解析函數插值與矩量問題 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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無 著

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• 解析函數
• 插值
• 矩量
• 數值分析
• 復變函數
• 逼近論
• 數學分析
• 科學計算
• 函數逼近
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出版社： 北京师范大学出版社

ISBN：9787303167623

商品编码：1314534516

出版时间：2013-12-01

作  者:無 著作 李仲來 主編 定  價:85 齣 版 社:北京師範大學齣版社 齣版日期:2013年12月01日 頁  數:528 裝  幀:平裝 ISBN:9787303167623 ●一、矩陣的若乾一般結果
●矩陣的正則性的若乾條件
●對“關於半正定Hermite矩陣乘積跡的一個不等式”一文的注記
●奇異矩陣的一些性質
●關聯G—函數的對角占優的一些推廣
●關於矩陣秩下界的注記
●二、全純映射與算子解析函數若乾結果
●關於Hilbert空間上算子解析函數的若乾結果
●Banach代數中對譜半徑的Schwarz引理
●關於von Neumann—Heinz定理與樊定理的推廣
●對C的單位開球與廣義上半平麵的全純映射的迭代
●同— Hilbert空間之間全純映射的迭代
●Von Neumann，Heinz，與Ky Fan定理及其推廣結論的簡化證明
●三、特殊矩陣及其應用，有理插值問
●多項式零點定位基本定理的簡化證明
●關於矩陣慣性的若乾基本定理
●奇異Hankel矩陣
●Bezout和Hankel矩陣（Ⅱ）——非奇異情形
●通過Vandermonde矩陣的Bezout矩陣錶示
●關於Loewner矩陣的更多結果
●部分目錄

內容簡介

陳公寜教授是第6批博士生導師。《陳公寜文集解析函數插值與矩量問題》是《北京師範大學數學傢文庫》的靠前4部。《陳公寜文集解析函數插值與矩量問題》是《北京師範大學數學傢文庫》的靠前4部。執教40多年，講授數學係（含物理係）基礎課程與選修課程多門，編教材2部，專著2部，發錶學術論文70多篇。現為中國數學會會員，美國數學會會員，《MathematicalReviews》評論員。學術研究內容主要是：算子理論與算子代數，矩陣值解析函數插值理論與應用，矩陣理論與應用。在全純算子函數，有理插值，解析函數插值問題與矩量問題等方麵多有建樹。

數學工具箱：多變量函數逼近與科學計算的高級探索 本書並非一本教科書，也不是一本詳盡的算法手冊。它更像是一本精心構建的數學工具箱，為那些在科學研究、工程實踐或高級數據分析領域中，需要處理復雜函數逼近、數值模擬以及求解奇異性問題（也稱作矩量問題，盡管本書不直接探討其數學定義）的讀者，提供一套深刻而實用的方法論。我們將深入探討一係列強大的數學概念和技術，它們在理解和操控多變量函數行為方麵具有至關重要的作用，並且為解決實際工程與科學挑戰提供堅實的基礎。 第一部分：多變量函數插值——從離散數據到連續模型 在許多科學與工程問題中，我們往往隻能獲得一係列離散的測量點或已知數據。然而，我們真正需要的是理解數據背後隱藏的連續函數，並能對其進行預測、分析甚至優化。本部分將聚焦於如何從這些離散數據中，構建齣能夠準確描述目標函數行為的多變量插值模型。 基函數與綫性組閤： 我們將首先審視插值的核心思想——使用一組“基函數”作為構建模塊，並通過綫性組閤的方式來逼近目標函數。雖然許多插值方法都遵循這一框架，但我們關注的重點將是不同基函數族（例如多項式、三角函數、徑嚮基函數等）在多變量情境下的適用性、優缺點以及選擇策略。我們將詳細討論，如何根據數據的性質（例如數據的分布、噪聲水平、函數的平滑度要求）來挑選最閤適的基函數。 高斯過程迴歸（GPR）： 作為一種強大且靈活的非參數模型，高斯過程迴歸將是本部分的重要主題。我們不僅會介紹其統計學基礎，即將其視為對函數的一種概率分布建模，還會深入探討其在多變量函數插值中的優勢。我們將詳細講解核函數（covariance function）的選擇與設計，這是GPR的核心，它直接決定瞭模型能夠捕捉到的函數特性，例如平滑度、周期性或各嚮異性。此外，我們還會分析GPR在處理高維數據時的挑戰，以及一些常用的降維和近似技術。 徑嚮基函數（RBF）插值： 徑嚮基函數提供瞭一種無需顯式處理網格結構即可進行多變量插值的方法。我們將深入分析不同類型的徑嚮基函數（如多二次麯麵、反多二次麯麵、薄闆樣條等）的特性，以及它們如何通過距離度量來構建插值模型。重點將放在RBF在處理不規則分布數據和高維空間中的錶現，以及如何通過收縮（compactness）參數來平衡模型的全局逼近能力和局部細節捕捉能力。 樣條插值在多變量中的擴展： 雖然傳統的樣條插值常用於一維數據，但我們將探討其在多變量場景下的概念性擴展，例如張量積樣條。我們將討論如何將一維樣條的優良特性（如分段連續性和光滑性）組閤起來，構建能夠處理網格化多變量數據的插值函數。這部分內容將強調如何有效管理高維度的樣條基函數，以及如何利用其結構化特性來優化計算效率。 插值誤差分析與穩定性： 僅僅構建一個插值模型是不夠的，理解其誤差來源和保證其穩定性也至關重要。我們將討論插值誤差的界限，例如Runge現象在高維情境下的錶現，以及如何通過選擇更閤適的插值節點或使用更平滑的基函數來緩解這些問題。同時，我們還將關注插值過程的數值穩定性，尤其是在處理 ill-conditioned 的插值係統時，並介紹一些常用的穩定化技術。 第二部分：數值計算與科學建模的高級方法 在科學與工程領域，許多核心問題最終都可以歸結為求解復雜的方程組或進行大規模的數值模擬。本部分將不再局限於插值本身，而是將插值技術與更廣泛的數值計算方法相結閤，為解決更棘手的科學建模問題提供思路。 降維技術與代理模型（Surrogate Models）： 隨著問題維度的增加，直接進行插值或數值模擬的計算成本會急劇上升。我們將介紹一些主流的降維技術，如主成分分析（PCA）、獨立成分分析（ICA）以及非綫性降維方法（如t-SNE、UMAP的原理），並討論如何利用這些技術將高維數據映射到低維空間，然後在這個低維空間中構建插值模型或代理模型。這些代理模型能夠以較低的計算代價，快速地預測高維輸入對應的輸齣，從而加速優化、敏感性分析等過程。 基於插值的數值積分與微分： 數值積分和微分是科學計算中最基礎也是最常見的任務。我們將探討如何利用多變量插值函數來近似被積函數或待求導函數，從而實現數值積分和微分。我們將分析不同插值方法在數值積分和微分精度上的錶現，以及如何根據待積/待微分函數的特性選擇最優的插值基函數和節點布局。 求解偏微分方程（PDEs）的數值方法——基於插值的視角： 許多物理現象都由偏微分方程描述。雖然本書不直接介紹傳統的有限差分、有限元等方法，但我們將從插值的角度，探討一些與這些方法相關的思想。例如，我們可能討論如何利用多變量插值函數來近似PDE的解，以及如何構建基於插值的離散化格式。更進一步，我們將探討如何利用插值技術來加速或改進某些特定類型的PDE求解器，例如在局部加密網格或處理復雜邊界條件時。 機器學習模型中的插值與外插： 現代機器學習模型，尤其是深度學習模型，本質上也是在學習數據背後的復雜函數。我們將從插值的角度，解讀某些機器學習模型（例如核方法、一些參數化的神經網絡架構）的工作原理。我們將討論模型在訓練數據區域內的插值行為，以及在訓練數據之外區域的外延（外插）能力，並分析其局限性。我們將探討如何利用插值理論來理解模型的泛化能力，以及如何改進模型以獲得更可靠的外插性能。 不確定性量化（Uncertainty Quantification, UQ）與插值： 在科學與工程決策中，理解模型輸齣的不確定性至關重要。我們將介紹如何將插值技術與不確定性量化結閤起來。例如，利用高斯過程迴歸本身的概率輸齣，或者通過構建多個插值模型 ensemble 來量化輸入參數的不確定性對模型輸齣的影響。我們將討論如何利用這些不確定性信息來指導實驗設計、優化設計參數或評估風險。 第三部分：挑戰與前沿——應對復雜函數的深層難題 在某些領域，我們需要麵對的函數可能具有奇異性、不連續性，或者存在大量的局部極值。這些“病態”的函數行為給傳統的插值和數值方法帶來瞭巨大的挑戰。本部分將探討如何運用更高級的數學思想和計算策略來應對這些棘手的問題。 奇異性識彆與處理： 我們將初步探討如何識彆函數中的奇異性（例如，在數學上錶示為導數或函數值趨於無窮的點），以及這些奇異性在實際問題中的錶現。雖然本書不直接解決“矩量問題”的數學定義，但我們將藉鑒處理奇異性問題的思路，例如如何避免在奇異點附近進行插值，或者如何采用特殊的技術來“規避”或“近似”奇異行為。 自適應插值與網格細化： 當函數在某些區域錶現齣更復雜的行為時，固定密度的插值網格或固定的基函數集閤可能無法捕捉到細節。我們將介紹自適應插值策略，即根據函數的局部特性（例如局部誤差估計、麯率信息）動態地調整插值節點的密度或基函數的選擇。這種方法能夠將計算資源更有效地分配到函數行為復雜的區域，從而在保證整體精度的前提下，降低計算成本。 多尺度分析與插值： 很多自然現象和工程係統都錶現齣多尺度的特性。我們將介紹多尺度分析的基本思想，以及如何將其應用於多變量函數插值。例如，利用小波基函數或多分辨率分析的方法，能夠從不同尺度上捕捉函數的特徵，從而構建齣更精細、更魯棒的插值模型。 稀疏錶示與低秩逼近： 在處理高維數據時，數據本身往往存在冗餘或低秩結構。我們將探討如何利用稀疏錶示和低秩逼近的思想來簡化插值問題。例如，通過尋找函數的最稀疏錶示或數據的低秩逼近，可以在保持關鍵信息的同時，大幅度降低模型的復雜度，從而提高計算效率和泛化能力。 麵嚮優化的插值： 在許多應用場景下，插值不僅僅是為瞭逼近函數，更是為瞭服務於後續的優化任務。我們將討論如何設計插值模型，使其能夠更好地支持優化算法。例如，我們可能需要插值模型能夠提供關於函數梯度的可靠估計，或者能夠快速地評估目標函數在給定點的值。 本書的讀者群體是具有一定數學基礎，並且在實際工作中麵臨復雜函數逼近和數值計算挑戰的研究人員、工程師和數據科學傢。我們期望通過對這些高級數學概念和計算方法的深入剖析，為讀者提供一套強大的思維框架和實用的技術工具，以應對日益復雜和精密的科學與工程問題。本書並非提供一套即插即用的代碼庫，而是緻力於培養讀者獨立思考、分析問題和設計解決方案的能力。

评分☆☆☆☆☆

這本書的深度和廣度令人印象深刻，它不僅僅是教科書式的知識堆砌，更像是一部融閤瞭理論前沿與工程實踐的深度報告。作者在闡述基本原理的同時，毫不吝惜筆墨地探討瞭算法的收斂性分析以及在真實世界應用中可能遇到的數值穩定性問題。我注意到，許多看似純粹的數學推導，最終都能追溯到具體的計算模型或物理係統的模擬需求上。對於那些希望將理論知識轉化為實際生産力的讀者而言，書後附帶的那些詳細的算例和代碼實現思路簡直是無價之寶。它沒有滿足於停留在理論的象牙塔中，而是勇敢地跳入到實際操作的泥潭裏，討論瞭在有限精度計算環境下，如何調整參數以確保結果的可靠性。這種務實精神，使得這本書的價值遠遠超齣瞭純理論研究的範疇，更像是一本連接理論與工程的橋梁手冊。

评分☆☆☆☆☆

這本書的學術嚴謹性達到瞭一個極高的水準，引用的參考文獻列錶詳實而權威，顯示齣作者深厚的學術積纍和嚴謹的治學態度。在閱讀一些關鍵定理的證明時，我能感受到作者在力求精確錶達上的用心良苦，每一個假設和推導步驟都經過瞭深思熟慮，絲毫沒有含糊不清的地方。這種毫不妥協的嚴謹性，對於任何希望從事高水平研究工作的讀者來說都是至關重要的學習範本。它教會我的不僅僅是具體的數學技巧，更是一種對待科學問題的態度——那就是對邏輯鏈條的絕對忠誠和對細節的極緻追求。每次當我試圖去復現書中的某個證明或結果時，都會發現作者已經預先考慮到瞭那些容易被忽略的邊界條件和特例，這使得我對整部著作的信賴度倍增，它無疑可以作為我工具書架上最可靠的基石之一，供我未來數年內持續查閱和深造使用。

评分☆☆☆☆☆

我最欣賞的是作者在組織材料時所體現齣的那種結構化的思維邏輯。全書的脈絡清晰得如同一個精密的鍾錶，每一個章節都像是齒輪般緊密咬閤，共同驅動著整個理論體係的運轉。從最基礎的函數空間定義開始，到構建插值模型，再到深入探究矩量法的數學基礎，整個過程的銜接過渡極其自然流暢，幾乎不需要讀者跳躍式地思考。尤其值得稱贊的是，作者對於不同理論之間的聯係和區彆進行瞭深入的辨析。比如，他會花專門的篇幅去對比幾種主流方法的優缺點及其適用場景，而不是將它們孤立地介紹。這種宏觀的架構感，讓讀者在學習具體技術細節時，始終能保持對整個學科圖景的把握，避免瞭“隻見樹木不見森林”的弊端，極大地提升瞭知識的係統性和應用性。

评分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計簡直是一場視覺盛宴，從封麵到內頁的排版，都散發著一種沉穩而專業的學術氣息。我拿到手時就被它那種略帶磨砂質感的封麵吸引住瞭，色彩搭配得非常考究，既不失嚴謹，又暗含著對數學美學的追求。書脊上的字體清晰有力，即便是隨手放在書架上，也顯得格外引人注目。內頁的紙張質量上乘，墨色均勻，即便是長時間閱讀，眼睛也不會感到疲勞。特彆是那些復雜的公式和圖錶，印刷得極其精細，每一個符號的細節都清晰可見，這對於需要反復研讀推導過程的讀者來說，無疑是一個巨大的加分項。我尤其欣賞作者在章節之間的過渡處理上所展現齣的匠心獨運，每當要進入下一個新的理論體係時，總能找到一段恰到好處的引言或總結，既能幫助讀者迴顧前文，又能自然地將注意力引導至接下來的內容，這種對閱讀體驗的細緻考量，讓人感覺這不僅僅是一本工具書，更像是一件精心打磨的工藝品。

评分☆☆☆☆☆

作為一名初學者，我原以為麵對這類高深莫測的數學理論會感到望而卻步，但這本書的敘事風格卻展現齣瞭一種令人驚訝的親和力。作者似乎深諳如何將深奧的知識“翻譯”成更易於理解的語言，他並沒有直接拋齣冰冷的公式，而是首先從實際問題的背景和動機入手，層層遞進地構建起理論的框架。我特彆喜歡其中穿插的那些曆史沿革和重要人物的簡短介紹，它們為枯燥的數學推導增添瞭人情味和故事性，讓我能更好地理解這些理論是如何在曆史長河中被一步步建立和完善的。閱讀過程中，我仿佛有一位經驗豐富的導師在身旁耐心地引導，每當我對某個概念感到睏惑時，稍作停頓，翻閱前幾頁，總能找到更清晰的類比或更基礎的鋪墊。這種循序漸進的教學節奏，極大地緩解瞭我的學習焦慮，讓我能夠以一種更從容、更自信的心態去攻剋那些看似難以逾越的數學高峰。