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[美] 阿普斯托（TomM.Apostol）著唐太明 著

圖書標籤:

• 數論
• 解析數論
• 初等數論
• 狄利剋雷級數
• L函數
• 素數分布
• 篩法
• 漸近分析
• 代數數論
• 算術函數

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出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560359625

商品编码：25571912227

出版时间：2016-07-01

作  者:(美)阿普斯托(Tom M.Apostol) 著;唐太明 譯 著作 定  價:58 齣 版 社:哈爾濱工業大學齣版社 齣版日期:2016年07月01日 頁  數:328 裝  幀:平裝 ISBN:9787560359625 ●曆史介紹
●算術基本定理
●1.1引言
●1.2整除性
●1.3公約數
●1.4素數
●1.5算術基本定理
●1.6素數倒數的級數
●1.7歐幾裏得算法
●1.8兩個以上的數的公約數
●習題
●第二章數論函數與迪利剋雷乘積
●2.1引言
●……
●2.6數論函數的迪利剋雷乘積
●2.7迪利剋雷逆函數與麥比烏斯反轉公式
●2.8曼戈爾特（Mangoldt）函數A（n）
●……

內容簡介

本書共分十四章，將解析數論從古到今幾乎所有的重要發現都做瞭較為簡要的論述和介紹.主要內容包括算術基本定理、數論函數與迪利雷乘積、數論函數的平均值、素數分布的幾個基本定理等。

書籍簡介：現代代數與結構探索 書名：現代代數與結構探索 引言 本書旨在為讀者提供一個深入、嚴謹而又富於啓發性的現代代數核心概念之旅。在數學的廣闊疆域中，代數無疑占據著基石性的地位，它不僅描述瞭數與運算的本質規律，更是現代數學、物理學乃至計算機科學等諸多領域中抽象思維的工具箱。本書聚焦於代數結構——群、環、域——的內在邏輯、相互聯係及其在解決具體問題中的強大效能。我們的目標是超越簡單的定義和定理羅列，引導讀者理解這些結構如何自然地從具體的數學情境中湧現，並最終構成一個宏大而和諧的理論體係。 第一部分：群論的基石與廣延 本書的開篇將奠定群論的基礎。群，作為最基礎的代數結構，其簡潔性蘊含著驚人的豐富性。我們將從集閤與二元運算的公理齣發，詳細闡述群的定義、子群、陪集以及同構等核心概念。 1.1 群的定義與基本性質 我們將細緻剖析封閉性、結閤律、單位元和逆元的精確含義。隨後，通過實例分析，如整數加法群、非零有理數的乘法群，以及對稱群（置換群）$S_n$ 和二麵體群 $D_n$ 等，展示不同類型的群在幾何和離散數學中的體現。對有限群，拉格朗日定理是不可或缺的裏程碑，我們將對其進行嚴謹的證明，並探討其在確定群階和子群結構中的應用。 1.2 正規子群與商群 理解群的“內部結構”需要引入正規子群的概念。本書將重點論述正規子群的判彆準則、正規子群與子群之間的關係，以及如何構造商群（或稱因子群）。商群的構建是代數結構中“抽象化”過程的關鍵一步，它允許我們將一個群“除以”其子群的等價關係，從而得到一個更簡潔的結構。 1.3 群同態與同構 映射在代數結構之間的傳遞性——同態——是連接不同群的橋梁。我們將深入研究群同態的性質，特彆是核（Kernel）和像（Image）在同態定理中的核心作用。第一同構定理（或稱基本同態定理）將作為貫穿全書的重要工具，展示群、正規子群與商群之間的內在同構關係。 1.4 群的作用與應用 群不僅是孤立的結構，它們還可以“作用”於集閤。我們將探討群在集閤上的作用（Group Action）的定義、軌道（Orbit）與穩定子（Stabilizer）的概念。通過伯恩賽德引理（Burnside’s Lemma）和 Cauchy 定理的討論，我們將展示群作用在組閤計數問題，特彆是計數具有對稱性的結構（如對多麵體的著色問題）上的威力。 1.5 可解群與單群 在結構分類方麵，我們將逐步攀登至更深的層次。可解群（Solvable Groups）與單群（Simple Groups）的介紹，將為讀者描繪有限群分類的宏偉藍圖。特彆地，對交錯群 $A_n$（當 $n ge 5$ 時）是單群的證明，將作為對伽羅瓦理論中五次方程不可解性的一種代數視角的迴應。 第二部分：環論——代數結構的擴展 在群論的框架上，我們引入第二個運算，從而構建齣環（Ring）。環論是連接加法和乘法運算的橋梁，是研究多項式、整數、矩陣等代數對象的基礎。 2.1 環的定義與基本實例 本書將嚴謹定義環（帶有單位元的交換環和非交換環），並考察整數環 $mathbb{Z}$、多項式環 $R[x]$ 以及矩陣環 $M_n(R)$ 等典型例子。對環的同態、同構的討論將遵循群論的路徑，但會更加關注乘法結構帶來的復雜性。 2.2 子環、理想與商環 理想（Ideal）是環論中的核心概念，它扮演著類似正規子群的角色，是商環構造的必要條件。我們將區分左理想、右理想和雙邊理想，並證明在交換環中，所有理想都是雙邊理想。商環的構造和第一同構定理在環上的推廣，將是理解代數結構分層的重要步驟。 2.3 整環、域與零因子 為瞭深入研究乘法結構，我們將引入零因子（Zero Divisors）的概念。整環（Integral Domain）被定義為沒有非零零因子的交換環。域（Field）則是其中所有非零元素都可逆的特殊環。域是許多高等代數分支（如綫性代數和代數拓撲）的天然背景。我們將考察高斯整數環 $mathbb{Z}[i]$ 等非唯一分解整環的例子。 2.4 主理想域與唯一分解整環 本書將花費大量篇幅探討理想的特殊類型。主理想域（Principal Ideal Domain, PID）是每個理想都可以由單個元素生成的環。唯一分解整環（Unique Factorization Domain, UFD）則是元素可以唯一分解為其不可約因子乘積的環。我們將論證：域蘊含整環，PID蘊含UFD，但反之則不然。對 $mathbb{Z}$ 和多項式環 $F[x]$ 為什麼是 PID 且是 UFD 的深入分析，將鞏固讀者的理解。 2.5 模：群與環之間的橋梁 模（Module）可以被視為加法結構上的嚮量空間推廣，是連接群論和環論的自然過渡。雖然篇幅有限，但我們將簡要介紹模的基本概念，展示它如何在更一般的代數結構上構建綫性結構。 第三部分：域論的初步探索 域論是代數結構理論的頂峰之一，它為理解方程的解提供瞭精確的框架。 3.1 域的擴張 域的擴張（Field Extension）是從一個基本域 $F$ 構造齣一個包含 $F$ 的更大域 $K$ 的過程。我們將定義擴張的次數 $[K:F]$，並引入代數元和超越元的概念。代數擴張是域論研究的重點。 3.2 代數擴張與最小多項式 對於域 $F$ 上的一個元素 $alpha$，如果它是一個以 $F$ 中元素為係數的多項式的根，則稱 $alpha$ 為代數元。我們將展示每個代數元都擁有唯一的最小多項式，並解釋如何利用它來構造擴張域 $F(alpha)$。 3.3 分裂域與伽羅瓦理論的引入 我們將討論分裂域（Splitting Field）的概念，即一個多項式所有根所在的最小擴張域。最後，本書將以對伽羅瓦理論（Galois Theory）的初步介紹作為高潮，闡釋域擴張的自同構群（即伽羅瓦群）如何精確地描述域擴張的結構，從而為理解五次方程在代數上不可解性提供最終的代數工具。 結語 本書的編寫力求邏輯嚴密，推導清晰，並輔以豐富的實例和必要的幾何直覺，旨在使讀者不僅掌握代數結構的操作技巧，更能領會其背後的深刻思想。學習現代代數，即是學習數學的“語言”和“架構”，它將為未來在任何需要嚴謹抽象思維的領域深造打下堅實的基礎。

评分☆☆☆☆☆

這本《解析數論導引》的封麵設計就很有意思，那種深沉的藍色調，配上古典的字體，讓人一眼就能感受到它內涵的厚重感。拿到書後，我立刻被它精巧的排版和清晰的結構所吸引。雖然我對數論這個領域算不上是科班齣身，但這本書的敘述方式卻異常地平易近人。作者仿佛是一位經驗豐富的嚮導，耐心地引導著初學者一步步深入。 最讓我感到驚喜的是，書中對基礎概念的闡釋非常到位，不是那種乾巴巴的公式堆砌，而是結閤瞭大量的曆史背景和直觀的例子。比如，在介紹狄利剋雷特徵函數時，它不僅給齣瞭嚴格的定義，還通過一些具體的數論問題來展示其威力，讓抽象的理論變得觸手可及。我清晰地記得，書裏用瞭一個關於素數分布的生動類比，讓我一下子明白瞭為什麼解析方法在處理這類問題時如此強大。對於那些想從零開始搭建數論知識體係的讀者來說，這本書無疑是一個絕佳的起點，它為後續更深入的學習打下瞭堅實的基礎，讓人讀起來不覺得枯燥，反而充滿瞭探索的樂趣。

评分☆☆☆☆☆

坦率地說，我最初對閱讀一本“導引”性質的數論書籍抱有一定的疑慮，總覺得它可能流於錶麵，無法觸及到這個學科的精髓。然而，這本書徹底顛覆瞭我的看法。它在保持基礎嚴謹性的同時，對於解析數論中的核心工具——如黎曼 $zeta$ 函數、素數定理的證明框架——都進行瞭深入淺齣的剖析。作者在推導過程中，對於每一步邏輯跳躍的解釋都極其細緻，特彆是那些涉及復變函數的基礎知識，都做瞭恰到好處的迴顧和補充，避免瞭讀者在關鍵時刻因為知識斷層而卡殼。 我尤其欣賞作者在選擇例證時的獨到眼光。書中選取的應用案例並非都是教科書上常見的陳詞濫調，而是包含瞭一些更具現代感和挑戰性的問題。這使得在學習理論的同時，讀者也能感受到解析數論在當代數學研究中的活力和重要性。讀完關於圓法（Circle Method）的基礎介紹部分，我感覺自己仿佛站在瞭一個高處，俯瞰著整個數論問題的全景圖，那種豁然開朗的感覺，是其他很多教材所無法給予的。對於有一定基礎，但希望係統梳理解析數論脈絡的讀者來說，這本書的價值是無可替代的。

评分☆☆☆☆☆

閱讀體驗上，這本書的紙張質量和裝幀設計也值得稱贊，長時間閱讀眼睛不易疲勞，這對於一本數學專著來說是件好事。但更重要的是其內容組織體現齣的匠心。它在介紹完基礎的解析工具後，並沒有立刻跳入深奧的未解難題，而是用一章的篇幅專門講解瞭如何將這些工具應用於更實際的問題，例如高斯和的性質以及二次互反律的解析證明的初探。 這種結構安排，有效地彌補瞭許多傳統教材中理論和應用脫節的弊病。它讓讀者在掌握“利器”之後，能立即看到如何使用它們來解決實際的“戰役”。特彆是對於我這種更偏愛應用層麵的讀者，這種設計極大地增強瞭閱讀的動力。這本書不是簡單地介紹“是什麼”，而是深入探討瞭“為什麼”以及“如何做”，它提供瞭一種完整的、自洽的知識體係，讓你在閤上書本時，確信自己不僅學會瞭數論的皮毛，更是觸摸到瞭其骨架。它為後續探索更高級的解析數論主題，如自守形式或更精細的分布估計，鋪設瞭一條清晰且堅實的大道。

评分☆☆☆☆☆

對於數論這個被譽為“數學皇後”的領域，想要找到一本既能滿足學術要求，又不會讓人望而卻步的入門讀物是相當睏難的。然而，這本《解析數論導引》做到瞭很好的平衡。它的文字風格非常沉穩、精確，沒有多餘的修飾，一切都聚焦於數學的內在美感和邏輯的嚴密性。我個人非常喜歡它在證明中對於“關鍵步驟”的強調，作者會用粗體或特殊的標記來突齣那些決定整個證明成敗的“妙手偶得”之處。 這本書給我最大的啓發在於，它展現瞭解析方法如何將代數和分析的工具優雅地結閤起來。比如在處理莫比烏斯反演的解析形式時，作者清晰地展示瞭傅裏葉分析的強大潛力。對於一個希望未來從事數論研究的人來說，理解這種跨領域的思維模式至關重要。閱讀這本書的過程，與其說是學習一個分支的知識，不如說是在訓練一種看待數學問題的獨特視角，它培養瞭一種“從無窮中尋找規律”的深刻洞察力，這種能力遠比記住幾個定理本身更有價值。

评分☆☆☆☆☆

這本書的編排邏輯簡直像是為自學者量身定做的。它的章節劃分非常清晰，知識點的遞進關係處理得非常自然，幾乎沒有感覺到任何突兀的轉摺。初學者往往害怕被大量符號和復雜的證明壓垮，但《解析數論導引》巧妙地采用瞭“先直覺，後嚴謹”的教學策略。在引入一個新的定理之前，作者總會先用非正式的語言闡述其核心思想和解決問題的思路，這極大地降低瞭閱讀的心理門檻。 我特彆注意到，書中關於數論函數平均值的討論部分，處理得尤為精彩。作者沒有急於拋齣費希爾-辛欽等人的復雜公式，而是從更簡單的加性函數和積性函數的性質入手，逐步過渡到更復雜的平均估計。這種循序漸進的引導，使得讀者可以真正理解為什麼需要引入某種技術，而不是僅僅停留在記憶公式的層麵。此外，書後的習題設計也相當人性化，難度梯度閤理，既有鞏固基本概念的基礎題，也有引導思考更深層次問題的拓展題，真正起到瞭檢驗和深化理解的作用。