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序言 ix
关于作者 xiii
第一章 数 1
第一节 数与数字 1
第二节 数系 3
第三节 不可公度数 5
第四节 柏拉图主义 8
第五节 逻辑主义 11
第六节 解释算术 19
第七节 数不能是什么 30
第八节 戴德金算术 34
第九节 数学归纳法 37
第十节 结构主义 42
第十一节 实数是什么？ 56
第十二节 超越数 65
第十三节 复数 67
第十四节 当代类型论 73
第十五节 其他数类 75
第十六节 哲学有什么意义？ 75
第十七节 说到最后，究竟什么是数？ 76
思考题 77
扩展阅读 80
致谢与出处 81
第二章 严格性 83
第一节 连续性 83
第二节 瞬时变化 89
第三节 概念词汇的扩大 92
第四节 最小上界原则 95
第五节 数学的不可或缺性 100
第六节 函数概念中的抽象化 105
第七节 再谈无穷小量 113
思考题 125
扩展阅读 128
致谢与出处 129
第三章 无穷 131
第一节 希尔伯特旅馆 131
第二节 可数集合 134
第三节 等数性 137
第四节 希尔伯特杯半程马拉松 140
第五节 不可数性 141
第六节 康托论超越数 146
第七节 论集合子集的数量 149
第八节 超越等数性：大小比较原则 158
第九节 什么是康托的连续统假设？ 163
第十节 超穷基数——“阿列夫”序列和“贝斯”序列 165
第十一节 芝诺悖论 169
第十二节 如何计数 171
思考题 174
扩展阅读 178
致谢与出处 179
第四章 几何 181
第一节 几何构造 182
第二节 非规矩数 190
第三节 其他可选工具集 194
第四节 几何学的本体论 199
第五节 图示和图形的作用 200
第六节 非欧几何 212
第七节 欧几里得的错误？ 220
第八节 几何学与物理空间 223
第九节 庞加莱论几何的性质 225
第十节 塔斯基论几何的可判定性 226
思考题 228
扩展阅读 230
致谢与出处 231
第五章 证明 233
第一节 句法-语义之分 234
第二节 什么是证明？ 236
第三节 形式证明和证明论 252
第四节 自动化定理证明和证明验证 264
第五节 完全性定理 268
第六节 非经典逻辑 272
第七节 结论 281
思考题 281
扩展阅读 284
致谢与出处 285
第六章 可计算性 287
第一节 原始递归 288
第二节 图灵论可计算性 297
第三节 算力：层谱观和阈值观 308
第四节 丘奇-图灵论题 310
第五节 不可判定性 312
第六节 可计算的数 315
第七节 带信息源的计算和图灵度 318
第八节 计算复杂度理论 320
思考题 329
扩展阅读 333
第七章 不完全性 335
第一节 希尔伯特计划 337
第二节 第一不完全性定理 341
第三节 第二不完全性定理 353
第四节 哥德尔-罗瑟不完全性定理 357
第五节 塔斯基的真之不可定义定理 359
第六节 费弗曼理论 360
第七节 无处不在的独立性 361
第八节 反推数学 363
第九节 古德斯坦定理 367
第十节 勒布定理 371
第十一节 两种不可判定性 373
思考题 374
扩展阅读 377
第八章 集合论 379
第一节 康托-本迪克森定理 380
第二节 作为数学基础的集合论 383
第三节 普遍概括原理 388
第四节 层垒的谱系 393
第五节 分离公理 396
第六节 外延性 400
第七节 替换公理 402
第八节 选择公理与良序定理 406
第九节 大基数 412
第十节 连续统假设 422
第十一节 单宇宙观 424
第十二节 新公理的标准 427
第十三节 数学需要新公理吗？ 432
第十四节 多宇宙观 437
思考题 443
扩展阅读 446
致谢与出处 447
参考文献 449
术语索引 461
主题索引 463
译后记 487
· · · · · · (收起)