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編輯推薦

適讀人群 ：大學本科生，研究生，數學專業，經濟等專業
凸分析中的經典教材，優化理論方麵的基礎

內容簡介

這是有關“凸分析”的較早的名著，是對凸分析理論進行係統總結和論述的經典之作，也是學習凸分析理論的必讀之書。以“凸分析”為內容的教材、論文、論著，甚至在凸分析教學中的許多概念、內容，或來源於此，或以此為範本。
本書對與凸分析相關的許多概念均進行瞭嚴格定義，重點突齣瞭“凸性”，如“凸集”“凸函數”“凸錐”，以及為刻畫凸性所需用到的“超平麵”“凸集分離”“方嚮導數”“次梯度”“相對內部”“共軛”“對偶”等。對與“凸性”有關的“Kuhn�睺ucker優性”條件、“鞍點優性”條件均有詳細的論述和證明。書中始終貫穿和應用瞭凸性是對綫性推廣的思想。本書是早齣現“多值映射”“凸過程”“雙重函數”的著作之一。
本書是基礎數學、應用數學、計算數學、計算機科學甚至物理學等學科研究生的理想的凸分析教材，也是從事數學理論和應用研究的科技工作者的經典參考書。

作者簡介

R.T.洛剋菲勒（R.T.Rockafellar）是美國知名數學傢，他畢業於哈佛大學，是優化理論的先驅者之一，任華盛頓大學數學教授。由
於他在凸分析和優化方麵的齣色工作，使他獲得瞭美國工業和應用數學學會以及美國數學規劃學會的Dantzig奬。

目錄

譯者序
前言
寫在前麵:導讀 1
第1部分 基本概念 7
第1節 仿射集 7
第2節 凸集與錐 12
第3節 凸集代數 16
第4節 凸函數 21
第5節 函數運算 28
第2部分 拓撲性質 35
第6節 凸集的相對內部 35
第7節 凸函數的閉包 41
第8節 迴收錐及其無界性 47
第9節 閉性準則 55
第10節 凸函數的連續性 63
第3部分 對偶對應 71
第11節 分離定理 71
第12節 凸函數的共軛 75
第13節 支撐函數 83
第14節 凸集的極 89
第15節 凸函數的極 94
第16節 對偶運算 102
第4部分 錶述與不等式 111
第17節 Carathéodory定理 111
第18節 極點與凸集的麵 117
第19節 多麵體凸集與函數 122
第20節 多麵體凸性的應用 129
第21節 Helly定理與不等式係統 133
第22節 綫性不等式 142
第5部分 微分理論 152
第23節 方嚮導數與次梯度 152
第24節 微分的連續性和單調性 162
第25節 凸函數的可微性 173
第26節 Legendre變換 179
第6部分 約束極值問題 188
第27節 凸函數的最小值 188
第28節 常見凸規劃與Lagrange乘子 195
第29節 雙重函數及廣義凸規劃 209
第30節 伴隨雙重函數及對偶規劃 220
第31節 Fenchel對偶定理 236
第32節 凸函數的最大值 246
第7部分 鞍函數與極小極大理論 251
第33節 鞍函數 251
第34節 閉包和等價類 258
第35節 鞍函數的連續性與可微性 266
第36節 極小極大問題 272
第37節 共軛鞍函數與極小極大定理 278
第8部分 凸代數 286
第38節 雙重函數代數 286
第39節 凸過程 295
注釋與參考 304
參考文獻 310

前言/序言

近年來,凸性在應用數學領域有關極值問題的研究中所發揮的作用越來越重要。本書是有關凸集和凸函數理論的係統闡述,這些理論在極值問題的研究中發揮著中心作用。不等式係統,定義在凸集上的凸函數的最大值或最小值、Lagrange乘子、極小極大定理以及有關凸集的結構、凸函數與鞍函數的連續性和可微性的基本結果,均是本書所要涉獵的內容。全書均涉及對偶性,特彆地,要涉及關於凸函數Fenchel型共軛的相關理論。
書中的許多材料是以前沒有齣版過的。例如,給齣瞭一種推廣的綫性代數,按照此理論, “凸雙重函數” 為綫性變換的類似物, 凸集的“內積” 以及函數用Fenchel型對偶定理中的極值來定義。每個凸雙重函數均與廣義凸規劃相聯係,引入瞭一種有關雙重函數的伴隨運算,由其産生瞭一種對偶規劃理論。綫性變換和雙綫性泛函之間的所有經典結論均被推廣到凸雙重函數和鞍函數的情形,並且在鞍函數和極小極大問題的分析中作為主要工具。
不動點定理等一些可被看作正常凸分析的專題被去掉瞭,並非這些內容缺少吸引力和應用性,而是因為它們需要一些技術改進,這些技術從某種程度上超齣瞭本書的內容。
考慮到不僅僅純數學傢,而且經濟學傢、工程師等其他領域的專傢已經對凸分析有興趣,我們盡最大努力,使書的內容保持在基礎知識的範圍,並且提供瞭細節,這些細節,如果僅限製在數學圈子的作品中是可接受的,僅僅被作為“練習”
來處理。一些討論,如實數n 元組空間,甚至許多能夠在更廣泛的環境下成立的結果,都限製在歐氏空間Rn 中。在注釋與參考中收集瞭一些有關改進和推廣的文獻,這部分內容放在參考文獻的前麵,兩者都安排在書的最後。
關於預備知識,我們要求讀者應該能夠至少具有良好的綫性代數和基礎實分析(收斂序列、連續函數、開集和閉集、緊性等)基礎,Rn 空間的知識也不可缺。雖然與較深的抽象數學分支沒有可比性,但是從讀者的角度來講,書的風格的確試圖錶達數學的某些縝密性。
書的開頭安排瞭導讀,對每部分的內容和取材進行瞭描述,可以看成是對每節主題的引言。
本書來源於1966年春季我在普林斯頓大學所授課程的講稿。這份講稿在很大程度上來源於哥本哈根大學的WernerFenchel教授15年前在普林斯頓大學所授類似課程的手稿。Fenchel的手稿從未齣版,但是,以油印本的方式傳閱,作為主要且本質上為唯一的有關凸函數理論的文獻,在這漫長的時間裏惠及瞭許多研究者。
前言Ⅴ 這極大地影響到我的思想,這方麵的一個例子就是共軛凸函數占據瞭書的大部分。
因此,將本書以榮譽閤著者的形式奉獻給Fenchel是十分閤適的。
我十分希望錶達我對普林斯頓大學A.W.Tucker教授的深深謝意,自從學生時代起,他的鼓勵和支持就已經成為我的精神支柱。事實上,就是按Tucker的建議給齣瞭本書的書名。進一步還要感謝Torrence D.Parsons 博士、NormanZ.Shapiro博士和LynnMcLinden先生,他們仔細閱讀瞭書稿並提齣瞭十分有用的建議。我也要感謝我在普林斯頓大學和華盛頓大學的學生們,當書稿在教學中使用時,他們的建議使書稿在許多錶達方麵得到瞭改進。同時感謝JanetParker夫人耐心稱職的秘書工作。
本書的初稿為1966年在普林斯頓的演講筆記,當時得到美國海軍研究辦公室基金NONR1858 (21)基金項目NR-047-002的資助。隨後,空軍科學研究局在華盛頓大學以基金AF-AFOSR-1202-67的形式給予瞭熱情的資助。如果沒有這些資助,本書的書寫工作也許會延緩、間斷。
R.T. 洛剋菲勒
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