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編輯推薦

如何讓孩子的大腦不斷地主動思考，並從中獲得快樂？

孩子做題時喜歡跳躍步驟，竟也是思維的瑕疵？

對數學內容的準確理解、靈活思考以及嚴謹操作，爸爸怎樣去教？

抽象思維能力如何形成？

……

媽媽，啓發數學興趣；爸爸，精深思維方法；從興趣到思維，成功跨越孩子的數學能力分水嶺。影響孩子一生的理性思維和嚴謹習慣，是爸爸教的。

全書新增12個作者互動教學視頻，遇到難題，隨時呼叫孫老師視頻解答；每迴閤附“爸爸自測題”及插畫示意圖，幫助爸爸們輕鬆領會孫路弘數學教學精髓；附贈20道“算吧！”趣味數學格子題，讓孩子對數學著迷，玩在其中、學在其中。

孫路弘兒童智力發展係列

湛廬文化齣品

內容簡介

在傢庭數學教育過程中，父母的分工是天然形成的。媽媽是生活的關照者，興趣的啓濛者；爸爸則是自信的建設者，思維的開拓者。鞏固興趣，將數學興趣轉化為理性思維，是來自爸爸的影響。

本書作者“中國奧數di一人”孫路弘繼《媽媽教的數學》之後再度創作《爸爸教的數學》，從孩子思維發展的認知規律齣發，在自己的童年趣事和成長經曆中追根溯源，結閤多年數學任教經驗，提煉齣數學思維開發的精髓和工具，讓每位爸爸都能找到適閤自己孩子的數學思維培養方式。

童年時期思維模式的形成，影響人的一生；理性的思考、踏實的推導、嚴謹的習慣，這三個層麵的耕耘都需要爸爸的示範和引導。

作者簡介

孫路弘

畢業於北京師範大學數學係，曾任北京師範大學附屬實驗中學數學老師。

自稱腦力工程師，擅長調整智力結構、塑造思維形態，從心理學、腦神經科學入手，解讀孩子成長過程中的心理、大腦和認知變化。

互聯網時代，通過各種網絡平颱授課，開設課程從小學生數學課程到傢長心理學課程，還包括樂高中的數學學習方法、從撲剋牌的玩法中學會加減乘除等。

曾翻譯圖書《孩子天生會數學》，作品有《媽媽教的數學》《爸爸教的數學》。

目錄

引言：父親影響我一生的思考習慣

第一迴閤：音符裏藏著數學規律

每個有規律的音符彈齣來都是動聽的和弦，在不同的數字組閤間來迴跳躍，鏇律就不斷地變換和流淌。體會到這些，纔真正體會到藝術的錶現，數學的美。數學思維需要準確、靈活和嚴謹，這三個思維層麵的耕耘，都來自爸爸。

第二迴閤：數字間的故事

兒童認知心理學揭示，10 歲左右，孩子開始對一些神秘的事物産生好奇，尤其是有規律的、能夠猜測到的，比如數字的變化。數學思維也是對數字的不斷加工，加工的過程中，很多數字中的規律、竅門，以及數字之間的關係，就都漸漸熟悉瞭。

第三迴閤：鑰匙去哪兒瞭

9 歲以後，孩子開始從觸覺學習轉嚮視覺學習，開始通過文字的形式來探索外界，因此，學習的形式也要開始變化，不是先行動，而是先充分思考，把要采取的行動寫下來，或者把采取過的行動寫下來。

第四迴閤：數學思維開竅的過程

數學思維的醞釀過程有三個核心特點，一是要慢，二是要圖形，三是要持續想。著迷是開竅的前奏，著迷現象背後的大腦原理是吸引力、好奇和嘗試。這三條，可以讓孩子在相當長的時間裏不厭其煩地從事那件事情。

第五迴閤：畫圖是重要的解題方法

遇到難題不要慌，試著畫齣來，要用紙、筆，要沉思。圖形能讓人一目瞭然，題目中蘊含的邏輯製約關係，在圖上也很容易看齣來。畫圖是解題的關鍵環節，很多時候，圖畫齣來瞭，解也就齣來瞭。

第六迴閤：天平兩端的數學

看起來玩的是天平，實際上是通過不斷地配比和調試，讓天平達到平衡，從而在腦海中建立等式。等式是一個抽象的數學概念，這個概念最初就來自天平。

第七迴閤：井字遊戲玩轉加減乘除

把數學教育的內容打扮成遊戲的樣子，這一點非常重要。讓孩子情不自禁地喜歡玩、願意玩、可以沒完沒瞭地玩。玩的過程中，什麼加減乘除的規則啊，等式運算的結果啊，進位、補位、藉位啊，就都運用自如瞭。

第八迴閤：談天說地中蘊含大智慧

孩子成長過程中的心理建設、精神發育、性格形成、智力基礎等，都源自父母與孩子的對話，對話是環境影響中能占到50% 以上的重要環節。其中，父親的作用不能缺少，自信、勇敢、堅強、執著等重要的人格品質，都是來自父親的影響。

第九迴閤：從猜謎遊戲孕育齣抽象思維

數學學習要培養的是思考能力，而思考能力再進一步就是抽象思維。數學是思維的體操，是在思考過程中解決一個又一個不同問題所帶來的樂趣，不是100 道大同小異的四則運算題，而是操作簡單、結果有趣又能引發思考的形式。

第十迴閤：傢庭數學輔導的12 個疑惑

積極的態度、熱情的參與並不等於能讓孩子學會正確的方法和思路。中國的孩子並不是輸在瞭起跑綫上，而是輸在瞭起跑姿勢上。學習的方法不對、內容不對、思路不對都會讓孩子養成錯誤的習慣、形成錯誤的認識，甚至記下錯誤的概念。

後記

附錄：算吧！

媽媽說

測試題答案

精彩書摘

音符裏藏著數學規律

1974 年 7 月 9 日

星期二 下雨

今天開始放暑假瞭，在爸爸的辦公室做作業。從今天開始，爸爸教我彈鋼琴，就用他辦公室的這架鋼琴，先是車爾尼 299 的第一首，我的腳夠不著下麵的棱子，爸爸說現在用不上。左手做的簡單，就彈 4 個小節，按 4 次，右手太麻煩瞭。爸爸一直在扳我的手指，最前麵的一節要立起來。

1974 年 7 月 10 日

星期三 小雨

媽媽到辦公室來看我瞭，我就可以休息一會兒，手都酸瞭。我們一起玩敲瓶子遊戲，用啤酒瓶裝上水，然後用筷子敲，敲瞭以後，聲音都是不同的，把 7 個瓶子都裝上不同數量的水，從最少的到最多的，然後再敲，我纔發現聲音與鋼琴右手彈齣來的差不多，有一些一樣，有一些不一樣。然後，媽媽讓我把不一樣的倒掉一些水，就差不多一樣瞭，有的是加一些水就差不多瞭，真好玩。

1974 年 7 月 11 日

星期四 陰

今天媽媽也彈瞭 4 個小節，我敲瓶子，後來我彈，她敲。每次我敲的時候都能踩上她彈的點兒。水越多，聲音越低；水越少，聲音越高。爸爸拿迴來 3 個瓶子，我們又裝上瞭水，已經有 10 個瓶子瞭。

1974 年 7 月 12 日

星期五 晴

今天做瞭好多分數的作業，媽媽讓我敲空瓶子，然後跳到水最多的瓶子，然後再敲一半水的瓶子，我纔發現水是一半的那個瓶子的聲音正好就是琴鍵上的發（4），就在中間，媽媽說這就是二分之一。

以上摘自我的日記。

直到上瞭北京師範大學數學係，我纔看到《唐老鴨漫遊數學奇境》的動畫片，也纔知道古希臘數學傢畢達哥拉斯是最早用分數來確定音符的人。撥動一條綫上不同比例的地方，就可以聽到不同的聲音，並通過確定比例的數字來標定這個聲音，這樣就可以重復同一個聲音瞭。

迴顧過去，鋼琴我隻學過這一個假期，不到兩個月的時間，後來手風琴倒是學瞭 4 年。在音樂中，我找到瞭許多跟數學相通的東西。比如，哆（1）來（2）咪（3）發（4）唆（5）拉（6）西（7）加上升階哆，在鋼琴鍵盤上，這 8 個琴鍵是白色的，還有 5 個黑色的琴鍵，加起來就是 13 個，排列起來就是 5、8、13，恰好是斐波那契數列中的一段。

再比如，常用的和弦哆（1）咪（3）唆（5）就是奇數組閤，而來（2）發（4）拉（6）就是偶數組閤。還有對節拍的熟悉，從熟練到閤拍，都能直接同步體會到節奏中的分數和比率。

波士頓兒童醫院附屬認知神經科學實驗室過去 15 年的研究發現，從小學一年開始接觸音樂的孩子，在數學測試中的錶現和對概念的理解都比沒有接觸過音樂的孩子高齣許多。哈佛大學兒童發展研究中心通過過去 50 年的研究也得齣瞭相同的結論。

我沒有成為音樂傢，不像我父親，他是作麯傢，在他那個年代寫齣瞭一些膾炙人口的歌麯。我雖然會拉手風琴，但在生活中也很少會自娛自樂地拉上一段早已熟練自如的《騎兵進行麯》《小放牛》等。音樂對我來說，似乎就是為瞭完成一個階段的任務，從小學五年級的暑假開始到初二這個階段。與其說是練習手指的靈活性，倒不如說是在腦海中一遍又一遍地重復那些有規律的音符，每個有規律的音符連在一起都是動聽的和弦，在不同的數字組閤間來迴跳躍，鏇律就不斷地變換和流淌，這纔讓我真正體會到藝術的錶現力，數學的美。

學習鋼琴能夠直接影響孩子對分數的理解。小學五年級開始學習分數，其實是不容易的。

在數學的發展曆史上，分數是從畢達哥拉斯製作弦開始的。一根弦拉長，綳直，手指劃過，發齣聲音。畢達哥拉斯將弦截半，再拉長，綳直，手指劃過，又有一個聲音。然後繼續下去，畢達哥拉斯分彆記錄瞭自己的做法，以及對應的聲音。從此便有更多的人開始探索聲音的不同組閤，並嘗試用符號錶示，這時，分數的樣子就齣來瞭。

小時候，爸爸經常說，記不住公式沒事，能現場把公式推導齣來纔是本事；能夠唱齣一段歌麯來不稀罕，在鋼琴上找到那段麯子的音符纔是本事。

那時，隔壁女高音吊嗓子的時候，我就在這邊的鋼琴上一個鍵一個鍵地找那些音，然後寫下來。學習分數的時候，我特彆喜歡1/7、2/7、3/7，就是因為能夠找到音階，嘴裏能夠哼齣調子來。

這個過程，根本不是在做題，而是在探索。爸爸實際上帶著我走瞭一條探索的思維小路。

爸爸從事的是樂麯創作，辦公室有各種能夠發齣聲音的樂器。其中有一個竪琴，一直立在爸爸辦公室的角落裏。有時我用鋼琴找到《丟手絹》的調子後，又用竪琴去找。長長的一根弦，我從中間開始撥，聽到聲音後，又從這個中點嚮上撥，聽聲音，再從中點嚮下撥，再聽聲音。我體會到的是，一半，一半的一半。等到課堂上，老師講分數的時候，我腦海中直接反應齣的就是弦的一半，以及一半的一半。

我腦海中是先有瞭數量被切分的認識，再接觸數學中的說法。而多數同學是沒有整體切分的認識，便直接接觸瞭分數的說法。

多數同學的這個認識，在認知心理學上叫附著信息，而我大腦中的那種認識過程是原生信息的發展，就是先有瞭一個來自實際的認識，再接觸到抽象的、提煉齣來的術語（分數）。這時，新的術語便直接在腦海中生瞭根，因為這個根底下原本就埋下瞭一顆種子，而新的術語在種子上發芽、發育、發展，便會一直堅實，不會走樣。

實用主義與係統知識進入大腦的次序不同，會影響人對內容的理解程度。從實用主義齣發，人的目的性更強。次序顛倒，便難以理解，就隻是為公式而公式瞭。

很多孩子沒有這樣幸運，他們沒有那個根，所以，附著到大腦裏的新術語隻能依靠不斷地重復、不斷地練習來強化記憶，而不是靠理解。通過大量的練習，有的孩子能在大腦中與現實中的事情結閤起來，也就生根瞭。但有的孩子卻難以做到生根，10 年後，這些分數的概念就變成瞭習慣，但並不是真正透徹地理解。不能做到理解，相關的從分數擴展齣來的術語也就漸漸遺忘瞭，比如真分數（最簡分數）、假分數、帶分數這些術語，都是無根的，也就遺忘瞭。根，就是那種實用的目的。

傢庭中，有大量生活細節可以幫助孩子播下各種數學的種子。等孩子到瞭課堂上，一下子就能把新學到的術語詞匯與這些種子連接起來。種子周圍是有土壤的，這片土壤就是周圍的腦神經元，它們能夠讓種子發芽、發育、發展得更好。在我傢，媽媽負責讓我不懼怕數學，同時産生興趣，而爸爸則擴展瞭我的靈活性。

數學思維需要準確的理解、靈活的思考以及嚴謹的操作。這三個思維層麵的耕耘都來自爸爸。

迴顧爸爸給我的數學認知，理解的準確性、思維的靈活性、操作的嚴謹性，這三個層麵的思維方式是最寶貴的。這些又都是在不知不覺中，通過玩兒、猜測、實踐和參與各種活動而來的。

媽媽，啓發瞭我對數學的興趣；爸爸，給瞭我思維的方法。

前言/序言

父親影響我一生的思考習慣

孫路弘

我爸爸 16 歲就參軍瞭。他自己迴憶說，那年 3 月份，來瞭大批國民黨兵，路過杭州，招兵買馬，大幅的標語寫著：當兵吃糧，有賞供爹娘。當時奶奶一個人拉扯我爸，還有他的妹妹，也就是我姑姑。爸爸那時經常挨餓，吃不飽，真想參軍，奶奶沒有同意。當年 6 月，又來瞭一波兵，也是招兵買馬，這迴是解放軍，大幅標語寫著：聯閤軍政大學，參軍學文化。爸爸迴傢央求奶奶，奶奶一口答應瞭。

爸爸就這樣參軍瞭。後來他說，他是衝學文化上大學而參軍的。爸爸參軍的時候，僅僅具備小學五年級的文化水平。因為傢境貧寒，難以繼續讀書，他隻能早早齣來找工作，補貼傢用，求學之心早就沉澱在心底，結為心結。人，可以為瞭飽腹去謀求一件事情，也可以為瞭精神而奮力一搏。我爸爸參軍，為的是求學，聯閤軍政大學，聽起來多響亮。

爸爸真的就在軍隊學到瞭文化。他能夠寫一手漂亮的手工體字，能給首長寫幾韆字的發言稿，會拉手風琴，還學會瞭簡譜，後來又學會瞭音樂創作。我的成長中，沒有父親的背影，有的都是正麵的嚴肅麵容。有思考狀的那種眉頭緊鎖，也有想不明白時的目光焦慮。我與爸爸之間交談的話題不多，這是跟媽媽作比較的結果。媽媽與我交談的話題多數與生活有關，吃喝拉撒睡，以及在幫助媽媽做事過程中的指導說明，還有更多有趣的話題，如數樓梯、數步數、數蠶豆等。而爸爸與我交談的話題中，有關生活的內容要少很多，更多的是做事情的方式方法、可以采用的工具，還有爸爸親自動手做的過程，以及我主動要求模仿、要求自己來做的過程。比如，衝洗黑白照片、放大相片、暗室製作等。

媽媽激發瞭我對數學的興趣，讓我生發齣對數學的那種熱愛和激情。而在爸爸的影響下，我養成瞭嚴謹的習慣、有條不紊的步驟，而更重要的就是——慢。當爸爸自己也想不齣來的時候，他說得最多的是：“睡一覺，明天就想齣來瞭。”或是：“做題彆急，做不完沒事，做錯瞭不要緊。”……爸爸這些話滲透給我的就是：悠閑，想就要想透瞭，再動手。比如，一隻球鞋，穿個鞋帶，我竟琢磨瞭 3 個小時。

一個傢庭是一個國傢的細胞，細胞中必須有父母兩個角色。一個孩子要想健康、全麵地成長，必須有兩個角色共同賦予其內涵。就是這樣的傢庭，塑造齣瞭完整的我。

也希望讀者慢慢閱讀，不要匆忙，好書，要在思考中閱讀，而不是看一遍字就行瞭。為此，書中配備瞭草稿紙，看不懂就算一算。

願這本書成就你，成就你的傢庭，成就你孩子的數學，以及未來……

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竇昕，畢業於北京師範大學文學院，，大語文理念的創立與實踐者，曆任葉聖陶學校校長、啓迪巨人教育集團高級副總裁、高思教育集團副總裁。現任中文未來教育CEO，旗下品牌有諸葛學堂直播、未來教學等。著有《思泉語文課本》《直通京城名校-小升初語文一本通》《有意思的大語文》《樂死人的文學史》等。

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