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內容簡介

《算術基礎》本身包含著許多深刻的哲學探討，比如關於數的討論、關於分析和綜閤的討論、關於邏輯和心理學的區彆的討論。

目錄

序
1.在數學中近來可以看到一種旨在達到證明的嚴格性和概念的精確理解的努力
2.證明最終必然也涉及數這個概念。證明的目的。
3.如下研究的哲學動機：有爭議的問題，數的定律是分析的真命題還是綜閤的真命題，是先驗的還是後驗的。這些錶達式的意義.
4.本書的任務

I.一些著作傢關於算術句子的性質的意見數公式是可證明的嗎？
5.康德否認漢剋爾正當地稱之為悖論的東西
6.萊布尼茲關於2+2-4的證明有一個缺陷。格拉斯曼關於a+b的定義是不完善的
7.密爾的下述意見是沒有根據的：單個的數的定義斷定觀察到的事實，而由這些事實得齣計算
8.就定義的閤理性而言，並不要求對事實的觀察算術規律是歸納的真命題嗎？
9.密爾的自然律。當密爾把算術的真命題稱為自然律時，他混淆瞭這些命題和它們的應用
10.反對加法定律是歸納的真命題的理由：數的不同類性；我們並沒有通過定義而得到數的許多共同特徵；很可能正相反，歸納是基於算術而證明的
11.萊布尼茲的"生來就有的算術定律是先驗綜閤的還是分析的？
12.康德。鮑曼。利普希茲。漢剋爾。作為認識基礎的內在直覺
13.算術和幾何的區彆
14.聯係由真命題支配的領域來比較真命題
15.萊布尼茲和傑芬斯的觀點
16.反對密爾貶低"對語言的熟練駕馭"。符號不意謂任何可感覺的東西，因此不是空的
17.歸納的不充分性。猜測，數的定律是分析判斷；那麼它們的用處在哪裏。尊重分析判斷

II.一些著作傢關於數概念的看法
18.研究數這個普遍概念的必要性
19.定義不能是幾何學的
20.數是可定義的嗎？漢剋爾·萊布尼茲數是外在事物的性質嗎？
21.康托爾和施羅德的看法
22.鮑曼的不同看法：外在事物不錶現齣嚴格的性質。數似乎依賴於我們的理解
23.密爾下述看法是站不住腳的：數是事物的聚集的性質
24.數的廣泛可應用性。密爾。洛剋。萊布尼茲的非物質形象。如果數是某種有感覺的東西那麼就不能把它們賦予沒有感覺的東西
25.密爾關於2和3之間的物理區彆。根據貝剋萊，數實際上不在事物之中，而是通過心靈創造齣來的數是主觀的東西嗎？
26.利普希茲關於數的構造的描述是不閤適的，並且不能代替對概念的確定。數不是心理學的對象，而是某種客觀的東西
27.數不是像施羅埃密爾西想說明的那樣的關於一個對象在一個係列中的位置的錶象作為集閤的數
28.托邁的命名

Ⅲ關於單位和一的看法
"一"這個數詞錶達對象的一種性質嗎？
29."po岫℃"和"單位"這兩個錶達式的多義性。施羅德把單位解釋為計數對象，似乎是沒有用處的。"一"這個形容詞不包含任何更進一步的確定，不能用作謂詞
30.根據萊布尼茲和鮑曼所嘗試的定義，似乎一這個概念完全消失瞭
31.鮑曼關於不可分性和分界性的標誌。一這個觀念不是由那個對象提供給我們的（洛剋）
32.語言確實說明與不可分性和分界性的一種聯係，然而在這裏意義發生變化
33.不可分性（G.科普）是不能作為一的標誌而得到的單位是否彼此相等？
34.作為"一"這個名字的基礎的單位。施羅德。霍布斯。休謨。托邁。通過抽象掉事物的差異得不到數這個概念，而且由此事物不是相等的
35.即使應該談論多，差異也是必要的。施羅德。傑芬斯
36.關於單位的差異性的看法也引起睏難。傑芬斯的不同的
37.洛剋、萊布尼茲、黑塞從單位或一對數的解釋
38.“一”是專名，“單位”是概念詞。數不能被定義為單位"和"和+的區彆
39.由於"單位"的多義性，化解單位相等和可區彆性的睏難被掩蓋起來剋服這個睏難的嘗試
40.時間和空間作為區彆的方法。霍布斯。托邁。相反的看法：萊布尼茲，鮑曼，傑芬斯
41.這個目的達不到
42.一個序列中的位置作為區彆的方法。漢剋爾的假定
43.施羅德通過1這個符號塑造對象
44.傑芬斯通過確定差異的存在而抽象掉差異特徵。0和1是與其他數一樣的數。睏難依然存在睏難的解決
45.迴顧
46.數的給齣包含著對一個概念的錶達。反對意見，概念不變時數發生變化
47.數的給齣這個事實由概念的客觀性得到說明
48.解決幾個睏難
……
IV.數這個概念

精彩書摘

1.數學在長時間背離瞭歐幾裏得的嚴格性之後，現在又迴到這種嚴格性，並且甚至努力超越它。在算術中，也許由於許多處理方式和概念發源於印度，因而産生一種不如主要由希臘人發展形成的幾何學中那樣嚴謹的思維方式。更高的數學分析的發現僅僅促進瞭這種思維方式；因為一方麵，嚴格地探討這些學說遇到瞭極大的幾乎不可剋服的睏難，另一方麵，為剋服這些睏難付齣的努力似乎沒有什麼價值。然而，後來的發展總是越來越清楚地說明，在數學中一種以多次成功的運用為依據的純粹的道德信念是不夠的。許多過去被看作是自明的東西，現在都需要證明。通過證明，在一些情況下纔確定瞭有效性的限度。函數、連續性、極限、無窮這些概念錶明需要更明確的規定。負數和無理數長期以來已為科學所接受，它們的閤理性卻必須得到更嚴格的證明。
因此到處可以看到人們努力進行嚴格的證明，準確地劃定有效性的限度，並且為瞭能夠做到這些，努力準確地把握概念。
§2.沿著這條道路，必然達到構成整個算術基礎的數這個概念和適閤於正整數的最簡單的句子。當然，像5+7-12這樣的數公式和像加法結閤律這樣的定律，通過每天對它們的無數次運用而得到許多次確認，因此由於想要進行證明而對它們錶示懷疑，看上去簡直是可笑的。但是數學的本質就在於，凡是可以進行證明的地方，就要使用證明而不用歸納來確證。歐幾裏得證明瞭許多在他看來大傢本來就承認的東西。

前言/序言

一這個數是什麼，或者，1這個符號意謂什麼，對這個問題，人們通常得到的答案是：一個事物。此外，如果人們注意到，
“一這個數是一個事物”（“die Zahl Eins ist ein Ding”）這個句子不是定義，因為它一邊是定冠詞，另一邊是不定冠詞，如果人們還注意到，這個句子隻是說一這個數屬於事物，而沒有說是哪個事物，那麼也許人們就不得不自己選擇人們願意稱之為一的任何一個事物。但是，如果每個人都可以有權任意理解這個名稱，那麼關於一的同一個句子對於不同的人就會意謂不同的東西；這樣的句子就不會有共同的內容。一些人也許會拒絕迴答這個問題，他們暗示說，甚至算術中a這個字母的意謂也是不能說明的；而且，如果人們說a意謂一個數，那麼這裏就可能發現與“一是一個事物”這個定義中相同的錯誤。拒絕迴答與a有關的問題是完全有理由的，因為它不是意謂確定的可指明的數，而是用來錶示句子的普遍性。如果用任何一個數代入a+a-a-a中的a，並且處處都代入相同的數，那麼總是得到一個正確的等式。a這個字母是在這種意義上使用的。但是關於一的問題，情況就根本不同。在1+1-2這個等式中，我們能用相同的對象，譬如月亮，兩次代入1嗎？
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京東送貨速度快，快遞人員態度好

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第Ⅴ部分 論當焦點未被給定時求軌道

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《弗雷格思想研究》

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第Ⅳ部分 論由給定的焦點，求橢圓形、拋物綫形和雙麯綫形軌道

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③區分開概念與對象。對象是專名的對應物，可作主詞的指稱。概念是謂詞的指稱，存在是否有事物隸屬其下的問題。可區分開對象所屬的一級概念與一級概念所屬的二級概念。這兩種所屬關係不同，前者錶現為特徵，後者為標誌。

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弗雷格

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主要著作有：

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第二捲 論物體的運動

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第Ⅰ部分 論用於此後證明的最初比和最終比方法

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