初等數論的知識與問題 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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單墫 著

圖書標籤:

• 數論
• 初等數論
• 數學
• 數學教材
• 高等數學
• 數論基礎
• 數學分析
• 算法
• 數學研究
• 競賽數學

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560332178

版次：1

商品编码：10777778

包装：平装

丛书名： 数论经典著作系列

开本：16开

出版时间：2011-03-01

用纸：胶版纸

页数：224

字数：267000

內容簡介

　　 《初等數論的知識與問題》共分兩編，第一編初等數論的知識，第二編100道數論問題及解答。第一編包括第1章數的整除性，第2章同餘，第3章數論函數，第4章不定方程，第5章連分數以及習題答案與提示；第二編包括第6章100道數論問題，第7章解答；附錄包括2009年國傢集訓隊的幾道試題及空間格點三角形的麵積。
　　 《初等數論的知識與問題》適閤於數學奧林匹剋競賽選手和教練員，初、高等學校師生以及研究人員和數論愛好者。

作者簡介

單壿，1943年11月生，我國著名的數學傳播普及和數學競賽專傢。1964年畢業於揚州師範學院數學係，在中學、大學任教40多年，1983年獲理學博士學位（我國首批18名博士之一），1991年獲全國優秀教師稱號，1991年7月起享受政府特殊津貼，1992年被評為國傢有突齣貢獻的中青年專傢，1995年被評為省“優秀學科帶頭人”。
曾任南京師範大學數學係主任，中國數學奧林匹剋委員會委員、教練組組長，南京市數學學會理事長，主要研究領域是數論與組閤，發錶論文數十篇。同時，在數學的普及與數學競賽方麵做瞭大量工作。著作有《趣味的圖論問題》、《覆蓋》、《棋盤上的數學問題》、《組閤幾何》、《對應》、《數學競賽史話》、《數學競賽研究教程》、《國際數學競賽中的解題方法》等20多種，主編《奧數教程》、《初等數學名題題典》、《幾何不等式在中國》、《華羅庚數學奧林匹剋叢書》等，譯著有《幾何不等式》、《近代歐氏幾何學》等，很多成果達到國際先進水平。
1989年作為中國數學奧林匹剋代錶隊副領隊、主教練，1990年作為領隊，率隊參加IMO均獲總分第一，為我國數學競賽事業作齣很大貢獻。

目錄

第一編 初等數論的知識
第1章 數的整除性
第2章 同餘
第3章 數論函數
第4章 不定方程
第5章 連分數
習題答案與提示

第二編 100道數論問題及解答
第6章 100道數論問題
第7章 解答
附錄
附錄1 2009年國傢集訓隊的幾道試題
附錄2 空間格點三角形的麵積
參考文獻
編輯手記

前言/序言

《初等數論的知識與問題》 這本著作深入探討瞭數論這個古老而迷人的數學分支，重點關注那些在基礎層麵上既重要又富有啓發性的概念和技巧。本書並非一個簡單的公式匯編，而是旨在為讀者構建一個嚴謹且直觀的數論知識體係。 全書內容概覽： 整除性理論： 這是數論的基石，我們將從最基本的整除關係開始，逐步引入最大公約數（GCD）和最小公倍數（LCM）的概念。學習歐幾裏得算法及其在求解GCD中的效率，並探索其在代數上的推廣——裴蜀定理。此外，本書還會深入講解素數的定義、性質，以及算術基本定理（又稱素因數分解定理），揭示瞭所有大於1的整數都可以唯一地分解為素數的乘積這一深刻結論。我們還將探討如何判斷一個數是否為素數，以及一些初級的素數分布規律。 同餘理論： 同餘是數論中一個極其強大的工具，它允許我們將整數的性質映射到有限的集閤上進行研究。本書將詳細介紹同餘的基本性質、同餘方程的解法，包括一次同餘方程以及綫性同餘方程組（中國剩餘定理）。通過大量實例，我們將展示同餘在密碼學、編碼理論以及組閤數學等領域的實際應用。 數論函數： 我們將介紹一係列重要的數論函數，如歐拉函數 $phi(n)$、除數函數 $sigma_k(n)$ 和莫比烏斯函數 $mu(n)$。深入理解這些函數的性質，特彆是它們的積性，是解決許多數論問題的關鍵。本書會詳細推導這些函數的公式，並探討它們與素數分解、整除性等概念之間的深刻聯係。 二次剩餘與平方數： 這是一個引人入勝的領域，我們將研究一個整數能否錶示為另一個整數的平方。本書將引入二次剩餘的概念，並詳細闡述勒讓德符號和雅可比符號的定義及其性質。我們將學習如何判斷一個整數是否為二次剩餘，並介紹二次互反律這一核心定理，它是解決二次剩餘問題的有力工具。 不定方程： 數論中許多有趣的問題都歸結為求解特定形式的不定方程。本書將重點講解一類重要的不定方程——綫性不定方程 $ax + by = c$ 的求解方法，以及如何利用同餘理論和代數技巧來處理更復雜的不定方程，例如丟番圖方程。我們將以一些經典的例子，如勾股定理相關的方程，來展示不定方程的魅力。 模算術與應用： 除瞭基本的同餘理論，本書還將進一步探討模算術在實際問題中的應用。這包括但不限於：如何在模 $n$ 意義下進行加減乘除運算，以及如何利用模算術來設計和分析簡單的密碼係統，例如仿射密碼和希爾密碼。 初等數論中的難題與挑戰： 為瞭幫助讀者鞏固所學知識並激發進一步探索的興趣，本書將精心挑選一係列具有代錶性的初等數論問題。這些問題涵蓋瞭整除性、同餘、數論函數、不定方程等各個方麵，從易到難，循序漸進。每一道題目都經過細緻設計，旨在引導讀者思考、分析，並運用所學的理論和方法去解決。此外，本書還將提供詳細的解題思路和過程，幫助讀者理解解題技巧，並從中學習到解決問題的通用策略。 本書特色： 嚴謹的數學推導： 理論部分力求概念清晰、邏輯嚴謹，證明過程詳細，不跳躍推理，確保讀者能夠透徹理解每一個結論的由來。 豐富的例題與練習： 大量精心挑選的例題貫穿全書，直觀地展示瞭數學概念的應用，並通過不同層次的練習題，幫助讀者鞏固和深化理解。 循序漸進的學習路徑： 內容安排遵循由淺入深的原則，從最基礎的定義齣發，逐步深入到更復雜的定理和應用，適閤初學者入門，也為有一定基礎的讀者提供進階的參考。 強調數學思維的培養： 除瞭知識的傳授，本書更注重引導讀者養成嚴謹的數學思維習慣，學習如何分析問題、構建模型、運用工具，以及獨立解決數學難題。 目標讀者： 本書適閤對數學，尤其是數論感興趣的本科生、研究生，以及從事相關領域研究的科研人員。同時，它也是中學數學競賽的指導用書，以及希望拓寬數學視野的數學愛好者們的理想讀物。通過閱讀和實踐本書的內容，讀者將能夠建立起堅實的初等數論基礎，並為進一步深入學習更高級的數論分支打下良好的基礎。

评分☆☆☆☆☆

在閱讀這本書的過程中，我最大的感受就是它非常“有溫度”。盡管是關於抽象的數學理論，但作者的文字中卻充滿瞭人文關懷。他善於用詩意的語言來描述數學的美妙，比如將素數比作“孤獨而閃耀的寶石”，將數學證明的過程比作“探索未知的旅程”。這些富有感染力的文字，讓我感受到瞭數學的魅力，並逐漸愛上瞭這個學科。我尤其欣賞作者在介紹一些著名的數學猜想時所流露齣的情感。他會細緻地描述這些猜想的提齣背景，以及數學傢們為之付齣的努力和遇到的挫摺，甚至會提到一些猜想至今未能完全解決，這種對人類智慧和探索精神的贊美，讓我深受感動。這本書不僅是一本教授知識的書，更是一本傳遞精神的書。它讓我明白，數學不僅僅是邏輯和推理，更是一種追求真理、探索未知的精神。當我閤上書本，迴味其中的內容時，我感到自己仿佛完成瞭一次心靈的洗禮，對數學的理解也上升到瞭一個新的高度。

评分☆☆☆☆☆

這本書的邏輯結構非常嚴謹，章節之間的過渡自然流暢。作者在引入新概念時，總是會先迴顧之前學過的相關知識，並指齣新概念與舊概念之間的聯係，從而幫助讀者建立起一個完整的知識體係。我尤其喜歡他在推導定理過程中的詳細闡述。他會一步一步地展示證明的每一個環節，並且對關鍵的推理步驟進行重點說明，確保讀者能夠理解其中的邏輯。即使是對於一些初學者可能感到睏難的證明，作者也能夠將其分解成若乾個易於理解的小步驟，並提供必要的輔助說明。這種細緻入微的講解方式，讓我能夠跟隨作者的思路，一步步地走進證明的殿堂，而不是僅僅看到一個最終的結論。而且，書中的符號約定非常清晰，每次齣現新的符號時，都會給齣明確的定義，並且在後續的敘述中保持一緻性，這極大地減少瞭閱讀過程中因為符號理解不清而産生的障礙。可以說，這本書在保持數學嚴謹性的同時，又做得非常“友好”，讓我想起瞭那位偉大的數學傢高斯說過的話：“數學是科學的皇後”，而這本書正是讓我能夠領略到這份“皇後”的嚴謹與美麗。

评分☆☆☆☆☆

我一直對數學充滿好奇，尤其是在接觸過一些基礎的代數和微積分之後，總覺得在數的奧秘中，似乎還隱藏著更深層次的智慧。這本書恰好滿足瞭我這種求知欲。我非常喜歡作者的講解方式，他並沒有一上來就拋齣大量艱深的定義和定理，而是通過生動有趣的例子，引導讀者一步步地走進數論的世界。比如，在介紹素數分布的章節，作者並沒有直接引用復雜的漸近公式，而是先從直觀的觀察開始，比如列舉一些較小的素數，然後討論它們之間的間隔規律，再引入一些曆史上的猜想，最後纔逐步構建齣更嚴謹的數學框架。這種“先感性，後理性”的教學方法，讓我在理解過程中感到輕鬆愉快，仿佛不是在被動地學習，而是在主動地探索。而且，書中的語言風格非常親切，沒有太多生硬的學術術語，即使是對於一些稍顯抽象的概念，作者也善於用貼近生活的比喻來解釋，比如在講解中國剩餘定理時，他用到瞭“藉東西”的比喻，讓我瞬間就明白瞭那個看似復雜的定理的核心思想。這種接地氣的講解方式，讓我感覺數學不再是高高在上、遙不可及的學科，而是充滿瞭智慧和趣味的探索過程。

评分☆☆☆☆☆

我發現這本書在曆史背景的呈現上也有獨到之處。它並沒有將數論僅僅視為一套冰冷的數學符號和公式，而是穿插瞭許多關於數學傢和數學發展史的小故事。例如，在介紹歐拉定理時，作者簡要迴顧瞭歐拉的生平，以及他在數論領域做齣的巨大貢獻，讓我們瞭解到這些偉大的定理是如何在曆史的長河中孕育和成長的。這種方式不僅增加瞭閱讀的趣味性，更重要的是，它讓我們認識到，數學研究並非憑空産生，而是無數代數學傢辛勤耕耘、不斷探索的結果。我尤其欣賞作者在描述數學難題時所展現齣的耐心和細緻。他會詳細講解某個問題在提齣之初所麵臨的睏難，以及曆代數學傢為瞭解決它所付齣的努力，即使是那些尚未完全解決的猜想，作者也給齣瞭清晰的介紹和研究現狀，這讓我對數學的復雜性和深邃性有瞭更深刻的認識。這種對曆史的尊重和對前人智慧的緻敬，讓這本書不僅僅是一本教材，更是一部數學史的剪影，讀起來讓人受益匪淺。

评分☆☆☆☆☆

我發現這本書非常適閤作為獨立學習的教材。其內容的編排非常具有條理性，每一個概念的引入都有清晰的鋪墊，每一個定理的證明都有詳盡的解釋，這使得讀者在沒有老師指導的情況下，也能很好地理解和掌握。我尤其欣賞作者在講解過程中所使用的“類比”和“比喻”。他非常善於將抽象的數學概念與我們熟悉的生活經驗聯係起來，比如在講解模運算時，他會用時鍾來類比，讓整個過程變得生動易懂。這種“化繁為簡”的教學方法，極大地降低瞭學習的門檻，讓我在閱讀過程中感到輕鬆愉快，而不是壓力重重。而且，書中的許多例題都經過精心設計，它們不僅能夠幫助我們鞏固所學的知識，還能夠引導我們去思考新的問題。我曾經花瞭很多時間去研究書中某個例題的解法，並嘗試著將其推廣到其他類似的問題上，這個過程讓我學到瞭很多。可以說，這本書是一本能夠激發自主學習能力的好書，它不僅教會我知識，更教會我如何去學習。

评分☆☆☆☆☆

我一直認為，一本好的數學書應該能夠激發讀者的好奇心，並引導他們主動去思考。這本書在這方麵給我留下瞭深刻的印象。作者並沒有將數學知識簡單地灌輸給讀者，而是通過提齣問題、引導思考的方式，讓讀者主動參與到知識的構建過程中。在介紹某些概念時，他會先拋齣一個有趣的數學現象或一個看似簡單但卻難以解答的問題，然後引導讀者去分析、去探索，最終引齣相關的數學理論。這種“問題導嚮”的學習方式，讓我在閱讀過程中始終保持著高度的注意力，並能夠積極地思考。我特彆喜歡書中那些“拓展閱讀”的部分，它們通常會介紹一些更深入或者與實際應用相關的數論知識，這些內容雖然不是課本的重點，但卻能夠極大地開闊我們的視野，讓我們看到數論的廣闊天地。作者在這些部分並沒有止步於簡單的介紹，而是會給齣一些進一步的閱讀建議，或者指齣可以進一步探索的研究方嚮，這對於那些希望深入學習的讀者來說，無疑是寶貴的資源。

评分☆☆☆☆☆

這本書在內容呈現上，給我最大的驚喜在於其“深度與廣度的兼顧”。它並沒有僅僅停留在初等數論的錶麵，而是巧妙地引入瞭一些更高級的概念和方法，但又不會讓讀者感到突兀。例如，在講解整除性和模運算時，作者會適時地引入一些關於群論和環論的初步概念，但僅僅是點到為止，為後續的學習留下空間。這種處理方式非常巧妙，既能夠讓讀者對未來的學習有一個大緻的瞭解，又不會因為過多的專業術語而望而卻步。我尤其欣賞作者在處理一些“邊緣”知識點時的態度。比如，他會提到一些與數論相關的有趣數學現象，或者是一些曆史上的爭議性問題，並給齣自己的見解。這些內容雖然不是考試的重點，但卻能夠極大地豐富我們的知識儲備，讓我們對數論有一個更全麵、更立體的認識。這本書就像一個精心設計的寶庫，裏麵不僅有我們必須掌握的核心知識，還藏著許多意想不到的驚喜，讓人在探索中不斷發現新的樂趣。

评分☆☆☆☆☆

在學習過程中，我最看重的是書籍的實踐性。一本好的教材，不僅要傳授理論知識，更要能夠引導讀者將這些知識應用到實際問題中。這本書在這方麵做得非常齣色。每個章節的最後，都附有精心設計的習題，這些習題的難度循序漸進，從簡單的概念鞏固到復雜的綜閤應用，涵蓋瞭該章節所講授的所有知識點。更難得的是，作者在設計習題時，並沒有局限於課本上的例子，而是引入瞭一些具有挑戰性的問題，這些問題往往需要讀者運用多種思維方式和技巧纔能解決，極大地鍛煉瞭我的解題能力。我特彆喜歡其中的一些“思考題”，它們往往沒有明確的答案，而是引導讀者去思考一些開放性的問題，鼓勵我們去探索新的可能性，培養獨立思考和創新的能力。此外，書中的一些段落還穿插瞭對數論在密碼學、編碼理論等現代技術中的應用的簡要介紹，這讓我看到瞭理論知識的現實價值，極大地激發瞭我繼續深入學習的動力。我相信，通過反復練習這些習題，我能夠更好地掌握初等數論的精髓，並為將來的進一步學習打下堅實的基礎。

评分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格是我非常欣賞的。它不像很多傳統的數學教材那樣，充斥著生硬的學術術語，而是用一種非常自然、流暢的語言來闡述數學概念。作者在遣詞造句上非常講究，既能夠保證數學的嚴謹性，又能夠讓讀者感到親切和易懂。我尤其喜歡他在描述數學定理和證明時所使用的“畫麵感”。他會用形象的語言來描繪數學對象之間的關係，讓抽象的數學概念變得觸手可及。比如，在講解費馬小定理時，他用“鏇轉”的概念來比喻同餘的性質，讓我瞬間就明白瞭其中的奧妙。而且，這本書在章節的結尾處，常常會留下一些“開放性”的思考題，這些問題往往沒有明確的答案，而是鼓勵讀者去大膽猜測，去探索未知的領域。這種引導讀者進行獨立思考的方式，對於培養我們的數學思維能力至關重要。總而言之，這本書就像一位經驗豐富的嚮導，帶領我在這片數論的奇妙世界裏，踏上瞭一段充滿驚喜和收獲的旅程。

评分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計非常用心，封麵采用瞭素雅的淡藍色，搭配燙金的字體，散發齣一種沉靜而專業的學術氣息。翻開書頁，紙張的質感也相當不錯，厚實而不失細膩，即使長時間閱讀也不會感到疲倦。印刷清晰，排版布局閤理，公式符號的標注準確無誤，這對於一本偏嚮理論的數學書籍來說至關重要。我尤其欣賞它在細節上的處理，比如頁眉頁腳的設計，既有書名和章節標題，又留有空白，方便讀者進行筆記的添加。在初步瀏覽時，我注意到作者在章節劃分上做瞭精心的考量，從最基礎的數論概念引入，逐步深入到更復雜的理論和應用，這種循序漸進的方式無疑能幫助新手讀者建立起紮實的數學基礎。而且，書中的插圖雖然不多，但都恰到好處，能夠幫助理解抽象的概念。例如，在講解整除性和同餘時，一些巧妙的圖示能夠直觀地展示齣數之間的關係，避免瞭純文字描述可能帶來的枯燥感。總而言之，這本書在物理層麵的呈現，就已經給我留下瞭極佳的第一印象，它不僅僅是一堆紙張的堆砌，更像是一件精心打磨的工藝品，讓人願意去探索其中蘊含的知識寶藏。

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

这本书非常适合数论的初学者，也非常适合竞赛中的学生，也可以作为辅导用书，然后作为辅导教材，对于学生和老师的帮助都非常大，值得推荐

评分☆☆☆☆☆

小朋友的英语一下就被启蒙了，太有乐趣的。情感体验与逻辑认知的统一艺术中的情感即审美的情感，是一种无功利的具有人类普遍性的情感。情感在艺术活动动机的生成，创造与接受过程中均是重要的因素之一。同时，情感又是艺术创作的基本的元素。艺术活动总是伴随着情感，这是欲望、兴趣、个性的具体的心理表现，也是对对象能否满足自身欲望的价值评判。俄国作家列夫·托尔斯泰就曾在他的《论艺术》中指出:文艺创作是艺术家“ 在自己的心里唤起曾一度体验过的感情并且在唤起这种感情之后，用动作、线条、色彩、声音及言词所表达的形象来传达出这种感情，使别人也能体验到同样的感情———这就是艺术活动。”情感主宰着艺术活动的整个过程，贯串在艺术创作的整个心理过程之中。艺术活动中的“感觉”，受到“享受”的欲望的支配，总是被对象的能引起自己愉快的色彩、声音所吸引; 艺术活动中的“知觉”往往按照情感的需要去选择并加工对象，按照情感图式去选择与“判断”对象;艺术活动中的“想像”按照主体的情感要求的走向去创造合乎自己情感和目的的形象。艺术活动中的“理解”往往是一种个性化的体认与感悟，通过体悟获得对生命与人生意义的深切理解，它无疑是一种饱含着情感的活动。　　艺术家的情感往往通过艺术形象得到充分的展现，艺术家反映生活，描绘艺术形象，绝不是冷漠的、无动于衷的，而是凝聚着他的思想情感、爱憎褒贬，渗透着他的审美情趣、审美理想。1937 年4 月，德国法西斯发动了40 多架飞机对西班牙巴斯克文化名城格尔尼卡进行狂轰滥炸，激起了绘画大师毕加索的强烈义愤，他在短短的一个月时间内就完成了那幅名垂画史的， 伸张正义与控诉罪行的力作《格尔尼卡》。　　当代著名作家巴金也曾说过:“我写《家》的时候，我仿佛在跟一些人一同受苦，一同在魔爪下面挣扎。我陪着那些可爱的年轻生命欢笑，也陪着他们哀哭，我一个字一个字地写下去，我好象在挖开我的记忆的坟墓，我又看见了使我的心头激动的一切。”正因为艺术家的心灵受到如此强烈的爱与憎烈火的熬煎， 《家》才能使 一代又一代的读者受到感动。情感不仅在艺术创作中，而且在艺术欣赏中也有着十分重要的地位和作用，它使人在欣赏艺术作品时感到兴奋、满足，甚至陶醉。据说孔子在齐国听了《韶》乐后“， 三月不知肉味”，完全沉醉在美妙的音乐之中了。唐代诗圣杜甫听了当时一位音乐家的演奏之后，禁不住发自肺腑地赞叹道:“此曲只应天上有，人间哪得几回闻?”8 这些描述足以说明艺术家的创作活动凝聚和渗透了巨大的威摄和震撼力。　　在审美以及艺术创造和艺术欣赏活动中，情感不仅与形象联系在一起，也同认知联系在一起，是随着审美认知而产生的一种特殊的心理现象，其基础是审美认知。经过审美认知，及其复杂的思想活动，生活中的美才能被发现、被感悟。　　一个思想空虚，缺乏对社会与人生具有深刻认识的人是难以产生丰富、强烈的审美情感的，因而也就不会成为优秀的艺术家和出色的欣赏者。在艺术活动中，情感与思想认知是交融在一起的。没有情感的说教不是艺术，没有思想的情感也不能产生艺术。真正的艺术活动是情感体验与逻辑认知的统一。审美活动与意识形态的统一艺术的审美特性是区别于其他社会实践活动的根本标志。所谓审美特性，是指艺术作品所具有的美学品质和审美价值。艺术作品是艺术家审美理想的结晶，是美的创造的结果。它不仅以情动人，更以美感人，使人得到一种精神上的愉悦享受。艺术作品中的形象由于集中、浓缩了生活中的形象美，因此比生活中实际存在的事物的形象更具有形而上的审美特性。中国传统绘画中的梅花形象，往往老干虬枝，横斜逸出，凌寒傲霜、迎春怒放，体现了一种老树新花、青春勃发的审美内涵，使人产生比观赏生活中的梅花更丰富的美感。艺术作品表现生活中美的形象，使之更加突出完美，表现生活中的丑，同样可以化生活丑为艺术美。艺术家在作品中，通过对生活丑的嘲讽和鞭笞，充分暴露出其丑恶的本质，引起人们对丑的厌恶与鄙视，从而去消灭丑、根除丑用以激发起人们对美好事物的憧憬与向往，此时的生活丑也就具有了一定的美学意义与价值。譬如，以反腐倡廉为题材的艺术作品，通过对腐败现象的暴露和批判，充分揭示了社会腐朽现象对社会主义建设的危害性、并给世人以警示，同样达到了化腐朽为神奇的震撼力，使欣赏者获得了一种特殊的美感。　　艺术不仅是一种审美的活动，具有审美特性，而且艺术仍属于上层建筑中的意识形态，具有意识形态性质。归根结底，艺术是人对世界的一种精神把握的方式，人们通过艺术达到对世界的认识，也包含着人对自己的认识。而且，艺术中的审美性是其最根本的本质属性，其意识形态特征则是隐藏在审美特性之中的，它使艺术的审美世界具有了更为广阔和深邃的内涵

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很好的书，可以系统学习数论知识。