　　《現代數學基礎·伽羅瓦理論：天纔的激情》是一本專門講述伽羅瓦理論的教材。內容包括伽羅瓦理論基本定理和多項式方程的根式可解性、伽羅瓦群的計算及其反問題，《現代數學基礎·伽羅瓦理論：天纔的激情》強調通過伽羅瓦對應，可將代數數域中的問題轉化成群論的問題加以解決。作為這種思想的應用，證明瞭代數基本定理，解決瞭e和π的超過性及尺規作圖的四大古代難題。為方便讀者查閱，附錄中詳細梳理瞭所要用到的群、環、域方麵的結論。每節配有充足的習題並包含提示。《現代數學基礎·伽羅瓦理論：天纔的激情》可作為高等學校數學類各專業的教材，也可供其他相關專業參考。

內頁插圖

序言
前言
0. 伽羅瓦理論概述
1. 有限伽羅瓦擴張
1.1 伽羅瓦對應
1.2 阿廷引理
1.3 戴德金無關性引理
1.4 有限伽羅瓦擴張
習題

2. 伽羅瓦理論基本定理
2.1 錶述及意義
2.2 證明
2.3 注記與例子
2.4 代數基本定理
習題

3. 伽羅瓦群的計算
3.1 伽羅瓦的原始思想
3.2 判彆式
3.3 4次方程
3.4 純粹方程
3.5 分圓域
3.6 素數次對稱群
3.7 布饒爾的構造
習題

4. 一般方程的伽羅瓦群
4.1 一般方程
4.2 伽羅瓦反問題
習題

5. 方程根式可解的伽羅瓦大定理
5.1 曆史背景及錶述
5.2 充分性的證明
5.3 必要性的證明
5.4 3次方程求根公式
5.5 4次方程求根公式
習題

6.模p法
6.1 有理函數域
6.2 模p法
6.3 對稱群
習題

7.e和π的超越性
7.1 林德曼魏爾斯特拉斯定理
7.2 證明
……
附錄I：所需群和環中的結論
附錄II：域論摘要
參考文獻
中英文名詞索引

前言/序言

　　近年來伽羅瓦理論的教學麵臨新的情況，隨著學期的縮短，它在近世代數課程中可用的時間更少；若不高效地處理其核心內容，同學往往未得要領課已結束，而若作為後續課程，則需梳理所要用到的群、環、域的結論；同時，由於伽羅瓦理論沒有及時跟進，近世代數課程可能流於概念，未見精彩深刻的應用。
　　作者在中國科學技術大學和上海交通大學講授此課20餘次，瞭解其中的睏難，我們琢磨如何在盡可能少的課時內講清伽羅瓦理論的核心內容；同時也思考作為後續課程它的教學內容，這本小書就是在此雙重考慮下實踐的産物。
　　如果作為近世代數課程中的一章，則可隻講本書中不帶星號的小節，它們是最基本的內容，隻需8個課時便可完成，這得益於在技術處理上充分運用瞭同構延拓定理：它和阿廷引理並用即可證明伽羅瓦理論基本定理，帶星號的小節則用於後續課程。
　　在思想和方法上，我們強調通過伽羅瓦對應，將代數數域中的問題轉化成有限群的問題加以解決，作為例證，包含瞭伽羅瓦理論基本定理在代數（多項式方程的根式可解性和代數基本定理）、數論（e和π的超越性）和幾何（正n-邊形的尺規作圖）中的應用，在內容上，突齣瞭伽羅瓦群的計算及其反問題，特彆是模p法的使用。
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