對流擴散方程 185
9.1.1 中心差商顯格式 185
9.1.2 常用的解決方法 187
9.2 修正方程方法 191
9.3 能量方法 193
習題 196
第10章 橢圓型方程 198
10.1 五點格式 198
10.1.1 規則內點的五點差分方程 198
10.1.2 非規則內點的五點差分方程 199
10.1.3 離散方程組 200
10.1.4 綫性方程組的數值解法 201
10.2 最大模估計 205
10.2.1 強最大值原理 205
10.2.2 簡單估計 206
10.2.3 精細估計 207
10.3 提高數值精度的方法 209
10.3.1 Richardson外推技術 209
10.3.2 九點格式 210
10.3.3 Kreiss差分格式 210
10.4 有限元方法 211
10.4.1 變分方法的基本理論 212
10.4.2 古典變分法 214
10.4.3 標準有限元方法 216
習題 219
主要參考文獻 221
附錄 222
A Taylor 級數 222
B Fourier 級數 (積分) 222
C 周期函數的離散 Fourier理論 222
D 綫性差分方程的基本理論 223
E 三對角矩陣的特徵值 224
F Gronwall不等式 225
G 圓盤定理 225
部分習題答案和提示 226
索引 228
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