泛函分析(第6版) YOSIDA 9787506226110 世界圖書齣版社 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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YOSIDA 著

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• 第6版
• 9787506226110
• 理論數學
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出版社： 世界图书出版社

ISBN：9787506226110

商品编码：28186512566

出版时间：2010-05-01

書名	泛函分析(D16版)
定價	75.00
ISBN	9787506226110
齣版社	世界圖書齣版社
作者	YOSIDA
編號	10830126
齣版日期	2010-05-01
印刷日期	2008-11-01
版次	無
字數	無
頁數	無

Contents 0.Preliminaries 1.SetTheory 2.TopologicalSpaces 3.MeasureSpaces 4.LinearSpaces I.Semi-nonns 1.Semi-nonnsandLocallyConvexLinearTopologicalSpaces 2.NonnsandQuasi-nonns 3.ExamplesofNormedLinearSpaces 4.ExamplesofQuasi-nonnedLinearSpaces 5.Pre-HilbertSpaces 6.ContinuityofLinearOperators 7.BoundedSetsandBomologicSpaces 8.GeneralizedFunctionsandGeneralizedDerivatives 9.B-spacesandF-spaces 10.TbeCompletion 11.FactorSpacesofaB-space 12.ThePartitionofUnity 13.GeneralizedFunctionswithCompactSupport 14.TheDirectProductofGeneralizedFunctions II.ApplicationsoftheBaire-HausdorffTheorem 1.TheUnifonnBoundednessTheoremandtheResonanceTheorem 2.TheVitali-Hahn-SaksTheorem 3.TheTermwiseDifferentiabilityofaSequenceofGeneralizedFunctions 4.ThePrincipleottheCondensationofSingularities 5.TheOpenMappingTheorem 6.TheClosedGraphTheorem 7.AnApplicationoftheClosedGraphTheorem(Hormander'sTheorem) III.TheOrthogonalProjectionandF.RieszRepresentationTheo-rem 1.TheOrthogonalProjection 2.'NearlyOrthogonal'Elements …… IV.TheHahn-BanachTheorems V.StrongConvergenceandWeakConvergence VI.FourierTransformandDifferentialEquations VII.DualOperators VIII.ResolventandSpectrum IX.AnalyticalTheoryofSemi-groups XCompactOperators XI.NonnedRingsandSpectralRepresentation XII.OtherRepresentationTheoremsinLinearSpaces XIIT.ErgodicTheoryandDiffusionTheory XIVTheIntegrationoftheEquationofEvolution SupplementaryNotes Bibliography Index NotationofSpaces

hepresentbookisbasedonlecturesgivenbytheauthorattheUniversityofTokyoduringthepasttenyears.ItisintendedasatextbooktobestudiedbystudentsontheirownortobeusedinacourseonFunctionalAnalysis,i.e.,thegeneraltheoryoflinearoperatorsinfunctionspacestogetherwithsalientfeaturesofitsapplicationtodiversefieldsofmodemandclassicalanalysis.Necessaryprerequisitesforthereadingofthisbookaresummarized,withorwithoutproof,inChapter0undertitles:SetTheory,TopologicalSpaces,MeasureSpacesandLinearSpaces.Then,startingwiththechapteronSemi-norms,ageneraltheoryofBanachandHilbertspacesispresentedinconnectionwiththetheoryofgeneralizedfunctionsofS.L.SOBOLEVandL.SCHWARTZ.Whilethebookisprimarilyaddressedtograduatestudents,itishopeditmightproveusefultoresearchmathematicians,bothpureandapplied.Thereadermaypass,e.g.,fromChapterIX(AnalyticalTheory.ofSemi-groups)directlytoChapterXIII(ErgodicTheoryandDiffusionTheory)andtoChapterXIV(IntegrationoftheEquationofEvolution).Suchmaterialsas'WeakTopologiesandDualityinLocallyConvexSpaces'and'NuclearSpaces'arepresentedintheformoftheappendicestoChapterVandChapterX,respectively.Thesemightbeskippedforthefirstreadingbythosewhoareinterestedratherintheapplicationoflinearoperators.

數學的深邃領域：探索抽象的結構與變化 本書並非一本普通的數學讀物，它將引領讀者深入一個引人入勝的數學分支——泛函分析。在這個領域，我們不再局限於熟悉的實數和復數，而是將目光投嚮瞭更加廣闊和抽象的空間，即函數空間。在這裏，函數本身成為瞭我們研究的對象，它們被賦予瞭“點”的地位，而我們則在這些由函數構成的“空間”中，探索其內在的結構、性質以及它們之間發生的各種“變化”。 泛函分析的核心思想在於將代數和幾何的直覺推廣到無限維空間。傳統的歐幾裏得空間（如二維平麵或三維空間）有著清晰的幾何概念，如距離、角度、綫性組閤等。泛函分析則將這些概念抽象化，並將其應用於由函數組成的集閤。想象一下，如果我們將每一個函數視為一個“點”，那麼這些“點”如何構成一個“空間”？這個空間又有哪些“距離”和“結構”？泛函分析就是迴答這些問題的學科。 賦範綫性空間：構造抽象的度量 故事的開端，我們首先會遇到“賦範綫性空間”。這是一個基礎而重要的概念，它為函數的抽象集閤賦予瞭“度量”的意義。在綫性空間中，我們可以進行嚮量的加法和標量乘法，這使得我們可以像處理數字一樣處理函數。而“範數”則是在此基礎上引入的，它為每個函數定義瞭一個“長度”或“大小”。這個範數必須滿足一係列嚴格的性質：非負性、零嚮量範數為零、齊次性（常數乘以嚮量的範數等於常數的絕對值乘以嚮量的範數）以及三角不等式（兩個嚮量之和的範數小於等於它們各自範數之和）。 範數的引入，使得我們可以在函數空間中談論“距離”。兩個函數之間的距離，就可以通過它們之差的範數來衡量。這為我們提供瞭研究函數“接近程度”的可能性，也為極限、連續性等概念的推廣奠定瞭基礎。常見的賦範綫性空間例子包括： Lp空間： 這是泛函分析中最為重要的函數空間之一。對於一個定義在某個度量空間上的復值或實值函數 $f$，我們定義其Lp範數為 $||f||_p = (int |f(x)|^p dx)^{1/p}$ （對於 $p geq 1$）。當 $p=2$ 時，我們得到L2空間，也稱為平方可積函數空間。L2空間擁有一個內積，這使得它成為瞭希爾伯特空間，擁有瞭豐富的幾何性質。 C(K)空間： 這是定義在緊緻空間K上的連續復值或實值函數空間。其範數通常定義為函數在K上的最大絕對值，即 $||f||_infty = sup_{x in K} |f(x)|$。C(K)空間在逼近論和微分方程的研究中扮演著重要角色。 巴拿赫空間：完備性的重要性 賦範綫性空間雖然賦予瞭函數“大小”的概念，但它在某些情況下可能“不完整”。想象一下，在一組數的序列中，我們可能想要找到一個極限值，但這個極限值可能並不存在於這組數之中。在函數空間中，同樣存在這樣的“缺失”。“完備性”正是為瞭解決這個問題而引入的。 一個完備的賦範綫性空間被稱為“巴拿赫空間”。完備性意味著，任何在該空間中的柯西序列（即距離越來越小的序列）都有一個在該空間內的極限。這對於數學分析中的許多重要定理的證明至關重要，例如收斂定理、不動點定理等。巴拿赫空間為我們提供瞭一個更加“可靠”的分析工具，使得我們能夠在這個抽象的空間中進行更深入的探索。 希爾伯特空間：內積帶來的幾何之美 如果一個賦範綫性空間不僅擁有範數，還擁有一個“內積”，那麼它就成為瞭一個“希爾伯特空間”。內積不僅定義瞭範數（通過 $||x|| = sqrt{}$），還賦予瞭空間豐富的幾何結構，比如角度和正交性。我們熟悉的嚮量點乘就是一種內積。 在希爾伯特空間中，我們可以談論嚮量之間的“夾角”（盡管在無限維空間中，這個概念可能與我們直觀的幾何概念有所不同），更重要的是，我們可以討論“正交性”。正交性在很多領域都起著核心作用，例如傅裏葉級數就是希爾伯特空間中一組正交函數的展開。希爾伯特空間因其強大的幾何性質，在量子力學、信號處理等領域有著廣泛的應用。 有界綫性算子：函數空間的“變換” 在掌握瞭函數空間的結構之後，我們自然會想研究在這些空間之間進行的“變換”。這些變換就是“算子”。在泛函分析中，我們主要關注“綫性算子”。一個算子 $T$ 是綫性的，如果對於空間中的任意兩個函數 $f, g$ 和任意復數 $a$，都有 $T(f+g) = T(f) + T(g)$ 和 $T(af) = aT(f)$。 然而，並非所有的綫性算子都“錶現良好”。在泛函分析中，我們特彆關注“有界綫性算子”。一個綫性算子 $T$ 是有界的，如果存在一個常數 $M geq 0$，使得對於空間中的任意函數 $f$，都有 $||T(f)|| leq M||f||$。這個常數 $M$ 被稱為算子的範數。 有界綫性算子是泛函分析研究的重點，因為它們通常具有良好的性質，並且可以通過範數來衡量其“強度”。它們在微分方程、積分方程以及各種數學模型中扮演著至關重要的角色。例如，微分算子（如求導算子）和積分算子（如積分變換）都可以被看作是作用在函數空間上的有界綫性算子。 譜理論：算子的高維“本徵值” 就像矩陣擁有特徵值和特徵嚮量一樣，有界綫性算子也有其“譜”。譜理論是泛函分析中一個非常深刻和迷人的領域，它研究的是算子的“本徵值”以及更一般化的“譜”。 對於一個綫性算子 $A$，如果存在一個非零嚮量 $v$ 和一個常數 $lambda$，使得 $Av = lambda v$，那麼 $lambda$ 就是 $A$ 的一個本徵值，$v$ 就是對應的本徵嚮量。本徵值和本徵嚮量揭示瞭算子作用下哪些方嚮不會改變，隻是被拉伸或壓縮。 在無限維的巴拿赫空間和希爾伯特空間中，譜理論變得更加復雜和豐富。譜不一定是一組離散的本徵值，而可能是一個連續的集閤，稱為“連續譜”。譜理論可以幫助我們理解算子的性質，解決算子方程，甚至揭示係統的長期行為。它在量子力學中尤為重要，因為量子係統的能量本徵值就是其哈密頓算子的譜。 應用與展望：泛函分析的力量 泛函分析並非僅僅是抽象的數學理論，它擁有極其廣泛而重要的應用。 偏微分方程： 許多偏微分方程的求解，特彆是邊界值問題，都可以通過泛函分析中的各種方法（如能量方法、變分法）來處理。希爾伯特空間和巴拿赫空間為分析微分算子和方程提供瞭嚴謹的框架。 量子力學： 量子力學中的波函數就存在於一個希爾伯特空間中，物理量對應於算子，係統的演化方程（如薛定諤方程）也與算子理論密切相關。譜理論在確定量子係統的能量能級方麵起著核心作用。 信號處理與圖像分析： 傅裏葉分析、小波分析等都與希爾伯特空間和算子理論緊密相連，它們是分析和處理信號、圖像的關鍵工具。 數值分析： 許多數值算法的設計和分析，例如有限元方法，都依賴於對函數空間和算子的理解。 優化理論： 最優化問題，尤其是在無窮維空間中的優化，常常需要利用泛函分析的工具來分析目標函數和約束條件。 本書的探索將帶領讀者一步步建立起對這些抽象概念的理解，並逐步揭示它們在解決實際問題中所展現齣的強大力量。通過對這些基本概念的深入學習，讀者將能夠更好地理解現代數學的語言，並為進一步探索更高級的數學領域打下堅實的基礎。

评分☆☆☆☆☆

要說這本書的精髓，恐怕要數它對算子理論那部分的深入剖析瞭。很多教材在講到緊算子、譜理論時，往往隻是蜻蜓點水，或者把證明過程寫得過於簡潔，留給讀者的自我消化空間太小。但在這本書裏，作者似乎深知初學者的睏境，每一個關鍵的定理，比如譜定理的推導，都展現瞭極其清晰的邏輯鏈條和詳盡的步驟。我特彆欣賞它在處理自伴隨算子時的那種冷靜而深刻的分析，它沒有急於跳躍到復雜的無窮維情形，而是先在有限維空間中建立直覺，再巧妙地過渡到無限維空間，這種“由淺入深”的教學策略，極大地降低瞭理解難度。讀完這部分，我對諸如勒貝格積分與$L^p$空間的聯係有瞭前所未有的清晰認識。而且，書中的習題設計也十分巧妙，它們不是簡單的重復練習，而是對核心概念的變式和深化，逼迫讀者真正去思考定理的適用範圍和局限性。這本書，無疑是想培養齣能夠真正理解泛函分析“骨架”的數學傢，而不是隻會套用公式的計算員。

评分☆☆☆☆☆

這套書簡直是數學殿堂裏的瑰寶，尤其是對於那些想在抽象代數和拓撲學之間架起堅實橋梁的求知者來說。它不像市麵上很多教材那樣，上來就拋齣一堆艱澀的定義和定理，讓人望而卻步。這本書的敘述方式非常講究，仿佛一位經驗老到的導師，循循善誘，讓你在不知不覺中領悟到那些深層次的結構。它對嚮量空間、綫性變換的討論，細緻入微，為後續的泛函分析打下瞭極其牢固的基礎。我記得初次接觸到希爾伯特空間時，感覺像是在迷霧中找到瞭燈塔，而這本書的講解，恰到好處地把握瞭直覺與嚴謹的平衡點。更讓人稱道的是，它在引入新概念時，總是能結閤一些經典的、有代錶性的例子，使得那些原本抽象的數學對象立刻變得“可觸摸”起來。即便是那些初次接觸高等數學的同學，隻要肯花時間啃下來，也能從中汲取到豐富的養分，遠非那些隻注重形式推導的教材可比。它不僅僅是知識的堆砌，更是一種數學思維的塑造過程，讓人在閱讀的過程中，不斷地反思和構建自己的數學世界觀。

评分☆☆☆☆☆

對於那些對測度論和概率論有一定基礎的讀者來說，這本書後續探討的馬爾可夫過程與隨機過程的泛函分析視角，簡直是打開瞭一扇新的大門。它將抽象的分析工具，成功地嫁接到瞭處理不確定性問題的場景中，展現瞭數學語言的強大統一性。我尤其喜歡作者在引入鞅論時的那種優雅過渡，將那些復雜的隨機變量序列，通過函數空間的範數收斂和弱收斂的概念重新審視，頓時豁然開朗。這種跨學科的視角，讓原本枯燥的純數學理論煥發齣瞭勃勃生機。它沒有將概率論視為一個孤立的領域，而是將其置於更宏大的分析框架下進行考察。讀完這部分，你會深刻體會到，泛函分析不僅僅是研究“函數空間”的工具，它更是研究“變化”和“極限”的通用語言，能夠描述自然界和信息科學中各種復雜的動態係統。

评分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀和紙張質量也值得一提，作為一本經典教材，它的耐用性是考量的重點。世界圖書齣版社的這個版本，觸感非常紮實，油墨印製清晰，即便是經常需要對照著查閱和在頁邊空白處做大量筆記的讀者，也不用擔心字跡模糊或紙張容易破損。在長時間的案頭工作後，這本書的穩定感給人一種可靠的依靠。相較於一些追求輕薄的現代教材，這種略顯“厚重”的實體書，反而更能體現其內容的沉甸甸的分量。我習慣在閱讀數學著作時，經常在不同的章節之間來迴跳轉，這本書的目錄設計得也很閤理，索引清晰，方便快速定位。這種對細節的關注，雖然不直接關乎數學內容的深度，但對於提升閱讀體驗、保證學習的連續性而言，是至關重要的加分項。手捧著它，仿佛能感受到前輩學者們對知識傳承的敬畏之心。

评分☆☆☆☆☆

總的來說，這本教材的深度和廣度，使得它在同類書籍中顯得尤為突齣。它不僅僅是一本教科書，更像是一部藝術品，每一章的安排都經過瞭深思熟慮。它要求讀者投入時間、耐心和思考，但迴報是巨大的——你將獲得對現代數學分析領域最核心概念的深刻洞察力。它的嚴謹性毋庸置疑，但更難得的是，它始終保持著一種對數學美感的追求。閱讀它，就像攀登一座設計精妙的山峰，雖然過程艱辛，但每到達一個平颱，視野都會變得更加開闊。對於任何緻力於從事純數學研究、理論物理，或者需要精深數學背景的工程領域的人士來說，這本書都應該被置於書架最顯眼的位置，因為它提供的遠不止是知識點，更是一種麵對復雜問題的解決思路和堅韌的學術精神。