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译者序
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致学生
作者简介
符号表
第1章 基础：逻辑和证明 1
1.1 命题逻辑 1
1.1.1 引言 1
1.1.2 命题 1
1.1.3 条件语句 4
1.1.4 复合命题的真值表 7
1.1.5 逻辑运算符的优先级 8
1.1.6 逻辑运算和比特运算 8
练习 9
1.2 命题逻辑的应用 15
1.2.1 引言 15
1.2.2 语句翻译 15
1.2.3 系统规范说明 16
1.2.4 布尔搜索 16
1.2.5 逻辑谜题 17
1.2.6 逻辑电路 18
练习 20
1.3 命题等价式 23
1.3.1 引言 23
1.3.2 逻辑等价式 23
1.3.3 德·摩根律的运用 25
1.3.4 构造新的逻辑等价式 26
1.3.5 可满足性 28
1.3.6 可满足性的应用 28
1.3.7 可满足性问题求解 30
练习 31
1.4 谓词和量词 34
1.4.1 引言 34
1.4.2 谓词 34
1.4.3 量词 37
1.4.4 有限域上的量词 39
1.4.5 受限域的量词 39
1.4.6 量词的优先级 40
1.4.7 变量绑定 40
1.4.8 涉及量词的逻辑等价式 40
1.4.9 量化表达式的否定 41
1.4.10 语句到逻辑表达式的翻译 42
1.4.11 系统规范说明中量词的使用 43
1.4.12 选自路易斯·卡罗尔的例子 44
1.4.13 逻辑程序设计 45
练习 46
1.5 嵌套量词 51
1.5.1 引言 51
1.5.2 理解涉及嵌套量词的语句 51
1.5.3 量词的顺序 52
1.5.4 数学语句到嵌套量词语句的翻译 53
1.5.5 嵌套量词到自然语言的翻译 54
1.5.6 汉语语句到逻辑表达式的翻译 54
1.5.7 嵌套量词的否定 55
练习 56
1.6 推理规则 62
1.6.1 引言 62
1.6.2 命题逻辑的有效论证 62
1.6.3 命题逻辑的推理规则 63
1.6.4 使用推理规则建立论证 65
1.6.5 消解律 66
1.6.6 谬误 66
1.6.7 量化命题的推理规则 67
1.6.8 命题和量化命题推理规则的组合使用 68
练习 69
1.7 证明导论 72
1.7.1 引言 72
1.7.2 一些专用术语 72
1.7.3 理解定理是如何陈述的 73
1.7.4 证明定理的方法 73
1.7.5 直接证明法 73
1.7.6 反证法 74
1.7.7 归谬证明法 76
1.7.8 证明中的错误 78
1.7.9 良好的开端 79
练习 80
1.8 证明的方法和策略 81
1.8.1 引言 81
1.8.2 穷举证明法和分情形证明法 81
1.8.3 存在性证明 84
1.8.4 唯一性证明 86
1.8.5 证明策略 87
1.8.6 寻找反例 89
1.8.7 证明策略实践 90
1.8.8 拼接 90
1.8.9 开放问题的作用 92
1.8.10 其他证明方法 93
练习 94
关键术语和结论 96
复习题 97
补充练习 98
计算机课题 100
计算和探索 101
写作课题 101
第2章 基本结构：集合、函数、序列、求和与矩阵 102
2.1 集合 102
2.1.1 引言 102
2.1.2 文氏图 104
2.1.3 子集 105
2.1.4 集合的大小 106
2.1.5 幂集 107
2.1.6 笛卡儿积 107
2.1.7 使用带量词的集合符号 109
2.1.8 真值集和量词 109
练习 109
2.2 集合运算 112
2.2.1 引言 112
2.2.2 集合恒等式 114
2.2.3 扩展的并集和交集 116
2.2.4 集合的计算机表示 117
2.2.5 多重集 118
练习 119
2.3 函数 123
2.3.1 引言 123
2.3.2 一对一函数和映上函数 125
2.3.3 反函数和函数合成 128
2.3.4 函数的图 130
2.3.5 一些重要的函数 130
2.3.6 部分函数 133
练习 133
2.4 序列与求和 138
2.4.1 引言 138
2.4.2 序列 138
2.4.3 递推关系 139
2.4.4 特殊的整数序列 141
2.4.5 求和 144
练习 147
2.5 集合的基数 150
2.5.1 引言 150
2.5.2 可数集合 151
2.5.3 不可数集合 153
练习 155
2.6 矩阵 157
2.6.1 引言 157
2.6.2 矩阵算术 158
2.6.3 矩阵的转置和幂 159
2.6.4 0-1矩阵 160
练习 161
关键术语和结论 164
复习题 166
补充练习 166
计算机课题 168
计算和探索 169
写作课题 169
第3章 算法 170
3.1 算法 170
3.1.1 引言 170
3.1.2 搜索算法 172
3.1.3 排序 174
3.1.4 字符串匹配 176
3.1.5 贪婪算法 177
3.1.6 停机问题 179
练习 180
3.2 函数的增长 183
3.2.1 引言 183
3.2.2 大O记号 184
3.2.3 一些重要函数的大O估算 187
3.2.4 函数组合的增长 190
3.2.5 大Ω与大Θ记号 191
练习 192
3.3 算法的复杂度 196
3.3.1 引言 196
3.3.2 时间复杂度 196
3.3.3 矩阵乘法的复杂度 198
3.3.4 算法范型 199
3.3.5 理解算法的复杂度 201
练习 203
关键术语和结论 207
复习题 208
补充练习 209
计算机课题 211
计算和探索 211
写作课题 212
第4章 数论和密码学 213
4.1 整除性和模算术 213
4.1.1 引言 213
4.1.2 除法 213
4.1.3 除法算法 214
4.1.4 模算术 215
4.1.5 模m算术 217
练习 218
4.2 整数表示和算法 220
4.2.1 引言 220
4.2.2 整数表示 220
4.2.3 整数运算算法 223
4.2.4 模指数运算 225
练习 226
4.3 素数和最大公约数 229
4.3.1 引言 229
4.3.2 素数 229
4.3.3 试除法 230
4.3.4 埃拉托斯特尼筛法 231
4.3.5 关于素数的猜想和开放问题 235
4.3.6 最大公约数和最小公倍数 236
4.3.7 欧几里得算法 238
4.3.8 gcd的线性组合表示 239
练习 242
4.4 求解同余方程 245
4.4.1 引言 245
4.4.2 线性同余方程 245
4.4.3 中国剩余定理 247
4.4.4 大整数的计算机算术 248
4.4.5 费马小定理 249
4.4.6 伪素数 250
4.4.7 原根和离散对数 251
练习 252
4.5 同余的应用 255
4.5.1 散列函数 255
4.5.2 伪随机数 256
4.5.3 校验码 257
练习 259
4.6 密码学 260
4.6.1 引言 260
4.6.2 古典密码学 261
4.6.3 公钥密码学 263
4.6.4 RSA密码系统 265
4.6.5 RSA加密 265
4.6.6 RSA解密 266
4.6.7 用RSA作为公钥系统 266
4.6.8 密码协议 267
4.6.9 同态加密 268
练习 269
关键术语和结论 271
复习题 273
补充练习 273
计算机课题 275
计算和探索 276
写作课题 276
第5章 归纳与递归 278
5.1 数学归纳法 278
5.1.1 引言 278
5.1.2 数学归纳法 279
5.1.3 为什么数学归纳法是有效的 280
5.1.4 选择正确的基础步骤 280
5.1.5 运用数学归纳法进行证明的原则 281
5.1.6 数学归纳法的优点与缺点 281
5.1.7 利用数学归纳法证明的例子 281
5.1.8 使用数学归纳法时犯的错误 290
练习 291
5.2 强归纳法与良序性 296
5.2.1 引言 296
5.2.2 强归纳法 296
5.2.3 利用强归纳法证明的例子 298
5.2.4 计算几何学中使用强归纳法 300
5.2.5 利用良序性证明 302
练习 302
5.3 递归定义与结构归纳法 306
5.3.1 引言 306
5.3.2 递归地定义函数 307
5.3.3 递归地定义集合与结构 309
5.3.4 结构归纳法 312
5.3.5 广义归纳法 315
练习 315
5.4 递归算法 320
5.4.1 引言 320
5.4.2 证明递归算法的正确性 322
5.4.3 递归与迭代 323
5.4.4 归并排序 324
练习 327
5.5 程序正确性 329
5.5.1 引言 329
5.5.2 程序验证 329
5.5.3 推理规则 330
5.5.4 条件语句 330
5.5.5 循环不变量 332
练习 333
关键术语和结论 334
复习题 335
补充练习 336
计算机课题 340
计算和探索 341
写作课题 341
第6章 计数 342
6.1 计数的基础 342
6.1.1 引言 342
6.1.2 基本的计数原则 342
6.1.3 比较复杂的计数问题 346
6.1.4 减法法则（两个集合的容斥原理） 347
6.1.5 除法法则 349
6.1.6 树图 349
练习 350
6.2 鸽巢原理 354
6.2.1 引言 354
6.2.2 广义鸽巢原理 355
6.2.3 鸽巢原理的几个简单应用 357
练习 359
6.3 排列与组合 361
6.3.1 引言 361
6.3.2 排列 361
6.3.3 组合 362
练习 365
6.4 二项式系数和恒等式 367
6.4.1 二项式定理 368
6.4.2 帕斯卡恒等式和三角形 370
6.4.3 其他的二项式系数
恒等式 371
练习 372
6.5 排列与组合的推广 375
6.5.1 引言 375
6.5.2 有重复的排列 375
6.5.3 有重复的组合 375
6.5.4 具有不可区别物体的集合的排列 378
6.5.5 把物体放入盒子 379
练习 382
6.6 生成排列和组合 385
6.6.1 引言 385
6.6.2 生成排列 385
6.6.3 生成组合 386
练习 387
关键术语和结论 388
复习题 389
补充练习 390
计算机课题 393
计算和探索 394
写作课题 394
第7章 离散概率 395
7.1 离散概率引论 395
7.1.1 引言 395
7.1.2 有限概率 395
7.1.3 事件组合的概率 398
7.1.4 概率的推理 399
练习 399
7.2 概率论 402
7.2.1 引言 402
7.2.2 概率指派 402
7.2.3 事件的组合 403
7.2.4 条件概率 404
7.2.5 独立性 405
7.2.6 伯努利试验与二项分布 406
7.2.7 随机变量 407
7.2.8 生日问题 408
7.2.9 蒙特卡罗算法 409
7.2.10 概率方法 411
练习 412
7.3 贝叶斯定理 414
7.3.1 引言 414
7.3.2 贝叶斯定理 415
7.3.3 贝叶斯垃圾邮件过滤器 417
练习 420
7.4 期望值和方差 422
7.4.1 引言 422
7.4.2 期望值 422
7.4.3 期望的线性性质 424
7.4.4 平均情形下的计算复杂度 425
7.4.5 几何分布 427
7.4.6 独立随机变量 428
7.4.7 方差 429
7.4.8 切比雪夫不等式 431
练习 433
关键术语和结论 435
复习题 436
补充练习 437
计算机课题 440
计算和探索 441
写作课题 441
第8章 高级计数技术 442
8.1 递推关系的应用 442
8.1.1 引言 442
8.1.2 用递推关系构造模型 443
8.1.3 算法与递推关系 447
练习 450
8.2 求解线性递推关系 453
8.2.1 引言 453
8.2.2 求解常系数线性齐次递推关系 454
8.2.3 求解常系数线性非齐次递推关系 458
练习 460
8.3 分治算法和递推关系 463
8.3.1 引言 463
8.3.2 分治递推关系 463
练习 469
8.4 生成函数 471
8.4.1 引言 471
8.4.2 关于幂级数的有用事实 471
8.4.3 计数问题与生成函数 474
8.4.4 使用生成函数求解递推关系 477
8.4.5 使用生成函数证明恒等式 478
练习 479
8.5 容斥 484
8.5.1 引言 484
8.5.2 容斥原理 484
练习 487
8.6 容斥原理的应用 488
8.6.1 引言 488
8.6.2 容斥原理的另一种形式 488
8.6.3 埃拉托色尼筛 489
8.6.4 映上函数的个数 490
8.6.5 错位排列 490
练习 492
关键术语和结论 493
复习题 494
补充练习 495
计算机课题 497
计算和探索 498
写作课题 498
第9章 关系500 9. 1
关系及其性质 500
9.1.1 引言 500
9.1.2 函数作为关系 501
9.1.3 集合的关系 501
9.1.4 关系的性质 502
9.1.5 关系的组合 504
练习 506
9.2 n元关系及其应用 510
9.2.1 引言 510
9.2.2 n元关系 510
9.2.3 数据库和关系 511
9.2.4 n元关系的运算 512
9.2.5 SQL 514
9.2.6 数据挖掘中的关联规则 514
练习 516
9.3 关系的表示 518
9.3.1 引言 518
9.3.2 用矩阵表示关系 518
9.3.3 用图表示关系 521
练习 522
9.4 关系的闭包 524
9.4.1 引言 524
9.4.2 不同类型的闭包 524
9.4.3 有向图中的路径 525
9.4.4 传递闭包 526
9.4.5 沃舍尔算法 529
练习 531
9.5 等价关系 533
9.5.1 引言 533
9.5.2 等价关系 533
9.5.3 等价类 534
9.5.4 等价类与划分 536
练习 538
9.6 偏序 542
9.6.1 引言 542
9.6.2 字典顺序 544
9.6.3 哈塞图 545
9.6.4 极大元与极小元 546
9.6.5 格 548
9.6.6 拓扑排序 550
练习 551
关键术语和结论 556
复习题 557
补充练习 558
计算机课题 561
计算和探索 562
写作课题 562
第10章 图 563
10.1 图和图模型 563
10.1.1 图模型 565
练习 570
10.2 图的术语和几种特殊的图 573
10.2.1 引言 573
10.2.2 基本术语 573
10.2.3 一些特殊的简单图 575
10.2.4 二分图 576
10.2.5 二分图和匹配 577
10.2.6 特殊类型图的一些应用 580
10.2.7 从旧图构造新图 582
练习 584
10.3 图的表示和图的同构 587
10.3.1 引言 587
10.3.2 图的表示 588
10.3.3 邻接矩阵 588
10.3.4 关联矩阵 590
10.3.5 图的同构 590
10.3.6 判定两个简单图是否同构 591
练习 593
10.4 连通性 598
10.4.1 引言 598
10.4.2 通路 598
10.4.3 无向图的连通性 600
10.4.4 图是如何连通的 601
10.4.5 有向图的连通性 603
10.4.6 通路与同构 604
10.4.7 计算顶点之间的通路数 605
练习 606
10.5 欧拉通路与哈密顿通路 611
10.5.1 引言 611
10.5.2 欧拉通路与欧拉回路 611
10.5.3 哈密顿通路与哈密顿回路 615
10.5.4 哈密顿回路的应用 618
练习 619
10.6 最短通路问题 623
10.6.1 引言 623
10.6.2 最短通路算法 625
10.6.3 旅行商问题 629
练习 630
10.7 平面图 633
10.7.1 引言 633
10.7.2 欧拉公式 634
10.7.3 库拉图斯基定理 637
练习 638
10.8 图着色 640
10.8.1 引言 640
10.8.2 图着色的应用 644
练习 645
关键术语和结论 648
复习题 650
补充练习 651
计算机课题 656
计算和探索 656
写作课题 657
第11章 树 658
11.1 树的概述 658
11.1.1 有根树 659
11.1.2 树作为模型 662
11.1.3 树的性质 663
练习 666
11.2 树的应用 668
11.2.1 引言 668
11.2.2 二叉搜索树 668
11.2.3 决策树 671
11.2.4 前缀码 672
11.2.5 博弈树 674
练习 678
11.3 树的遍历 681
11.3.1 引言 681
11.3.2 通用地址系统 681
11.3.3 遍历算法 682
11.3.4 中缀、前缀和后缀记法 688
练习 690
11.4 生成树 693
11.4.1 引言 693
11.4.2 深度优先搜索 694
11.4.3 宽度优先搜索 696
11.4.4 回溯的应用 698
11.4.5 有向图中的深度优先搜索 700
练习 701
11.5 最小生成树 704
11.5.1 引言 704
11.5.2 最小生成树算法 704
练习 707
关键术语和结论 709
复习题 710
补充练习 711
计算机课题 714
计算和探索 714
写作课题 715
第12章 布尔代数 716
12.1 布尔函数 716
12.1.1 引言 716
12.1.2 布尔表达式和布尔函数 717
12.1.3 布尔代数恒等式 718
12.1.4 对偶性 720
12.1.5 布尔代数的抽象定义 720
练习 721
12.2 布尔函数的表示 722
12.2.1 积之和展开式 723
12.2.2 函数完备性 724
练习 724
12.3 逻辑门电路 725
12.3.1 引言 725
12.3.2 门的组合 726
12.3.3 电路的例子 726
12.3.4 加法器 728
练习 729
12.4 电路的极小化 731
12.4.1 引言 731
12.4.2 卡诺图 732
12.4.3 无须在意的条件 737
12.4.4 奎因-莫可拉斯基方法 737
练习 741
关键术语和结论 743
复习题 744
补充练习 744
计算机课题 746
计算和探索 746
写作课题 747
第13章 计算模型 748
13.1 语言和文法 748
13.1.1 引言 748
13.1.2 短语结构文法 749
13.1.3 短语结构文法的类型 751
13.1.4 派生树 752
13.1.5 巴克斯-诺尔范式 754
练习 755
13.2 带输出的有限状态机 758
13.2.1 引言 758
13.2.2 带输出的有限状态机 759
练习 762
13.3 不带输出的有限状态机 764
13.3.1 引言 764
13.3.2 串的集合 764
13.3.3 有限状态自动机 765
13.3.4 有限状态机的语言识别 766
13.3.5 非确定性的有限状态自动机 771
练习 773
13.4 语言的识别 777
13.4.1 引言 777
13.4.2 克莱因定理 778
13.4.3 正则集合和正则文法 781
13.4.4 一个不能由有限状态自动机识别的集合 783
13.4.5 一些更强大的机器 783
练习 784
13.5 图灵机 786
13.5.1 引言 786
13.5.2 图灵机的定义 787
13.5.3 用图灵机识别集合 789
13.5.4 用图灵机计算函数 790
13.5.5 不同类型的图灵机 790
13.5.6 丘奇-图灵论题 791
13.5.7 计算复杂度、可计算性和可判定性 791
练习 794
关键术语和结论 796
复习题 797
补充练习 798
计算机课题 800
计算和探索 800
写作课题 800
附录A 实数和正整数的公理 802
附录B 指数与对数函数 807
附录C 伪代码 809
推荐读物 813
参考文献 817
奇数编号练习答案
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