這本書是由我國知名數學傢蔡天新教授寫作的一本中國人自己的“數學簡史”；

  作者認為，數學的觸角幾乎遍及人類社會的每一個角落，以及曆史和生命的每一個瞬時；

  本書入選新聞齣版廣電總局嚮全國青少年推薦的百種圖書，適閤小學生、中學生、大學生還有“門外漢”瞭解數學的發展史，以及數學在人類文明的進程中扮演的不可或缺的角色。

  美是數學的一個重要特徵，這一特徵體現在瞭數學發展的整個曆史進程中，但由於數學的嚴格性和抽象性而難以為“局外人”所體會。《數學簡史》做到瞭這一點，作者蔡天新是難得的詩人數學傢。在閱讀本書時體會其無處不在的詩韻本身就是一種享受，她是數學自身固有的美和作者優雅的藝術品味的巧妙融閤。

——彭實戈，數學傢

  小時候我們常把聰明的同學稱為“數學腦瓜”，是指數學好纔聰明。數學不僅僅是計算方法，更重要的是思維方式。我一直想推薦一本數學史，讀過幾本，覺得還是太，太難讀。但這本《數學簡史》我覺得任何人都會有興趣讀下去，且會有所收獲。數學的發展主要在西方，但作者並沒有忘記中國。更可貴的是，這本書著眼於從整個人類文明的角度來介紹數學，這就讓人讀起來興趣盎然瞭。

——梁小民，經濟學傢

  人類智力高低的標準是什麼？一直以來有較多的爭議。但數學作為人類智慧的結晶，卻是長久以來達成的共識。瞭解數學的曆史，既能瞭解作為動物的人類發展的曆史，更能窺見人類智力的進步。蔡天新的《數學簡史》敘述角度新穎、文字優美，讓我們一起享受這本書帶來的智趣吧。

——饒  毅，生物學傢

前言 VII

章中東，或數學的起源

數學的起源 003

計數的開始 003

數基和進製 005

阿拉伯數係 007

形而幾何學 010

尼羅河文明 012

奇特的地形 012

萊茵德紙草書 014

埃及分數 016

在河流之間 019

巴比倫尼亞 019

泥闆書上的根 021

普林頓322 號 022

結語 025

第二章希臘的那些先哲們

數學傢的誕生 029

希臘人的齣場 029

論證的開端 031

畢達哥拉斯 034

柏拉圖學園 039

芝諾的烏龜 039

柏拉圖學園 041

亞裏士多德 045

亞曆山大學派 048

《幾何原本》 048

阿基米德 051

其他數學傢 054

結語 059

第三章中世紀的中國

引子 065

先秦時代 065

《周髀算經》 067

《九章算術》 069

從割圓術到孫子定理 073

劉徽的割圓術 073

祖氏父子 076

孫子定理 079

宋元六大傢 083

瀋括和賈憲 083

楊輝和秦九韶 085

李冶和硃世傑 090

結語 094

第四章印度人和波斯人

從印度河到恒河 099

雅利安人的宗教 099

《繩法經》和佛經 101

零號和印度數字 104

從北印度到南印度 108

阿耶波多 108

婆羅摩笈多 110

馬哈維拉 112

婆什迦羅 115

神賜的土地 119

阿拉伯帝國 119

巴格達的智慧宮 121

花拉子密的《代數學》 123

波斯的智者 127

伊斯法罕的海亞姆 127

大不裏士的納西爾丁 131

撒馬爾罕的卡西 134

結語 137

第五章從文藝復興到微積分的誕生

歐洲的文藝復興 143

中世紀的歐洲 143

斐波那契的兔子 145

阿爾貝蒂的透視學 147

達·芬奇和丟勒 150

微積分的創立 154

近代數學的興起 154

解析幾何的誕生 157

微積分學的先驅 161

牛頓和萊布尼茨 164

結語 171

第六章分析時代與法國大革命

分析時代 177

業餘數學傢 177

微積分學的發展 182

微積分學的影響 186

伯努利傢族 190

法國大革命 194

拿破侖·波拿巴 194

高聳的金字塔 197

法蘭西的牛頓 201

皇帝的密友 203

結語 207

第七章現代數學與現代藝術

代數學的新生 213

分析的嚴格化 213

阿貝爾和伽羅華 217

哈密爾頓的四元數 221

幾何學的變革 227

幾何學的傢醜 227

非歐幾何學的誕生 229

黎曼幾何學 234

藝術的新紀元 239

愛倫·坡 239

波德萊爾 242

從模仿到機智 246

結語 249

第八章抽象化：20 世紀以來

走嚮抽象化 255

集閤論和公理化 255

數學的抽象化 259

繪畫中的抽象 265

數學的應用 270

理論物理學 270

生物學和經濟學 274

計算機和混沌理論 278

數學與邏輯學 286

羅素的悖論 286

維特根斯坦 291

哥德爾定理 295

結語 298

附錄1 數學年錶 303

附錄2 常用數學符號的來曆 307

參考文獻 309

2012 年盛夏，從歐洲大陸北部的挪威王國傳齣一條令人震驚的消息。首都奧斯陸近郊一座名為於特的湖心島上，80 多位參加夏令營的青少年被一名歹徒瘋狂掃射身亡。挪威是當今世界富庶美麗、寜靜安逸的國度，也是數學天纔阿貝爾（N. H. Abel）的祖國，首屆菲爾茲奬1936 年在奧斯陸頒發，以阿貝爾命名的數學奬與諾貝爾和平奬也每年在奧斯陸評選並頒發。悲憤之餘，仍有許多人對挪威發生如此恐怖的事件錶示難以置信。

1829 年，26 歲的挪威青年阿貝爾死於營養不良和肺病，卻依然是19 世紀乃至人類曆史上偉大的數學傢之一。阿貝爾是個揚名世界的挪威人，他取得的成就激發瞭他的同胞們的纔智。在阿貝爾去世前一年，挪威誕生瞭戲劇傢易蔔生，接下來的還有作麯傢格裏格、藝術傢濛剋和探險傢阿濛森，每一位都蜚聲世界。想到這些，不由得對奧斯陸槍擊案可能産生的陰影稍感樂觀，阿貝爾的英年早逝、易蔔生的背井離鄉和濛剋的畫作《呐喊》，都說明這個國傢的人民曾經遭受過不幸和磨難。

在所有與數學史有關的書籍裏，阿貝爾的名字總是在人名索引裏名列前茅。本書對他有較為詳細的描述，書中還談到他的晚輩同胞索菲斯·李（S. Lie，1842—1899），21 世紀的兩個重要數學分支—李群和李代數均得名於他。1872 年，德國數學傢F. 剋萊因（F. Klein，1849—1925）發錶瞭《埃爾朗根綱領》，試圖用群論的觀點統一幾何學乃至整個數學領域，所依賴的正是李的工作。

限於篇幅，本書未談及2007 年過世的挪威數學傢賽爾伯格（A. Selberg，1917—2007），他是我本人見過且交談過的數論同行。早在1950 年，他便因給齣素數定理的初等證明榮獲菲爾茲奬。或許是一種補償，書中後齣場的奧地利人維特根斯坦（L. Wittgenstein，1889—1951）與挪威結緣，他是20 世紀有數學意味的哲學傢。任職劍橋大學期間，維特根斯坦在挪威西部鄉間蓋瞭一間小木屋，經常從英國跑到那裏度假思索，有時一住就是一年，他死後齣版的代錶作《哲學研究》（1953）便是在小木屋裏開始構想的。

從以上敘述中讀者可能已經看齣，本書的寫作風格和宗旨是，既不願錯過任何一位偉大的數學傢和任何一次數學思潮，以及由此産生的內容、方法，也不願放棄任何可以闡述數學與其他文明相互交融的機會。這是一部沒有藍本可以參照的書，從書名來看，接近的同類著作是美國數學史傢M. 剋萊因（M. Kline，1908—1992）的《西方文化中的數學》（1953）。可是，M. 剋萊因的著作討論的範圍被“西方”和“文化”兩個詞限定瞭，我們卻不得不考慮整個人類的曆史長河，涉及的領域也超齣瞭“文化”的範疇。如同英國數學傢、哲學傢阿爾弗雷德·懷特海所言，“現代科學誕生於歐洲，但它的傢卻是整個世界。”

從寫作方式來看，盡管存在著多種可能性，主要麵臨的選擇卻隻有兩個，即是否把數學史作為一種寫作綫索？ M. 剋萊因的著作雖以時間為主綫（他的另一部力作《古今數學思想》也是這樣），卻以每章一個專題的形式來講述數學與文化的關係。顯而易見，M. 剋萊因既精通數學，又熟知古希臘以來的西方文化（主要是古典部分），我認為這方麵已經很難瞭。況且，他的書早已有瞭中文版。

不過，通過閱讀M. 剋萊因的著作，我們不難發現，他假設的讀者對象是數學或文化領域的專傢。而我心目中的讀者範圍更為寬廣，他們可能隻學過初等數學或簡單的微積分，也許對數學的曆史及其與其他文明的關係所知不多，對數學在人類文明的發展曆程中扮演的重要角色認識不足，尤其是，對現代數學與現代文明（比如，現代藝術）的淵源缺乏瞭解。這樣一來，就留齣瞭寫作空間。

在我看來，數學與科學、人文的各個分支一樣，都是人類大腦進化和智力發展進程的反映。它們在特定的曆史時期必然相互影響，並呈現齣某種相通的特性。在按時間順序講述不同地域文明的同時，我們先後探討瞭數學與各式各樣文明之間的關係。例如，埃及和巴比倫的數學來源於人們生存的需要，希臘數學與哲學密切相關，中國數學的活力來自曆法改革，印度數學的源泉始於宗教，而波斯或阿拉伯的數學與天文學互不分離。

文藝復興是人類文明進程的一個裏程碑，這個時期的藝術推動瞭幾何學的發展。到瞭17 世紀，微積分的産生解決瞭科學和工業革命的一係列問題，而18 世紀法國大革命時期的數學涉及力學、軍事和工程技術。19 世紀前半葉，數學和詩歌幾乎同時從古典進入現代，其標誌分彆是非交換代數和非歐幾何學的誕生，愛倫·坡（E. Allan Poe，1809—1849）和波德萊爾（C. Baudelaire，1821—1867）的齣現。進入20 世紀以後，抽象化又成為數學和人文學科的共性。

數學中的抽象以集閤論和公理化為標誌，與此同時，藝術領域則齣現瞭抽象主義和行動繪畫。哲學與數學的再次交匯産生瞭現代邏輯學，並誕生瞭維特根斯坦和哥德爾定理。更有意思的是，數學的抽象化不僅沒有使其被束之高閣，反而得到意想不到的廣泛應用，尤其在理論物理學、生物學、經濟學、電子計算機和混沌理論等方麵。由此可見，這是符閤曆史潮流和文明進程規律的。盡管如此，數學天空的未來並非一片晴朗。

本書的一個顯著特點是對現代數學和現代文明的比較分析和闡釋，這是我多年數學研究和寫作實踐的思考、總結。至於古典部分，我們也著力發現有現代意義的亮點。比如，談到埃及數學時，我們重點介紹瞭“埃及分數”這個既通俗易懂又極為深刻的數論問題，它甚至仍然睏擾著21 世紀的數學傢。又如，巴比倫人早發現瞭畢達哥拉斯定理，同時知道瞭畢達哥拉斯數組，這一結果也是1 000 多年以後興起的希臘數學和文明的代錶性成就，卻與20 世紀末的熱點數學問題——費爾馬大定理——相聯係。

本書的另一個特點是，多數小節以人物為標題，同時做到圖文並茂，以方便理解、欣賞和記憶。在100 餘幅精心挑選的圖片（有的是我拍攝的照片）中，相當一部分與文學、藝術、科學、教育有密切的關聯。希望讀者能通過本書的閱讀，拉近與數學這門抽象學科的心理距離，從中理解各自所學或從事與數學的關係，進而反思人類文明的曆史進程甚或生活的意義。

誠如部分讀者所瞭解的，2012 年夏，商務印書館的“名師講堂”推齣瞭我所著的《數學與人類文明》，後入選國傢新聞齣版廣電總局嚮全國青少年推薦的“百優圖書”。該書源自我的同名教材，係教育部高等學校“十一五”規劃教材的一種，應用於浙江大學等多所大學的通識課程。迄今為止，兩者已印瞭3 萬多冊。如今，商務印書館的版權到期，應中信齣版社的約請和建議，我修訂瞭全書，更新瞭相當一部分圖片。

我們把這本書易名為“數學簡史”，正是這一點觸動瞭我，這個名字更符閤書的本意。因為本書既著眼於數學的曆史，同時數學與人類文明的關係本身也屬於數學史的範疇，這樣一來就適時迴避瞭現代數學的復雜性，努力幫助讀者從不同的角度理解數學。另一點引起我注意的是，中信齣版社引進齣版瞭以色列曆史學傢尤瓦爾·赫拉利的兩本力作《人類簡史》和《未來簡史》。令人鼓舞的是，我在微博上發布徵求本書封麵設計方案的建議後，北京海澱區的藤先生留言道：“在國內引進的各種簡史浪潮中，終於有蔡教授挺身而齣，寫一本數學簡史瞭。”

後，我想用一首詩來結束本序言。這是2005 年夏天，作者偕同4 位研究生，到馬尼拉的菲律賓大學參加一個數論與密碼學的國際研討會期間所作。那是令麥哲倫摺戟沙灘，殖民者不足以重視，數學史傢和文化史傢容易忽略的國度。詩中齣現瞭一些幾何圖形，如綫段、弧綫、圓圈、扭結、麯麵和拓撲變換，當然，均已被改換成相應的詩歌語言。這首詩似乎在敘述一些數學概念，但流露的分明是一種生活的情緒。

跳繩

每一棵光潔的稻草

都布滿瞭銀色的月光

它們被編織成繩索

就像腳踝上的鏈子

那圓圈中的圓圈

也布滿瞭銀色的月光

無論眉梢、鬢角

還是手臂上的燙痕

反來復去地穿梭往來

蔡天新

2017 年夏末定稿於杭州西溪2012 年盛夏，從歐洲大陸北部的挪威王國傳齣一條令人震驚的消息。首都奧斯陸近郊一座名為於特的湖心島上，80 多位參加夏令營的青少年被一名歹徒瘋狂掃射身亡。挪威是當今世界富庶美麗、寜靜安逸的國度，也是數學天纔阿貝爾（N. H. Abel）的祖國，首屆菲爾茲奬1936 年在奧斯陸頒發，以阿貝爾命名的數學奬與諾貝爾和平奬也每年在奧斯陸評選並頒發。悲憤之餘，仍有許多人對挪威發生如此恐怖的事件錶示難以置信。

1829 年，26 歲的挪威青年阿貝爾死於營養不良和肺病，卻依然是19 世紀乃至人類曆史上偉大的數學傢之一。阿貝爾是個揚名世界的挪威人，他取得的成就激發瞭他的同胞們的纔智。在阿貝爾去世前一年，挪威誕生瞭戲劇傢易蔔生，接下來的還有作麯傢格裏格、藝術傢濛剋和探險傢阿濛森，每一位都蜚聲世界。想到這些，不由得對奧斯陸槍擊案可能産生的陰影稍感樂觀，阿貝爾的英年早逝、易蔔生的背井離鄉和濛剋的畫作《呐喊》，都說明這個國傢的人民曾經遭受過不幸和磨難。

在所有與數學史有關的書籍裏，阿貝爾的名字總是在人名索引裏名列前茅。本書對他有較為詳細的描述，書中還談到他的晚輩同胞索菲斯·李（S. Lie，1842—1899），21 世紀的兩個重要數學分支—李群和李代數均得名於他。1872 年，德國數學傢F. 剋萊因（F. Klein，1849—1925）發錶瞭《埃爾朗根綱領》，試圖用群論的觀點統一幾何學乃至整個數學領域，所依賴的正是李的工作。

限於篇幅，本書未談及2007 年過世的挪威數學傢賽爾伯格（A. Selberg，1917—2007），他是我本人見過且交談過的數論同行。早在1950 年，他便因給齣素數定理的初等證明榮獲菲爾茲奬。或許是一種補償，書中後齣場的奧地利人維特根斯坦（L. Wittgenstein，1889—1951）與挪威結緣，他是20 世紀有數學意味的哲學傢。任職劍橋大學期間，維特根斯坦在挪威西部鄉間蓋瞭一間小木屋，經常從英國跑到那裏度假思索，有時一住就是一年，他死後齣版的代錶作《哲學研究》（1953）便是在小木屋裏開始構想的。

從以上敘述中讀者可能已經看齣，本書的寫作風格和宗旨是，既不願錯過任何一位偉大的數學傢和任何一次數學思潮，以及由此産生的內容、方法，也不願放棄任何可以闡述數學與其他文明相互交融的機會。這是一部沒有藍本可以參照的書，從書名來看，接近的同類著作是美國數學史傢M. 剋萊因（M. Kline，1908—1992）的《西方文化中的數學》（1953）。可是，M. 剋萊因的著作討論的範圍被“西方”和“文化”兩個詞限定瞭，我們卻不得不考慮整個人類的曆史長河，涉及的領域也超齣瞭“文化”的範疇。如同英國數學傢、哲學傢阿爾弗雷德·懷特海所言，“現代科學誕生於歐洲，但它的傢卻是整個世界。”

從寫作方式來看，盡管存在著多種可能性，主要麵臨的選擇卻隻有兩個，即是否把數學史作為一種寫作綫索？ M. 剋萊因的著作雖以時間為主綫（他的另一部力作《古今數學思想》也是這樣），卻以每章一個專題的形式來講述數學與文化的關係。顯而易見，M. 剋萊因既精通數學，又熟知古希臘以來的西方文化（主要是古典部分），我認為這方麵已經很難瞭。況且，他的書早已有瞭中文版。

不過，通過閱讀M. 剋萊因的著作，我們不難發現，他假設的讀者對象是數學或文化領域的專傢。而我心目中的讀者範圍更為寬廣，他們可能隻學過初等數學或簡單的微積分，也許對數學的曆史及其與其他文明的關係所知不多，對數學在人類文明的發展曆程中扮演的重要角色認識不足，尤其是，對現代數學與現代文明（比如，現代藝術）的淵源缺乏瞭解。這樣一來，就留齣瞭寫作空間。

在我看來，數學與科學、人文的各個分支一樣，都是人類大腦進化和智力發展進程的反映。它們在特定的曆史時期必然相互影響，並呈現齣某種相通的特性。在按時間順序講述不同地域文明的同時，我們先後探討瞭數學與各式各樣文明之間的關係。例如，埃及和巴比倫的數學來源於人們生存的需要，希臘數學與哲學密切相關，中國數學的活力來自曆法改革，印度數學的源泉始於宗教，而波斯或阿拉伯的數學與天文學互不分離。

文藝復興是人類文明進程的一個裏程碑，這個時期的藝術推動瞭幾何學的發展。到瞭17 世紀，微積分的産生解決瞭科學和工業革命的一係列問題，而18 世紀法國大革命時期的數學涉及力學、軍事和工程技術。19 世紀前半葉，數學和詩歌幾乎同時從古典進入現代，其標誌分彆是非交換代數和非歐幾何學的誕生，愛倫·坡（E. Allan Poe，1809—1849）和波德萊爾（C. Baudelaire，1821—1867）的齣現。進入20 世紀以後，抽象化又成為數學和人文學科的共性。

數學中的抽象以集閤論和公理化為標誌，與此同時，藝術領域則齣現瞭抽象主義和行動繪畫。哲學與數學的再次交匯産生瞭現代邏輯學，並誕生瞭維特根斯坦和哥德爾定理。更有意思的是，數學的抽象化不僅沒有使其被束之高閣，反而得到意想不到的廣泛應用，尤其在理論物理學、生物學、經濟學、電子計算機和混沌理論等方麵。由此可見，這是符閤曆史潮流和文明進程規律的。盡管如此，數學天空的未來並非一片晴朗。

本書的一個顯著特點是對現代數學和現代文明的比較分析和闡釋， 數學簡史 蔡天新 著 生動講述數學與人類文明的故事 下載 mobi epub pdf txt 電子書